7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Objetivos de aprendizaje

• Multiplicar expresiones racionales.
• Dividir expresiones racionales.
• Multiplicar y dividir las funciones racionales.

Multiplicar expresiones racionales

Al multiplicar fracciones, podemos multiplicar los numeradores y denominadores juntos y luego reducir, como se ilustra:

\(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{9}=\dfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 9}=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{3}}}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{5}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{5}}}{1}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{9}}}{3}}}\color{black}{=\dfrac{1}{3} }\)

La multiplicación de expresiones racionales se realiza de manera similar. Por ejemplo,

\(\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y^{2}}=\dfrac{y \cdot x}{x \cdot y^{2}}=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{y}}}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{x}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{x}}}{1}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{y^{2}}}}{3}}}\color{black}{=\dfrac{1}{y} }\)

En general, dado polinomios\(P\),\(Q\),\(R\), y\(S\), donde\(Q≠0\) y\(S≠0\), tenemos

\[\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{R}{S}=\dfrac{P R}{Q S}\]

En esta sección, supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero a menos que se indique lo contrario.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Multiplicar:

\(\dfrac{12 x^{2}}{5 y^{3}} \cdot \dfrac{20 y^{4}}{6 x^{3}}\)

Solución:

Multiplicar numeradores y denominadores y luego cancelar factores comunes.

\(\begin{aligned} \dfrac{12 x^{2}}{5 y^{3}} \cdot \dfrac{20 y^{4}}{6 x^{3}}&=\dfrac{240x^{2}y^{4}}{30x^{3}y^{3}}\qquad\quad\:\:\color{Cerulean}{Multiply.} \\&=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{8}{\cancel{\color{black}{240}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{ \cancel{\color{black}{x^{2}}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{y}{ \cancel{\color{black}{y^{4}}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{30}}}{1}}\color{Cerulean}{ \stackrel{\cancel{\color{black}{x^{3}}}}{x}}\color{Cerulean}{ \stackrel{\cancel{\color{black}{y^{3}}}}{1}}} \qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{8 y}{x} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac{8y}{x}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Multiplicar:

\(\dfrac{x-3}{x+5} \cdot \dfrac{x+5}{x+7}\)

Solución:

Dejar el producto en forma factorizada y cancelar los factores comunes.

\(\begin{aligned} \dfrac{x-3}{x+5} \cdot \dfrac{x+5}{x+7} &=\dfrac{(x-3) \cdot\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}} \color{black}{\cdot(x+7)}} \\ &=\dfrac{x-3}{x+7} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac{x-3}{x+7}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Multiplicar:

\(\dfrac{15 x^{2} y^{3}}{(2 x-1)} \cdot \dfrac{x(2 x-1)}{3 x^{2} y(x+3)}\)

Solución:

Dejar los polinomios en el numerador y denominador factorizados para que podamos cancelar los factores. Es decir, no aplicar la propiedad distributiva.

\(\begin{aligned} \dfrac{15 x^{2} y^{3}}{(2 x-1)} \cdot \dfrac{x(2 x-1)}{3 x^{2} y(x+3)}&=\dfrac{15 x^{3} y^{3}(2 x-1)}{3 x^{2} y(2 x-1)(x+3)}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Multiply.} \\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{5}{\cancel{\color{black}{15}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{x}{\cancel{\color{black}{x^{3}}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{y^{2}}{\cancel{\color{black}{y^{3}}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{(2x-1)}}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{3}}\cancel{\color{black}{x^{2}}}\cancel{\color{black}{y}}\cancel{\color{black}{(2x-1)}}}\color{black}{(x+3)}}\qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{5xy^{2}}{x+3} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac{5 x y^{2}}{x+3}\)

Normalmente, las expresiones racionales no se darán en forma factorizada. En este caso, primero factorizar todos los numeradores y denominadores completamente. A continuación, multiplique y cancele cualquier factor común, si los hay.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Multiplicar:

\(\dfrac{x+5}{x-5} \cdot \dfrac{x-5}{x^{2}-25}\)

Solución

Factorizar el denominador\(x^{2}−25\) como una diferencia de cuadrados. Después multiplica y cancela.

\(\begin{aligned} \dfrac{x+5}{x-5} \cdot \dfrac{x-5}{x^{2}-25} &=\dfrac{x+5}{x-5} \cdot \dfrac{x-5}{(x+5)(x-5)} \qquad\qquad\color{Cerulean}{Factor.}\\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}}\color{black}{(x-5)}}\qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{1}{x-5} \end{aligned}\)

Ten en cuenta que 1 es siempre un factor; así que cuando todo el numerador cancela, asegúrate de escribir el factor 1.

Respuesta:

\(\dfrac{1}{x-5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Multiplicar:

Solución:

Es una buena práctica dejar la respuesta final en forma factorizada.

Respuesta:

\(\dfrac{(x+2)(x-4)}{(x-2)(x+7)}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Multiplicar:

Solución:

El trinomio\(−2x^{2}+x+3\) en el numerador tiene un coeficiente principal negativo. Recordemos que es una buena práctica factorizar primero a\(−1\) y luego factorizar el trinomio resultante.

Respuesta:

\(-\dfrac{3(2 x-3)}{x(x+4)}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Multiplicar:

\(\dfrac{7-x}{x^{2}+3 x} \cdot \dfrac{x^{2}+10 x+21}{x^{2}-49}\)

Solución:

Reemplazamos\(7−x\) con\(−1(x−7)\) para que podamos cancelar este factor.

\(\begin{aligned} \dfrac{7-x}{x^{2}+3 x} \cdot \dfrac{x^{2}+10 x+21}{x^{2}-49} &=\dfrac{-1(x-7)}{x(x+3)} \cdot \dfrac{(x+3)(x+7)}{(x+7)(x-7)} \\ &=\dfrac{-1\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-7)}}\cancel{\color{black}{(x+3)}}\cancel{\color{black}{(x+7)}}}}{x\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+3)}}\cancel{\color{black}{(x+7)}}\cancel{\color{black}{(x-7)}}}} \\ &=\dfrac{-1}{x} \\ &=-\dfrac{1}{x} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(-\dfrac{1}{x}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Multiplicar:

\(\dfrac{x^{2}-64}{8-x} \cdot \dfrac{x+x^{2}}{x^{2}+9 x+8}\)

Contestar

\(-x\)

Dividir expresiones racionales

Para dividir dos fracciones, multiplicamos por el recíproco del divisor, como se ilustra:

\(\dfrac{5}{8} \div \color{OliveGreen}{ \dfrac{1}{2}}\color{black}{=}\dfrac{5}{8} \cdot \color{OliveGreen}{\dfrac{2}{1}}\color{black}{=}\dfrac{5 \cdot \color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{2}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{8}}}{4}} \color{black}{\cdot 1}}=\dfrac{5}{4}\)

La división de expresiones racionales se realiza de manera similar. Por ejemplo,

\(\dfrac{x}{y^{2}} \div \color{OliveGreen}{ \dfrac{1}{y}}\color{black}{=}\dfrac{x}{y^{2}} \cdot \color{OliveGreen}{\dfrac{y}{1}}\color{black}{=}\dfrac{x \cdot \color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{y}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{y^{2}}}}{y}} \color{black}{\cdot 1}}=\dfrac{x}{y}\)

En general, dados los polinomios P, Q, R y S, donde\(Q≠0\)\(R≠0\),, y\(S≠0\), tenemos

\[\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S}=\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{S}{R}=\dfrac{P S}{Q R}\]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Dividir:

\(\dfrac{8 x^{5} y}{25 z^{6}} \div \dfrac{20 x y^{4}}{15 z^{3}}\)

Solución:

Primero, multiplicar por el recíproco del divisor y luego cancelar.

\(\begin{aligned} \dfrac{8 x^{5} y}{25 z^{6}} \div \color{Cerulean}{\dfrac{20 x y^{4}}{15 z^{3}}} &\color{black}{=}\dfrac{8 x^{5} y}{25 z^{6}} \cdot\color{Cerulean}{ \dfrac{15 z^{3}}{20 x y^{4}}}\qquad\color{Cerulean}{}Multiply\:by\:the\:reciprocal\:of\:the\:divisor. \\ &=\dfrac{120 x^{5} y z^{3}}{500 x y^{4} z^{6}}\\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{6}{\cancel{\color{black}{120}}}\stackrel{x^{4}}{\cancel{\color{black}{x^{5}}}}\cancel{\color{black}{y}}\cancel{\color{black}{z^{3}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{500}}}{25}\cancel{\color{black}{x}}\stackrel{\cancel{\color{black}{y^{4}}}}{y^{3}}\stackrel{\cancel{\color{black}{z^{6}}}}{z^{3}}}}\qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{6x^{4}}{25y^{3}z^{3}} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac{6 x^{4}}{25 y^{3} z^{3}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Dividir:

\(\dfrac{x+2}{x^{2}-4} \div \dfrac{x+3}{x-2}\)

Solución:

Después de multiplicar por el recíproco del divisor, factor y cancelar.

\(\begin{aligned} \dfrac{x+2}{x^{2}-4} \div \color{Cerulean}{\dfrac{x+3}{x-2}} &=\dfrac{x+2}{x^{2}-4} \cdot \color{Cerulean}{\dfrac{x-2}{x+3}}\qquad\quad\:\qquad\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:the\:reciprocal\:of\:the\:divisor.} \\ &=\dfrac{(x+2)}{(x+2)(x-2)} \cdot \dfrac{(x-2)}{(x+3)}\qquad\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}\cancel{\color{black}{(x-2)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}\cancel{\color{black}{(x-2)}}}\color{black}{(x+3)}}\qquad\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{1}{x+3} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac{1}{x+3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Dividir:

Solución:

Comienza multiplicando por el recíproco del divisor. Después de hacerlo, factorizar y cancelar.

Respuesta:

\(\dfrac{(x-8)(x-5)}{(x+7)^{2}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Dividir:

Solución:

Así como hacemos con las fracciones, pensemos en el divisor\((2x−3)\) como una fracción algebraica sobre 1.

Respuesta:

\(-\dfrac{2 x+3}{x+2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dividir:

Contestar

\(-4 x^{3}-8 x^{2}\)

Multiplicar y dividir funciones racionales

El producto y el cociente de dos funciones racionales se pueden simplificar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Las restricciones al dominio de un producto consisten en las restricciones de cada función.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Calcular\((f⋅g)(x)\) y determinar las restricciones al dominio.

Solución:

En este caso, el dominio de\(f(x)\) consiste en todos los números reales excepto 0, y el dominio de\(g(x)\) consiste en todos los números reales excepto\(\dfrac{1}{4}\).

Por lo tanto, el dominio del producto consiste en todos los números reales excepto 0 y\(\dfrac{1}{4}\). Multiplica las funciones y luego simplifica el resultado.

Respuesta:

\((f \cdot g)(x)=-\dfrac{4 x+1}{5 x}\), donde\(x\neq 0, \dfrac{1}{4}\)

Las restricciones al dominio de un cociente consistirán en las restricciones de cada función así como las restricciones al recíproco del divisor.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Calcular\((f/g)(x)\) y determinar las restricciones.

Solución:

En este caso, el dominio de\(f(x)\) consiste en todos los números reales excepto 3 y 8, y el dominio de\(g(x)\) consiste en todos los números reales excepto 3. Además, el recíproco de\(g(x)\) tiene una restricción de −8. Por lo tanto, el dominio de este cociente consiste en todos los números reales excepto 3, 8 y −8.

Respuesta:

\((f / g)(x) = 1\), donde\(x\neq 3, 8, -8\)

Claves para llevar

• Después de multiplicar expresiones racionales, factorizar tanto el numerador como el denominador y luego cancelar los factores comunes. Tomar nota de las restricciones al dominio. Los valores que dan un valor de 0 en el denominador son las restricciones.
• Para dividir expresiones racionales, multiplicar por el recíproco del divisor.
• Las restricciones al dominio de un producto consisten en las restricciones al dominio de cada factor.
• Las restricciones al dominio de un cociente consisten en las restricciones al dominio de cada expresión racional así como las restricciones al recíproco del divisor.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\) Multiplying Rational Expressions

Multiplicar. (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)

1. \(\dfrac{2 x}{3} \cdot \dfrac{9}{4 x^{2}}\)
2. \(-\dfrac{5 x}{3 y} \cdot \dfrac{y^{2}}{25 x}\)
3. \(\dfrac{5 x^{2}}{2 y} \cdot \dfrac{4 y^{2}}{15 x^{3}}\)
4. \(\dfrac{16 a^{4}}{7 b^{2}} \cdot \dfrac{49 b^{3}}{2 a^{3}}\)
5. \(\dfrac{x-6}{12 x^{3}} \cdot \dfrac{24 x^{2}}{x-6}\)
6. \(\dfrac{x+10}{2x−1}\cdot\dfrac{x−2}{x+10}\)
7. \(\dfrac{(y-1)^{2}}{y+1} \cdot \dfrac{1}{y-1}\)
8. \(\dfrac{y^{2}-9}{y+3} \cdot \dfrac{2 y-3}{y-3}\)
9. \(\dfrac{2 a-5}{a-5} \cdot \dfrac{2 a+5}{4 a^{2}-25}\)
10. \(\dfrac{2 a^{2}-9 a+4}{a^{2}-16} \cdot\left(a^{2}+4 a\right)\)
11. \(\dfrac{2 x^{2}+3 x-2}{(2 x-1)^{2}} \cdot \dfrac{2 x}{x+2}\)
12. \(\dfrac{9x^{2}+19x+2}{4−x^{2}}\cdot\dfrac{x^{2}−4x+4}{9x^{2}−8x−1}\)
13. \(\dfrac{x^{2}+8x+16}{16−x^{2}}\cdot\dfrac{x^{2}−3x−4}{x^{2}+5x+4}\)
14. \(\dfrac{x^{2}−x−2}{x^{2}+8x+7}\cdot\dfrac{x^{2}+2x−15}{x^{2}−5x+6}\)
15. \(\dfrac{x+1}{x−3}\cdot\dfrac{3−x}{x+5}\)
16. \(\dfrac{2x−1}{x−1}\cdot\dfrac{x+6}{1−2x}\)
17. \(\dfrac{9+x}{3x+1}\cdot\dfrac{3}{x+9}\)
18. \(\dfrac{1}{2+5x}\cdot\dfrac{5x+2}{5x}\)
19. \(\dfrac{100-y^{2}}{y-10} \cdot \dfrac{25 y^{2}}{y+10}\)
20. \(\dfrac{3 y^{3}}{6 y-5} \cdot \dfrac{36 y^{2}-25}{5+6 y}\)
21. \(\dfrac{3 a^{2}+14 a-5}{a^{2}+1} \cdot \dfrac{3 a+1}{1-9 a^{2}}\)
22. \(\dfrac{4a^{2}−16a}{4a−1}\cdot\dfrac{1−16a^{2}}{4a^{2}−15a−4}\)
23. \(\dfrac{x+9}{-x^{2}+14 x-45} \cdot\left(x^{2}-81\right) \)
24. \(\dfrac{1}{2+5 x} \cdot\left(25 x^{2}+20 x+4\right)\)
25. \(\dfrac{x^{2}+x−6}{3x^{2}+15x+18}\cdot\dfrac{2x^{2}−8}{x^{2}−4x+4}\)
26. \(\dfrac{5x^{2}−4x−1}{5x^{2}−6x+1}\cdot\dfrac{25x^{2}−10x+1}{3−75x^{2}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{3}{2x}\)

3. \(\dfrac{2y}{3x}\)

5. \(\dfrac{2}{x}\)

7. \(\dfrac{y−1}{y+1}\)

9. \(\dfrac{1}{a−5}\)

11. \(\dfrac{2x}{2x−1}\)

13. \(−1\)

15. \(−\dfrac{x+1}{x+5}\)

17. \(\dfrac{3}{3x+1}\)

19. \(−25y^{2}\)

21. \(-\dfrac{a+5}{a^{2}+1}\)

23. \(-\dfrac{(x+9)^{2}}{x-5}\)

25. \(\dfrac{2}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Dividing Rational Expressions

Dividir. (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)

1. \(\dfrac{5 x}{8} \div \dfrac{15 x^{2}}{4}\)
2. \(\dfrac{3}{8 y} \div \dfrac{15}{2 y^{2}}\)
3. \(\dfrac{\dfrac{5 x^{9}}{3 y^{3}}}{\dfrac{25 x^{10}}{9 y^{5}}}\)
4. \(\dfrac{\dfrac{12 x^{4} y^{2}}{21 z^{5}}}{\dfrac{6 x^{3} y^{2}}{7 z^{3}}}\)
5. \(\dfrac{(x-4)^{2}}{30 x^{4}} \div \dfrac{x-4}{15 x}\)
6. \(\dfrac{5 y^{4}}{10(3 y-5)^{2}} \div \dfrac{10 y^{5}}{2(3 y-5)^{3}}\)
7. \(\dfrac{x^{2}-9}{5 x} \div(x-3)\)
8. \(\dfrac{y^{2}-64}{8 y} \div(8+y)\)
9. \(\dfrac{(a-8)^{2}}{2 a^{2}+10 a} \div \dfrac{a-8}{a}\)
10. \(\dfrac{2}{4 a^{2} b^{3}(a-2 b)} \div 12 a b(a-2 b)^{5}\)
11. \(\dfrac{x^{2}+7 x+10}{x^{2}+4 x+4} \div \dfrac{1}{x^{2}-4}\)
12. \(\dfrac{2 x^{2}-x-1}{2 x^{2}-3 x+1} \div \dfrac{1}{4 x^{2}-1}\)
13. \(\dfrac{y+1}{y^{2}-3 y} \div \dfrac{y^{2}-1}{y^{2}-6 y+9}\)
14. \(\dfrac{9-a^{2}}{a^{2}-8 a+15} \div \dfrac{2 a^{2}-10 a}{a^{2}-10 a+25}\)
15. \(\dfrac{a^{2}-3 a-18}{2 a^{2}-11 a-6} \div \dfrac{a^{2}+a-6}{2 a^{2}-a-1}\)
16. \(\dfrac{y^{2}-7 y+10}{y^{2}+5 y-14} \div \dfrac{2 y^{2}-9 y-5}{y^{2}+14 y+49}\)
17. \(\dfrac{6 y^{2}+y-1}{4 y^{2}+4 y+1} \div \dfrac{3 y^{2}+2 y-1}{2 y^{2}-7 y-4}\)
18. \(\dfrac{x^{2}−7x−18}{x^{2}+8x+12}\div\dfrac{x^{2}−81}{x^{2}+12x+36}\)
19. \(\dfrac{4a^{2}−b^{2}}{b+2a}\div (b−2a)^{2}\)
20. \(\dfrac{x^{2}−y^{2}}{y+x}\div (y−x)^{2}\)
21. \(\dfrac{5 y^{2}(y-3)}{4 x^{3}} \div \dfrac{25 y(3-y)}{2 x^{2}}\)
22. \(\dfrac{15 x^{3}}{3(y+7)} \div \dfrac{25 x^{6}}{9(7+y)^{2}} \)
23. \(\dfrac{3 x+4}{x-8} \div \dfrac{7 x}{8-x}\)
24. \(\dfrac{3x−2}{2x+1}\div \dfrac{2−3x}{3x}\)
25. \(\dfrac{(7 x-1)^{2}}{4 x+1} \div \dfrac{28 x^{2}-11 x+1}{1-4 x}\)
26. \(\dfrac{4 x}{(x+2)^{2}} \div \dfrac{2-x}{x^{2}-4}\)
27. \(\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a} \div(b-a)^{2}\)
28. \(\dfrac{(a−2b)^{2}}{2b}\div (2b^{2}+ab−a^{2})\)
29. \(\dfrac{x^{2}−6x+9}{x^{2}+7x+12}\div \dfrac{9−x^{2}}{x^{2}+8x+16}\)
30. \(\dfrac{2x^{2}−9x−5}{25−x^{2}}\div \dfrac{1−4x+4x^{2}}{−2x^{2}−9x+5}\)
31. \(\dfrac{3x^{2}−16x+5}{100−4x^{2}}\div\dfrac{ 9x^{2}−6x+1}{3x^{2}+14x−5}\)
32. \(\dfrac{10x^{2}−25x−15}{x^{2}−6x+9}\div\dfrac{9−x^{2}}{x^{2}+6x+9}\)

Contestar

1. \(\dfrac{1}{6x}\)

3. \(\dfrac{3y^{2}}{5x}\)

5. \(\dfrac{x−4}{2x3}\)

7. \(\dfrac{x+3}{5x}\)

9. \(\dfrac{a−8}{2(a+5)}\)

11. \((x+5)(x−2)\)

13. \(\dfrac{y−3}{y(y−1)}\)

15. \(\dfrac{a−1}{a−2}\)

17. \(\dfrac{y−4}{y+1}\)

19. \(\dfrac{1}{2a−b}\)

21. \(−\dfrac{y}{10x}\)

23. \(−\dfrac{3x+4}{7x}\)

25. \(−\dfrac{7x−1}{4x+1}\)

27. \(\dfrac{a+b}{a(a-b)}\)

29. \(−\dfrac{(x−3)(x+4)}{(x+3)^{2}}\)

31. \(−\dfrac{1}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Dividing Rational Expressions

Recordemos que la multiplicación y división se van a realizar en el orden en que aparezcan de izquierda a derecha. Simplifica lo siguiente.

1. \(\dfrac{1}{x^{2}} \cdot \dfrac{x-1}{x+3} \div \dfrac{x-1}{x^{3}}\)
2. \(\dfrac{x−7}{x+9}\cdot\dfrac{1}{x^{3}}\div\dfrac{x−7}{x}\)
3. \(\dfrac{x+1}{x−2}\div\dfrac{x}{x−5}\cdot\dfrac{x^{2}}{x+1}\)
4. \(\dfrac{x+4}{2x+5}\div \dfrac{x−3}{2x+5}\cdot\dfrac{x+4}{x−3}\)
5. \(\dfrac{2x−1}{x+1}\div\dfrac{x−4}{x^{2}+1}\cdot\dfrac{x−4}{2x−1}\)
6. \(\dfrac{4x^{2}−1}{3x+2}\div\dfrac{2x−1}{x+5}\cdot\dfrac{3x+2}{2x+1}\)

Contestar

1. \(\dfrac{x}{x+3}\)

3. \(\dfrac{x(x−5)}{x−2}\)

5. \(\dfrac{x^{2}+1}{x+1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Multiplying and Dividing Rational Functions

Calcular\((f⋅g)(x)\) y determinar las restricciones al dominio.

1. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)y\(g(x)=\dfrac{1}{x−1}\)
2. \(f(x)=\dfrac{x+1}{x−1}\)y\(g(x)=x^{2}−1\)
3. \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}\)y\(g(x)=\dfrac{x^{2}−4}{(3x+2)^{2}}\)
4. \(f(x)=\dfrac{(1−3x)}{2x−6}\)y\(g(x)=\dfrac{(x−6)^{2}}{9x^{2}−1}\)
5. \(f(x)=\dfrac{25x^{2}−1}{x^{2}+6x+9}\)y\(g(x)=\dfrac{x^{2}−9}{5x+1}\)
6. \(f(x)=\dfrac{x^{2}−49}{2x^{2}+13x−7}\)y\(g(x)=\dfrac{4x^{2}−4x+1}{7−x}\)

Contestar

1. \((f⋅g)(x)=\dfrac{1}{x(x−1)} ; x≠0, 1 \)

3. \((f⋅g)(x)=\dfrac{x−2}{3x+2}; x≠−2, −\dfrac{2}{3}\)

5. \((f⋅g)(x)=\dfrac{(x−3)}{(5x−1)x+3}; x≠−3, −\dfrac{1}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Multiplying and Dividing Rational Functions

Calcular\((f/g)(x)\) y declarar las restricciones.

1. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)y\(g(x)=\dfrac{x−2}{x−1}\)
2. \(f(x)=\dfrac{(5x+3)^{2}}{x^{2}}\)y\(g(x)=\dfrac{5x+3}{6−x}\)
3. \(f(x)=\dfrac{5−x}{(x−8)^{2}}\)y\(g(x)=\dfrac{x^{2}−2}{5x−8}\)
4. \(f(x)=\dfrac{x^{2}−2x−1}{5x^{2}−3x−10}\)y\(g(x)=\dfrac{2x^{2}−5x−3}{x^{2}−7x+12}\)
5. \(f(x)=\dfrac{3x^{2}+11x−4}{9x^{2}−6x+1}\)y\(g(x)=\dfrac{x^{2}−2x+1}{3x^{2}−4x+1}\)
6. \(f(x)=\dfrac{36−x^{2}}{x^{2}+12x+36}\)y\(g(x)=\dfrac{x^{2}−12x+3}{6x^{2}+4x−12}\)

Contestar

1. \((f/g)(x)=\dfrac{x−1}{x(x−2)}; x≠0, 1, 2\)

3. \((f/g)(x)=−\dfrac{1}{(x−8)(x+5)}; x≠±5, 8\)

5. \((f/g)(x)=\dfrac{(x+4)}{(x−1)}; x≠\dfrac{1}{3}, 1\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. En la historia de las fracciones, ¿a quién se le atribuye el primer uso de la barra de fracciones?
2. ¿Cómo usaban las fracciones los antiguos egipcios?
3. Explicar por qué\(x=7\) es una restricción a\(\dfrac{1}{x}\div\dfrac{x−7}{x−2}\).

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1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar