11.1: La propiedad de raíz cuadrada
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Tomemos una ecuación cuadrática simple\(x^2 = a\) y resolvamos:
\[\begin{array}{rl}x^2=a &\text{Take the square root of both sides} \\ |x|=\pm\sqrt{a}&\text{Apply absolute value definition} \\ x=\pm\sqrt{a}&\text{Rewrite as two solutions} \\ x=\sqrt{a}\text{ or }x=-\sqrt{a}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Esta es la propiedad de raíz cuadrada.
\[x^2=a\text{ if and only if }x=\pm\sqrt{a}\nonumber\]
En otras palabras,
\[x^2=a\text{ if and only if }x=\sqrt{a}\text{ or }x=-\sqrt{a}\nonumber\]
Resolver:\(x^2=81\)
Solución
Podríamos reescribir la ecuación para que\(81\) quede a la izquierda y luego resolverla factorizando. Sin embargo, por el bien de la propiedad, resolvemos esta ecuación aplicando la propiedad de raíz cuadrada.
\[\begin{array}{rl}x^2=81 &\text{The }x^2 \text{ is isolated and we apply the square root property} \\ x=\pm\sqrt{81} &\text{Simplify} \\ x=\pm 9&\text{Rewrite as two solutions} \\ x=9\text{ or }x=-9&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Observe, podríamos escribir la solución de dos maneras:\(\pm 9\), o, alternativamente,\(9\) o\(−9\). A medida que los problemas se vuelven más desafiantes, es una práctica común escribir las soluciones como dos soluciones.
Resolver:\(x^2=44\)
Solución
Fíjate, aunque nos moviéramos\(44\) a la izquierda y tratáramos de factorial, no pudimos porque no\(44\) es una plaza perfecta. De ahí que necesitamos la propiedad de raíz cuadrada para resolver.
\[\begin{array}{rl}x^2=44 &\text{The }x^2\text{ is isolated and we apply the square root property} \\ x=\pm\sqrt{44}&\text{Simplify} \\ x=\pm\sqrt{4\cdot 11}&\text{Apply the product property} \\ x=\pm 2\sqrt{11}&\text{Rewrite as two solutions} \\ x=2\sqrt{11}\text{ or }x=-2\sqrt{11}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
En 1545, el matemático francés, Gerolamo Cardano, publicó su libro El gran arte, o las reglas del álgebra. Incluía la solución de una ecuación con un cuarto poder, pero muchos consideraron absurdo llevar una cantidad a la cuarta potencia porque sólo hay tres dimensiones.
Resolver:\((x+4)^2=25\)
Solución
A pesar de que la base ha cambiado de\(x\) a\((x+ 4)\), el método no cambia. De ahí que aplicaremos la propiedad de raíz cuadrada para resolver siempre y cuando la base esté aislada.
\[\begin{array}{rl}(x+4)^2=25&\text{The }(x+4)^2\text{ is isolated and we apply the square root property} \\ x+4=\pm\sqrt{25}&\text{Isolate }x \\ x=-4\pm\sqrt{25}&\text{Simplify }\sqrt{25} \\ x=-4\pm 5&\text{Rewrite as two solutions} \\ x=-4+5\text{ or }x=-4-5 &\text{Evaluate} \\ x=-1\text{ or }x=-9&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Aquí, reescribimos la solución como dos soluciones diferentes para poder resolverla.
Resolver:\((6x-9)^2=45\)
Solución
A pesar de que la base ha cambiado de\(x\) a\((6x − 9)\), el método no cambia. De ahí que aplicaremos la propiedad de raíz cuadrada para resolver siempre y cuando la base esté aislada.
\[\begin{array}{rl}(6x-9)^2=45&\text{The }(6x-9)^2\text{ is isolated and we apply the square root property} \\ 6x-9=\pm\sqrt{45}&\text{Isolate the variable term} \\ 6x=9\pm\sqrt{45}&\text{Simplify }\sqrt{45} \\ 6x=9\pm\sqrt{9\cdot 5}&\text{Apply the product property} \\ 6x=9\pm 3\sqrt{5}&\text{Solve for }x \\ x=\dfrac{9\pm 3\sqrt{5}}{6}&\text{Factor a GCF} \\ x=\dfrac{\cancel{3}(3\pm\sqrt{5})}{\cancel{6}^2}&\text{Simplify} \\ x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Aquí, dejamos la solución con el\(±\) ya que el radicand no era un cuadrado perfecto. Por lo general, cuando el radical se reduce completamente fuera de la ecuación, separamos las soluciones. De lo contrario, lo dejamos como está.
Aislar el Término Cuadrado
Echemos un vistazo a ejemplos donde el término principal, o término cuadrado, no está aislado. Recordemos, el término cuadrado debe ser aislado para poder aplicar la propiedad de raíz cuadrada.
Resolver:\(5(3x-6)^2+7=27\)
Solución
Primero necesitamos aislar\((3x − 6)^2\) para poder aplicar la propiedad de raíz cuadrada. Entonces podemos resolver como de costumbre.
\[\begin{array}{rl} 5(3x-6)^2+7=27&\text{Isolate the variable term} \\ 5(3x-6)^2=20&\text{Isolate }(3x-6)^2 \\ (3x-6)^2=4&\text{Apply the square root property} \\ 3x-6=\pm\sqrt{4}&\text{Isolate the variable term} \\ 3x=6\pm\sqrt{4}&\text{Simplify }\sqrt{4} \\ 3x=6\pm 2&\text{Solve for }x \\ x=\dfrac{6\pm 2}{3}&\text{Rewrite as two solutions} \\ x=\dfrac{6+2}{3}\text{ or }x=\dfrac{6-2}{3}&\text{Evaluate} \\ x=\dfrac{8}{3}\text{ or }x=\dfrac{4}{3}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Observe que el radicando era un cuadrado perfecto y así pudimos escribir las soluciones como dos números separados.
Resolver:\(5(r+4)^2+1=626\)
Solución
Primero necesitamos aislar\((r + 4)^2\) para poder aplicar la propiedad de raíz cuadrada. Entonces podemos resolver como de costumbre.
\[\begin{array}{rl} 5(r+4)^2+1=626&\text{Isolate the variable term} \\ 5(r+4)^2=625 &\text{Isolate }(r+4)^2 \\ (r+4)^2=125 &\text{Apply the square root property} \\ r+4=\pm\sqrt{125}&\text{Solve for }r \\ r=-4\pm\sqrt{125}&\text{Simplify }\sqrt{125} \\ r=-4\pm\sqrt{25\cdot 5}&\text{Apply the product property} \\ r=-4\pm 5\sqrt{5}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver:\(2n^2+5=4\)
Solución
Primero necesitamos aislar\(n^2\) para poder aplicar la propiedad de raíz cuadrada. Entonces podemos resolver como de costumbre.
\[\begin{array}{rl} 2n^2+5=4&\text{Isolate the variable term} \\ 2n^2=-4&\text{Isolate }n^2 \\ n^2=-2&\text{Apply the square root property} \\ n=\pm\sqrt{-2}&\text{Reduce out an }i \\ n=\pm i\sqrt{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, un radicando de raíz cuadrada que es menor que cero es la parte imaginaria de un número complejo. Ahora que acabamos de discutir números complejos en el capítulo anterior, podemos resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática con soluciones reales y complejas.
Testo de propiedad de raíz cuadrada
Resuelve aplicando la propiedad de raíz cuadrada.
\((x-3)^2=16\)
\((x-2)^2=49\)
\((x-7)^2=4\)
\((s-5)^2=16\)
\((p+5)^2=81\)
\((s+3)^2=4\)
\((t+9)^2=37\)
\((a+5)^2=87\)
\((v-2)^2=70\)
\((n-9)^2=63\)
\((v+4)^2=63\)
\((r+1)^2=125\)
\((9r+1)^2=9\)
\((7m-8)^2=36\)
\((3s-6)^2=25\)
\(5(k-7)^2-6=369\)
\(5(z+6)^2-10=365\)
\(5(g-5)^2+13=103\)
\((2s+1)^2=0\)
\((z-4)^2=25\)
\((w+3)^2=49\)
\(2n^2+7=5\)
\(3n^2+2n=2n+24\)
\(8n^2-29=25+2n^2\)
\(2(r+9)^2-19=37\)
\(3(n-3)^2+2=164\)
\(3(y+8)^2+12=147\)
\(6(4x-4)^2-5=145\)
\(3(4x+6)^2-5=103\)
\(7(2x+6)^2-5=170\)
\(4(7x+6)^2-3=61\)
\(3(7x+3)^2+7=55\)
\(5(4x-5)^2-2=18\)