11.6: Aplicaciones con funciones cuadráticas
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Hay muchas aplicaciones que involucran funciones cuadráticas que es casi desafiante elegir las pocas funciones para discutir para esta sección. Sin embargo, solo elegimos algunas aplicaciones que son comunes en la mayoría de las clases de álgebra. Primero, debemos comenzar por definir el valor extremo de una función cuadrática.
Encuentre el Valor Extremo
El valor extremo de una función cuadrática\(f(x)\) es el valor mínimo o máximo de la función cuadrática\(f(x)\). El valor extremo se da como
\[f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\nonumber\]
El valor mínimo se ubica en el punto más bajo de una parábola ascendente y el valor máximo se ubica en el punto más alto de una parábola descendente.
Observe en la definición que el valor extremo es la\(y\) coordenada -del vértice. Recordemos, el vértice es
\[\left(-\dfrac{b}{2a},f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\nonumber\]
y podemos ver que la\(y\) coordenada es solo el valor extremo. De ahí que cuando usamos las palabras vértice, valor mínimo o máximo, o valor extremo, todas están asociadas con el vértice de una parábola.
Encuentra el vértice y el valor extremo de la función\(f(x) = x^2 − 4x + 5\).
Solución
Aviso\(a = 1\), lo que significa\(a > 0\). De ahí\(f(x)\) que sea una parábola ascendente y, a partir de la definición, esperamos\(f(x)\) tener un valor mínimo. Usemos la fórmula para encontrar el vértice, dónde\(a = 1\) y\(b = −4\).
\[\begin{array}{rl}x=-\dfrac{b}{2a}&\text{Plug-n-chug} \\ x=-\dfrac{\color{blue}{-4}}{\color{blue}{2(1)}}&\text{Simplify} \\ x=2&\text{The }x\text{-coordinate of the vertex}\end{array}\nonumber\]
A continuación, encontramos la\(y\) coordenada -del vértice mediante la obtención\(f(2)\).
\[\begin{array}{rl}f(x)=x^2-4x+5&\text{Plug-n-chug} \\ f(\color{blue}{2}\color{black}{)}=(\color{blue}{2}\color{black}{)}^2-4(\color{blue}{2}\color{black}{)}+5&\text{Evaluate} \\ f(2)=1&\text{The }y\text{-coordinate of the vertex}\end{array}\nonumber\]
De ahí que el vértice sea\((2, 1)\). A continuación, nos encontramos con el valor extremo de\(f(x)\). Del cálculo de vértices, vemos\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=f(2)=1\). Así, el valor extremo es\(1\), la\(y\) coordenada -del vértice.
Encuentra el vértice y el valor extremo de la función\(q(n) = −3n^2 − 5n + 3\).
Solución
Aviso\(a = −3\), lo que significa\(a < 0\). De ahí,\(q(n)\) es una parábola a la baja y, a partir de la definición, esperamos\(q(n)\) tener un valor máximo. Usemos la fórmula para encontrar el vértice, dónde\(a = −3\) y\(b = −5\).
\[\begin{array}{rl}n=-\dfrac{b}{2a}&\text{Plug-n-chug} \\ n=-\dfrac{\color{blue}{-5}}{\color{blue}{2(-3)}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ n=-\dfrac{5}{6}&\text{The }x\text{-coordinate of the vertex}\end{array}\nonumber\]
A continuación, encontramos la\(y\) coordenada -del vértice mediante la obtención\(q\left(-\dfrac{5}{6}\right)\).
\[\begin{array}{rl} q(n)=-3n^2-5n+3&\text{Plug-n-chug} \\ q\left(\color{blue}{-\dfrac{5}{6}}\color{black}{}\right)=-3\left(\color{blue}{-\dfrac{5}{6}}\color{black}{}\right)^2-5\left(\color{blue}{-\dfrac{5}{6}}\color{black}{}\right) +3&\text{Evaluate} \\ q\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{61}{12}&\text{The }y\text{-coordinate of the vertex}\end{array}\nonumber\]
De ahí que el vértice sea\(\left(-\dfrac{5}{6},\dfrac{61}{12}\right)\). A continuación, nos encontramos con el valor extremo de\(q(n)\). Del cálculo de vértices, vemos\(q\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=q\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{61}{12}\). Así, el valor extremo es\(\dfrac{61}{12}\), la\(y\) coordenada -del vértice.
Puede parecer un poco redundante encontrar el vértice y el valor extremo, pero, recuerden, el objetivo es aplicar este concepto a aplicaciones del mundo real con funciones cuadráticas. Echemos un vistazo a algunas aplicaciones donde encontramos el valor extremo en el contexto de un modelo del mundo real.
Movimiento de proyectiles
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo viene dada por\(h(t) = −4.9t^2 + 46t+ 157\). ¿A qué hora alcanza el cohete su altura máxima? ¿A qué altura alcanza el cohete su altura máxima sobre el agua? Redondea las respuestas a 2 decimales.
Solución
Cuando leemos la palabra máximo, debemos pensar en el vértice de\(h(t)\). Ya que necesitamos encontrar el tiempo en el que se produce la altura máxima, entonces podemos encontrar la\(x\) coordenada -del vértice.
\[\begin{aligned}t&=-\dfrac{b}{2a} \\ t&=-\dfrac{46}{2(-4.9)} \\ t&\approx 4.69\end{aligned}\]
Así, la altura máxima ocurre después de\(4.69\) segundos. A continuación, encontramos la altura del cohete cuando alcanza su altura máxima sobre el agua. Ya que necesitamos encontrar la altura máxima, entonces necesitamos encontrar la\(y\) coordenada -del vértice, o\(h(4.69)\).
\[h(4.69)=-4.9(4.69)^2+46(4.69)+157\approx 264.96\nonumber\]
Así, la altura máxima del cohete es de\(264.96\) metros después de\(4.69\) segundos en que se lanza el cohete.
Funciones de ingresos y costos
Los ingresos,\(R(x)\), de producir y vender\(x\) Awesome Hearing Aids están modelados por la función\(R(x) = −6x^2 + 108x\). ¿Cuál es el ingreso máximo?
Solución
Para encontrar los ingresos máximos, necesitamos encontrar\(R\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\), dónde\(a = −6\) y\(b = 108\). Vamos a enchufar y chug esto\(R(x)\) para encontrar los ingresos máximos.
\[\begin{aligned} R(x)&=-6x^2+108x \\ R\left(-\dfrac{b}{2a}\right)&=-6\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2+108\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \\ R\left(-\dfrac{\color{blue}{108}}{2\color{blue}{(-6)}}\right)&=-6\left(-\dfrac{\color{blue}{108}}{2\color{blue}{(-6)}}\right)^2+108\left(-\dfrac{\color{blue}{108}}{2\color{blue}{(-6)}}\right) \\ R\left(-\dfrac{\color{blue}{108}}{2\color{blue}{(-6)}}\right)&=486\end{aligned}\]
Así, el ingreso máximo es de 486 dólares.
El costo,\(C(x)\), de producir Coolers\(x\) Totally Cool está modelado por la función\(C(x) = 0.005x^2 −0.3x+ 17\). ¿Cuál es el costo mínimo?
Solución
Para encontrar el costo mínimo, necesitamos encontrar\(C\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\), dónde\(a=0.005\) y\(b=-0.3\). Vamos a enchufar y chug esto\(C(x)\) para encontrar el costo mínimo.
\[\begin{aligned}C(x)&=0.005x^2-0.3x+17 \\ C\left(-\dfrac{b}{2a}\right)&=0.005\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2-0.3\left(-\dfrac{b}{2a}\right)+17 \\ C\left(-\dfrac{\color{blue}{-0.3}}{2\color{blue}{(0.005)}}\right)&=0.005\left(-\dfrac{\color{blue}{-0.3}}{2\color{blue}{(0.005)}}\right)^2-0.3\left(-\dfrac{\color{blue}{-0.3}}{2\color{blue}{(0.005)}}\right)+17 \\ C\left(-\dfrac{\color{blue}{-0.3}}{2\color{blue}{(0.005)}}\right)&=12.5\end{aligned}\]
De todos los ejemplos, vemos la variedad de métodos para obtener el valor extremo de una función cuadrática. Podemos graficar la función, encontrar cada coordenada del vértice, o calcular directamente el valor extremo. Queda a criterio del alumno utilizar cualquier método. Sin embargo, se recomienda calcular directamente el valor extremo cuando solo se necesita el valor extremo.
Aplicaciones con Tareas de Funciones Cuadráticas
Encuentra el vértice y el valor extremo de la función\[f(x)=2x^2-5x-4\nonumber\] ¿Qué es el vértice? ¿Cuál es el valor extremo?
Encuentra el vértice y el valor extremo de la función\[f(x)=2x^2-2x-5\nonumber\] ¿Qué es el vértice? ¿Cuál es el valor extremo?
Encuentra el vértice y el valor extremo de la función\[f(x)=x^2+2x+24\nonumber\] ¿Qué es el vértice? ¿Cuál es el valor extremo?
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo viene dada por ¿\[h(t)=-4.9t^2+271t+150\nonumber\]A qué hora alcanza el cohete su altura máxima? ¿A qué altura alcanza el cohete su altura máxima sobre el agua? Redondea tu respuesta a 2 decimales.
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo viene dada por ¿\[h(t)=-4.9t^2+190t+395\nonumber\]A qué hora alcanza el cohete su altura máxima? ¿A qué altura alcanza el cohete su altura máxima sobre el agua? Redondea tu respuesta a 2 decimales.
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo viene dada por ¿\[h(t)=-4.9t^2+223t+129\nonumber\]A qué hora alcanza el cohete su altura máxima? ¿A qué altura alcanza el cohete su altura máxima sobre el agua? Redondea tu respuesta a 2 decimales.
El costo,\(C(x)\), de producir Coolers\(x\) Totally Cool está modelado por la función\[C(x)=0.005x^2-0.25x+12\nonumber\] ¿Cuántos enfriadores necesitan ser producidos y vendidos para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo?
El costo,\(C(x)\), de producir Coolers\(x\) Totally Cool está modelado por la función\[C(x)=0.005x^2-0.45x+25\nonumber\] ¿Cuántos enfriadores necesitan ser producidos y vendidos para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo?
Los ingresos,\(R(x)\), de producir y vender\(x\) Awesome Hearing Aids están modelados por la función\[R(x)=-5x^2+105x\nonumber\] ¿Cuántos audífonos necesitan ser producidos y vendidos para maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso?
Los ingresos,\(R(x)\), de producir y vender\(x\) Awesome Hearing Aids están modelados por la función\[R(x)=-2x^2+62x\nonumber\] ¿Cuántos audífonos necesitan ser producidos y vendidos para maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso?
Los ingresos,\(R(x)\), de producir y vender\(x\) Awesome Hearing Aids están modelados por la función\[R(x)=-4x^2+76x\nonumber\] ¿Cuántos audífonos necesitan ser producidos y vendidos para maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso