7.3: Sumando y restando expresiones racionales

Objetivos de aprendizaje

• Sumar y restar expresiones racionales con denominadores comunes.
• Sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos.
• Sumar y restar funciones racionales.

Sumar y restar con denominadores comunes

Sumar y restar expresiones racionales es similar a sumar y restar fracciones. Recordemos que si los denominadores son iguales, podemos sumar o restar los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común.

\(\begin{aligned} \frac{3}{13}+\frac{7}{13} &=\frac{3+7}{13} \\ &=\frac{10}{13} \end{aligned}\)

Cuando se trabaja con expresiones racionales, el denominador común será un polinomio. En general, dados los polinomios P, Q y R, donde\(Q≠0\), tenemos lo siguiente:

\[\frac{P}{Q} \pm \frac{R}{Q}=\frac{P \pm R}{Q}\]

En esta sección, supongamos que todos los factores variables en el denominador son distintos de cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Agregar:

\(\frac{3}{y}+\frac{7}{y}\)

Solución:

Agregar los numeradores\(3\) y\(7\), y escribir el resultado sobre el denominador común, y.

\(\begin{aligned} \frac{3}{y}+\frac{7}{y} &=\frac{3+7}{y} \\ &=\frac{10}{y} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{10}{y}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Restar:

\(\frac{x-5}{2 x-1}-\frac{1}{2 x-1}\)

Solución:

Restar los numeradores\(x−5\) y\(1\), y escribir el resultado sobre el denominador común,\(2x−1\).

\(\begin{aligned} \frac{x-5}{2 x-1}-\frac{1}{2 x-1} &=\frac{x-5-1}{2 x-1}\qquad\color{Cerulean}{Simplify\:the\:numerator.} \\ &=\frac{x-6}{2 x-1} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{x-6}{2 x-1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Restar:

\(\frac{2 x+7}{(x+5)(x-3)}-\frac{x+10}{(x+5)(x-3)}\)

Solución:

Usamos paréntesis para recordarnos restar todo el numerador de la segunda expresión racional.

\(\begin{aligned} \frac{2 x+7}{(x+5)(x-3)}-\frac{x+10}{(x+5)(x-3)} &=\frac{(2 x+7)-(x+10)}{(x+5)(x-3)}\qquad\color{Cerulean}{Simplify\:the\:numerator.} \\ &=\frac{2 x+7-x-10}{(x+5)(x-3)}\qquad\quad\:\:\color{Cerulean}{Leave\:the\:denominator\:factored.} \\ &=\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{x-3}}}}}{(x+5)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-3)}}}}\qquad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Cancel\:common\:factors.} \\ &=\frac{1}{x+5} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{1}{x+5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

\(\frac{2 x^{2}+10 x+3}{x^{2}-36}-\frac{x^{2}+6 x+5}{x^{2}-36}+\frac{x-4}{x^{2}-36}\)

Solución:

Restar y sumar los numeradores. Hacer uso de paréntesis y escribir el resultado sobre el denominador común,\(x^{2}−36\).

Respuesta:

\(\frac{x-1}{x-6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Restar:

Responder

\(\frac{1}{x-4}\)

Sumar y restar con denominadores diferentes

Para agregar expresiones racionales con denominadores diferentes, primero encuentra expresiones equivalentes con denominadores comunes. Haz esto tal como tienes con fracciones. Si los denominadores de fracciones son relativamente primos, entonces el mínimo denominador común (LCD) es su producto. Por ejemplo,

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{5} \color{Cerulean}{\Rightarrow}\color{black}{ \mathrm{LCD}=3 \cdot 5=15}\)

Multiplique cada fracción por la forma apropiada de 1 para obtener fracciones equivalentes con un denominador común.

\(\begin{aligned} \frac{1}{3}+\frac{1}{5} &=\frac{1\color{Cerulean}{ \cdot 5}}{3 \color{Cerulean}{\cdot 5}}+\frac{1 \color{Cerulean}{\cdot 3}}{5 \color{Cerulean}{\cdot 3}} \\ &=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:fractions\:with\:a\:common\:denominator} \\ &=\frac{5+3}{15} \\ &=\frac{8}{15} \end{aligned}\)

El proceso de sumar y restar expresiones racionales es similar. En general, dados los polinomios P, Q, R y S, donde\(Q≠0\) y\(S≠0\), tenemos los siguientes:

\[\frac{P}{Q} \pm \frac{R}{S}=\frac{P S \pm Q R}{Q S}\]

En esta sección, supongamos que todos los factores variables en el denominador son distintos de cero.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Agregar:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Solución:

En este ejemplo, el\(LCD=xy\). Para obtener términos equivalentes con este denominador común, multiplique el primer término por\(\frac{y}{y}\) y el segundo término por\(\frac{x}{x}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{x} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{y}{y}}\color{black}{+}\frac{1}{y} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x}{x}} \\ &=\frac{y}{x y}+\frac{x}{x y}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:terms\:with\:a\:common\:denominator.} \\ &=\frac{y+x}{x y}\qquad\qquad\:\:\quad\color{Cerulean}{Add\:the\:numerators\:and\:place\:the\:result\:over\:the\:common\:denominator,\:xy.} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{y+x}{x y}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Restar:

\(\frac{1}{y}-\frac{1}{y-3}\)

Solución:

Desde el\(LCD=y(y−3)\), multiplicar el primer término por 1 en la forma de\(\frac{(y−3)}{(y−3)}\) y el segundo término por\(\frac{y}{y}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{y}-\frac{1}{y-3} &=\frac{1}{y} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{(y-3)}{(y-3)}}\color{black}{-}\frac{1}{y-3} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{y}{y}} \\ &=\frac{(y-3)}{y(y-3)}-\frac{y}{y(y-3)} \\ &=\frac{y-3-y}{y(y-3)} \\ &=\frac{-3}{y(y-3)} \quad \text { or }=-\frac{3}{y(y-3)} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{-3}{y(y-3)}\)

No siempre se da el caso de que la LCD sea producto de los denominadores dados. Por lo general, los denominadores no son relativamente primos; por lo tanto, determinar la LCD requiere un poco de pensamiento. Comience por factorizar todos los denominadores. El LCD es el producto de todos los factores con la mayor potencia. Por ejemplo, dado

\(\frac{1}{\color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{(x+2)}\color{Cerulean}{(x-3)}} \quad \text { and } \quad \frac{1}{x\color{Cerulean}{(x+2)^{2}}}\)

hay tres factores básicos en el denominador:\(x, (x+2)\), y\((x−3)\). Los poderes más altos de estos factores son\(x^{3}, (x+2)^{2}\), y\((x−3)^{1}\). Por lo tanto,

\(\mathrm{LCD}=\color{Cerulean}{x^{3}(x+2)^{2}(x-3)}\)

Los pasos generales para sumar o restar expresiones racionales se ilustran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Restar:

Solución:

Paso 1: Facturar todos los denominadores para determinar el LCD.

El LCD es\((x+1)(x+3)(x−5)\).

Paso 2: Multiplicar por los factores apropiados para obtener términos equivalentes con un denominador común. Para ello, multiplique el primer término por\(\frac{(x−5)}{(x−5)}\) y el segundo término por\(\frac{(x+3)}{(x+3)}\).

\(\begin{array}{l}{=\frac{x}{(x+1)(x+3)} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x-5)}{(x-5)}}\color{black}{-}\frac{3}{(x+1)(x-5)} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{(x+3)}{(x+3)}}} \\ {=\frac{x(x-5)}{(x+1)(x+3)(x-5)}-\frac{3(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-5)}}\end{array}\)

Paso 3: Suma o resta los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador común.

\(=\frac{x(x-5)-3(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-5)}\)

Paso 4: Simplificar la fracción algebraica resultante.

Respuesta:

\(\frac{(x-9)}{(x+3)(x-5)}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Restar:

Solución:

Lo mejor es no factificar el numerador,\(x^{2}−9x+18\), porque lo más probable es que necesitemos simplificar después de restar.

Respuesta:

\(\frac{18}{(x-4)(x-9)}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Restar:

\(\frac{1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x}\)

Solución:

En primer lugar, factorial los denominadores y determinar la LCD. Observe cómo se aplica la propiedad binomial opuesta para obtener un denominador más viable.

\(\begin{aligned} \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x} &=\frac{1}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{-1(x-2)} \\ &=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)} \end{aligned}\)

El LCD es\((x+2)(x−2)\). Multiplique el segundo término por 1 en forma de\(\frac{(x+2)}{(x+2)}\).

\(\begin{array}{l}{=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x+2)}{(x+2)}}} \\ {=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}}\end{array}\)

Ahora que tenemos términos equivalentes con un denominador común, sumamos los numeradores y escribimos el resultado sobre el denominador común.

\(\begin{array}{l}{=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}} \\ {=\frac{1+x+2}{(x+2)(x-2)}} \\ {=\frac{x+3}{(x+2)(x-2)}}\end{array}\)

Respuesta:

\(\frac{x+3}{(x+2)(x-2)}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

\(\frac{y-1}{y+1}-\frac{y+1}{y-1}+\frac{y^{2}-5}{y^{2}-1}\)

Solución:

Comience por factorizar el denominador.

\(\begin{array}{c}{\frac{y-1}{y+1}-\frac{y+1}{y-1}+\frac{y^{2}-5}{y^{2}-1}} \\ {=\frac{y-1}{y+1}-\frac{y+1}{y-1}+\frac{y^{2}-5}{(y+1)(y-1)}}\end{array}\)

Podemos ver que el LCD es\((y+1)(y−1)\). Encuentra fracciones equivalentes con este denominador.

A continuación, restar y sumar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.

Terminar simplificando la expresión racional resultante.

Respuesta:

\(\frac{y-5}{y-1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

\(-\frac{2 x^{2}-1+x}{1+x}-\frac{5}{1-x}\)

Responder

\(\frac{x+3}{x-1}\)

Las expresiones racionales a veces se expresan usando exponentes negativos. En este caso, aplicar las reglas para exponentes negativos antes de simplificar la expresión.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

\(y^{-2}+(y-1)^{-1}\)

Solución:

Recordemos eso\(x^{−n}=\frac{1}{x^{n}}\). Comenzamos por reescribir los exponentes negativos como expresiones racionales.

\(\begin{aligned} & y^{-2}+(y-1)^{-1} \\=& \frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(y-1)^{1}}\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Replace\:negative\:exponents.} \\=& \frac{1}{y^{2}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(y-1)}{(y-1)}}\color{black}{+\frac{1}{(y-1)}} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{y^{2}}{y^{2}}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:factors\:to\:obtain\:equivalent}\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{expressions\:with\:a\:common\:denominator.} \\=&\frac{(y-1)}{y^{2}(y-1)}+\frac{y^{2}}{y^{2}(y-1)} \\=&\frac{(y-1)+y^{2}}{y^{2}(y-1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:simplify.} \\ =& \frac{y^{2}+y-1}{y^{2}(y-1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{The\:trinomial\:does\:not\:factor.} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{y^{2}+y-1}{y^{2}(y-1)}\)

Sumando y restando funciones racionales

Podemos simplificar sumas o diferencias de funciones racionales utilizando las técnicas aprendidas en esta sección. Las restricciones del resultado consisten en las restricciones a los dominios de cada función.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Calcular\((f+g)(x)\), dado\(f(x)=\frac{1}{x+3}\) y\(g(x)=\frac{1}{x−2}\), y exponer las restricciones.

Solución:

\(\begin{aligned}(f+g)(x) &=f(x)+g(x) \\ &=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-2} \\ &=\frac{1}{x+3} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x-2)}{(x-2)}}\color{black}{+\frac{1}{x-2} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{(x+3)}{(x+3)}} \\ &=\frac{x-2}{(x+3)(x-2)}+\frac{x+3}{(x-2)(x+3)} \\ &=\frac{x-2+x+3}{(x+3)(x-2)} \\ &=\frac{2 x+1}{(x+3)(x-2)} \end{aligned}\)

Aquí el dominio de f consta de todos los números reales excepto\(−3\), y el dominio de g consiste en todos los números reales excepto\(2\). Por lo tanto, el dominio de f + g consiste en todos los números reales excepto\(−3\) y\(2\).

Respuesta:

\(\frac{2 x+1}{(x+3)(x-2)}\), donde\(x\neq -3,2\)

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Calcular\((f−g)(x)\), dado\(f(x)=\frac{x(x−1)}{x^{2}−25}\) y\(g(x)=\frac{x−3}{x−5}\), y exponer las restricciones al dominio.

Solución:

\(\begin{aligned}(f-g)(x) &=f(x)-g(x) \\ &=\frac{x(x-1)}{x^{2}-25}-\frac{x-3}{x-5} \\ &=\frac{x(x-1)}{(x+5)(x-5)}-\frac{(x-3)}{(x-5)} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x+5)}{(x+5)}} \\ &=\frac{x(x-1)-(x-3)(x+5)}{(x+5)(x-5)} \\&=\frac{x^{2}-x-(x^{2}+5x-3x-15)}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x^{2}-x-(x^{2}+2x-15)}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x^{2}-x-x^{2}-2x+15}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{-3x+15}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{-3\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}{(x+5)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}\\&=\frac{-3}{x+5} \end{aligned}\)

El dominio de f consiste en todos los números reales excepto\(5\) y\(−5\), y el dominio de g consiste en todos los números reales excepto\(5\). Por lo tanto, el dominio de f − g consiste en todos los números reales excepto\(−5\) y\(5\).

Respuesta:

\(\frac{-3}{x+5}\), donde\(x\neq\pm 5\)

Claves para llevar

• Al sumar o restar expresiones racionales con un denominador común, sumar o restar las expresiones en el numerador y escribir el resultado sobre el denominador común.
• Para encontrar expresiones racionales equivalentes con un denominador común, primero factorial todos los denominadores y determinar el mínimo común múltiplo. Después multiplicar el numerador y denominador de cada término por el factor apropiado para obtener un denominador común. Por último, sumar o restar las expresiones en el numerador y escribir el resultado sobre el denominador común.
• Las restricciones al dominio de una suma o diferencia de funciones racionales consisten en las restricciones a los dominios de cada función.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Adding and Subtracting with Common Denominators

Simplificar. (Supongamos que todos los denominadores son diferentes de cero.)

1. \(\frac{3}{x}+\frac{7}{x}\)
2. \(\frac{9}{x}-\frac{10}{x}\)
3. \(\frac{x}{y}−\frac{3}{y}\)
4. \(\frac{4}{x−3}+\frac{6}{x−3}\)
5. \(\frac{7}{2x−1}−\frac{x}{2x−1}\)
6. \(\frac{8}{3x−8}−\frac{3x}{3x−8}\)
7. \(\frac{2}{x−9}+\frac{x−11}{x−9}\)
8. \(\frac{y+2}{2y+3}−\frac{y+3}{2y+3}\)
9. \(\frac{2x−3}{4x−1}−\frac{x−4}{4x−1}\)
10. \(\frac{2x}{x−1}−\frac{3x+4}{x−1}+\frac{x−2}{x−1}\)
11. \(\frac{1}{3y}−\frac{2y−9}{3y}−\frac{13−5y}{3y}\)
12. \(\frac{−3y+2}{5y−10}+\frac{y+7}{5y−10}−\frac{3y+4}{5y−10}\)
13. \(\frac{x}{(x+1)(x-3)}-\frac{3}{(x+1)(x-3)}\)
14. \(\frac{3x+5}{(2x−1)(x−6)}−\frac{x+6}{(2x−1)(x−6)}\)
15. \(\frac{x}{x^{2}-36}+\frac{6}{x^{2}-36}\)
16. \(\frac{x}{x^{2}−81}−\frac{9}{x^{2}−81}\)
17. \(\frac{x^{2}+2}{x^{2}+3 x-28}+\frac{x-2}{2 x^{2}+3 x-28}\)
18. \(\frac{x^{2}}{x^{2}-x-3}-\frac{3-x^{2}}{x^{2}-x-3}\)

Responder

1. \(\frac{10}{x}\)

3. \(\frac{x−3}{y}\)

5. \(\frac{7−x}{2x−1}\)

7. \(1\)

9. \(\frac{x+1}{4x−1}\)

11. \(\frac{y−1}{y}\)

13. \(\frac{1}{x+1}\)

15. \(\frac{1}{x−6}\)

17. \(\frac{x+5}{x+7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Adding and Subtracting with Unlike Denominators

Simplificar. (Supongamos que todos los denominadores son diferentes de cero.)

1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3x}\)
2. \(\frac{1}{5 x^{2}}-\frac{1}{x}\)
3. \(\frac{1}{12 y^{2}}+\frac{3}{10 y^{3}}\)
4. \(\frac{1}{x}−\frac{1}{2y}\)
5. \(\frac{1}{y}−2\)
6. \(\frac{3}{y+2}−4\)
7. \(\frac{2}{x+4}+2\)
8. \(\frac{2}{y}−\frac{1}{y^{2}}\)
9. \(\frac{3}{x+1}+\frac{1}{x}\)
10. \(\frac{1}{x−1}−\frac{2}{x}\)
11. \(\frac{1}{x−3}+\frac{1}{x+5}\)
12. \(\frac{1}{x+2}−\frac{1}{x−3}\)
13. \(\frac{x}{x+1}−\frac{2}{x−2}\)
14. \(\frac{2x−3}{x+5}−\frac{x}{x−3}\)
15. \(\frac{y+1}{y−1}+\frac{y−1}{y+1}\)
16. \(\frac{3y−1}{3y}−\frac{y+4}{y−2}\)
17. \(\frac{2x−5}{2x+5}−\frac{2x+5}{2x−5}\)
18. \(\frac{2}{2x−1}−\frac{2x+1}{1−2x}\)
19. \(\frac{3x+4}{x−8}−\frac{2}{8−x}\)
20. \(\frac{1}{y−1}+\frac{1}{1−y}\)
21. \(\frac{2x^{2}}{x^{2}−9}+\frac{x+15}{9−x^{2}}\)
22. \(\frac{x}{x+3}+\frac{1}{x−3}−\frac{1}{5}−\frac{x}{(x+3)(x−3) }\)
23. \(\frac{2 x}{3 x-1}-\frac{1}{3 x+1}+\frac{2(x-1)}{(3 x-1)(3 x+1)}\)
24. \(\frac{4 x}{2 x+1}-\frac{x}{x-5}+\frac{16 x-3}{(2 x+1)(x-5)}\)
25. \(\frac{x}{3 x}+\frac{2}{x-2}+\frac{4}{3 x(x-2)}\)
26. \(-\frac{2 x}{x+6}-\frac{3 x}{6-x}-\frac{18(x-2)}{(x+6)(x-6)}\)
27. \(\frac{x}{x+5}-\frac{1}{x-7}-\frac{25-7 x}{(x+5)(x-7)}\)
28. \(\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x-3}+\frac{2}{x-3}\)
29. \(\frac{1}{x+5}-\frac{x^{2}}{x^{2}-25}\)
30. \(\frac{5x−2}{x^{2}−4}−\frac{2}{x−2}\)
31. \(\frac{1}{x+1}−\frac{6x−3}{x^{2}−7x−8}\)
32. \(\frac{3x}{9x^{2}−16}−\frac{1}{3x+4}\)
33. \(\frac{2x}{x^{2}−1}+\frac{1}{x^{2}+x}\)
34. \(\frac{x(4x−1)}{2x^{2}}+\frac{7}{x−4}−\frac{x}{4+x}\)
35. \(\frac{3x^{2}}{3x^{2}+5x−2}−\frac{2x}{3x−1}\)
36. \(\frac{2x}{x−4}−\frac{11x+4}{x^{2}−2x−8}\)
37. \(\frac{x}{2x+1}+\frac{6x−24}{2x^{2}−7x−4}\)
38. \(\frac{1}{x^{2}−x−6}+\frac{1}{x^{2}−3x−10}\)
39. \(\frac{x}{x^{2}+4x+3}−\frac{3}{x^{2}−4x−5}\)
40. \(\frac{y+1}{2y^{2}+5y−3}−\frac{y}{4y^{2}−1}\)
41. \(\frac{y−1}{y^{2}−25}−\frac{2}{y^{2}−10y+25 }\)
42. \(\frac{3x^{2}+2}{4x^{2}−2x−8}−\frac{1}{2x−4}\)
43. \(\frac{4x^{2}+2}{8x^{2}−6x−7}−\frac{2}{8x−7}\)
44. \(\frac{a}{4−a+a^{2}}−\frac{9a+18}{a^{2}−13a+36}\)
45. \(\frac{3a−12}{a^{2}−8a+16}−\frac{a+2}{4−a}\)
46. \(\frac{a^{2}−14}{2a^{2}−7a−4}−\frac{5}{1+2a}\)
47. \(\frac{1}{x+3}−\frac{x}{x^{2}−6x+9}+\frac{3}{x^{2}−9}\)
48. \(\frac{3x}{x+7}−\frac{2x}{x−2}+\frac{23x−10}{x^{2}+5x−14}\)
49. \(\frac{x+3}{x−1}+\frac{x−1}{x+2}−\frac{x(x+11)}{x^{2}+x−2}\)
50. \(−\frac{2x}{3x+1}−\frac{4}{x−2}+\frac{4(x+5)}{3x^{2}−5x−2}\)
51. \(\frac{x−1}{4x−1}−\frac{x+3}{2x+3}−\frac{3(x+5)}{8x^{2}+10x−3}\)
52. \(\frac{3x}{2x−3}−\frac{2}{2x+3}−\frac{6x^{2}−5x−9}{4x^{2}−9}\)
53. \(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}+\frac{2}{y^{2}−1}\)
54. \(\frac{1}{y}−\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y−1}\)
55. \(5^{−2}+2^{−1}\)
56. \(6^{−1}+4^{−2}\)
57. \(x^{−1}+y^{−1}\)
58. \(x^{−2}−y^{−1}\)
59. \((2x−1)^{−1}−x^{−2}\)
60. \((x−4)^{−1}−(x+1)^{−1}\)
61. \(3 x^{2}(x-1)^{-1}-2 x\)
62. \(2(y−1)^{−2}−(y−1)^{−1}\)

Responder

1. \(\frac{3x+2}{6x}\)

3. \(\frac{5y+18}{60y^{3}}\)

5. \(\frac{1−2y}{y}\)

7. \(\frac{2(x+5)}{x+4}\)

9. \(\frac{4x+1}{x(x+1)}\)

11. \(\frac{2(x+1)}{(x−3)(x+5)}\)

13. \(\frac{x^{2}−4x−2}{(x−2)(x+1)}\)

15. \(\frac{2(y2+1)}{(y+1)(y−1)}\)

17. \(−\frac{40x}{(2x+5)(2x−5)}\)

19. \(\frac{3(x+2)}{x−8}\)

21. \(\frac{2x+5}{x+3}\)

23. \(\frac{2x+1}{3x+1}\)

25. \(\frac{x^{2}+4x+4}{3x(x−2)}\)

27. \(\frac{x−6}{x−7}\)

29. \(\frac{x-5-x^{2}}{(x+5)(x-5)}\)

31. \(−\frac{5}{x−8}\)

33. \(\frac{2x−1}{x(x−1)}\)

35. \(\frac{x(x−4)}{(x+2)(3x−1)}\)

37. \(\frac{x+6}{2x+1}\)

39. \(\frac{x−9}{(x−5)(x+3)}\)

41. \(\frac{y^{2}−8y−5}{(y+5)(y−5)^{2}}\)

43. \(\frac{4x}{x+1}\)

45. \(\frac{a+5}{a−4}\)

47. \(−\frac{6x}{(x+3)(x−3)^{2}}\)

49. \(\frac{x−7}{x+2}\)

51. \(−\frac{x−5}{4x−1}\)

53. \(\frac{2y−1}{y(y−1) }\)

55. \(\frac{27}{50}\)

57. \(\frac{x+y}{xy}\)

59. \(\frac{(x−1)^{2}}{x^{2}(2x−1)}\)

61. \(\frac{x(x+2)}{x−1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Adding and Subtracting Rational Functions

Calcular\((f+g)(x)\)\((f−g)(x)\) y declarar las restricciones al dominio.

1. \(f(x)=\frac{1}{3x}\)y\(g(x)=\frac{1}{x−2}\)
2. \(f(x)=\frac{1}{x−1}\)y\(g(x)=\frac{1}{x+5}\)
3. \(f(x)=\frac{x}{x−4}\)y\(g(x)=\frac{1}{4−x}\)
4. \(f(x)=\frac{x}{x−5}\)y\(g(x)=\frac{1}{2x−3}\)
5. \(f(x)=\frac{x−1}{x^{2}−4}\)y\(g(x)=\frac{4}{x^{2}-6 x-16}\)
6. \(f(x)=\frac{5}{x+2}\)y\(g(x)=\frac{3}{x+4}\)

Responder

1. \((f+g)(x)=\frac{2(2x−1)}{3x(x−2)}; (f−g)(x)=−\frac{2(x+1)}{3x(x−2)}; x≠0, 2 \)

3. \((f+g)(x)=\frac{x−1}{x−4}; (f−g)(x)=\frac{x+1}{x−4}; x≠4\)

5. \((f+g)(x)=\frac{x(x−5)}{(x+2)(x−2)(x−8)}; (f−g)(x)=\frac{x^{2}−13x+16}{(x+2)(x−2)(x−8)}; x≠−2, 2, 8\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Adding and Subtracting Rational Functions

Calcular\((f+f)(x)\) y exponer las restricciones al dominio.

1. \(f(x)=\frac{1}{x}\)
2. \(f(x)=\frac{1}{2x}\)
3. \(f(x)=\frac{x}{2x−1}\)
4. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)

Responder

1. \((f+f)(x)=\frac{2}{x}; x≠0\)

3. \((f+f)(x)=\frac{2x}{2x−1}; x≠\frac{1}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Discussion Board

1. Explique a un compañero de clase por qué esto es incorrecto:\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{3}{2x^{2}}\).
2. Explique a un compañero de clase cómo encontrar el denominador común al agregar expresiones algebraicas. Dé un ejemplo.

Responder

1. La respuesta puede variar