1.3: Raíces cuadradas y cúbicas de números reales

Objetivos de aprendizaje

• Calcular el valor exacto y aproximado de la raíz cuadrada de un número real.
• Calcular el valor exacto y aproximado de la raíz cúbica de un número real.
• Simplifica la raíz cuadrada y cúbica de un número real.
• Aplicar el teorema de Pitágoras.

La definición de raíces cuadradas y cúbicas

Una raíz cuadrada ⁷⁴ de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo produce el número original. Por ejemplo,\(4\) es una raíz cuadrada de\(16\), porque\(4^{2}=16\). Ya que\((−4)^{2}=16\), podemos decir que\(−4\) es una raíz cuadrada de\(16\) también. Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por esta razón, utilizamos el signo radical ⁷⁵\(√\) para denotar la raíz cuadrada principal (no negativa) ⁷⁶ y un signo negativo frente al radical\(−√\) para denotar la raíz cuadrada negativa.

\(\sqrt { 16 } = 4 \color{Cerulean}{\:Positive\: Square\: Root\: of\: 16}\)

\(- \sqrt { 16 } = - 4 \color{Cerulean}{Negative\: Square\: Root\: of\: 16}\)

Cero es el único número real con exactamente una raíz cuadrada.

\(\sqrt{0} = 0\)

Si el radicando ⁷⁷, el número dentro del signo radical, es distinto de cero y puede factorizarse como el cuadrado de otro número distinto de cero, entonces la raíz cuadrada del número es aparente. En este caso, tenemos la siguiente propiedad:

\(\sqrt { a ^ { 2 } } = a , \text { if } a \geq 0\)

Es importante señalar que\(a\) se requiere para ser no negativo. Tenga en cuenta que\(\sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } } \neq - 3\) debido a que el radical denota la raíz cuadrada principal. En cambio,

\(\sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 9 } = 3\)

Esta distinción será cuidadosamente considerada más adelante en el curso.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Encuentra la raíz cuadrada:

1. \(\sqrt { 121 }\)
2. \(\sqrt { 0.25 }\)
3. \(\sqrt { \frac { 4 } { 9 } }\)

Solución

1. \(\sqrt { 121 } = \sqrt { 11 ^ { 2 } } = 11\)
2. \(\sqrt { 0.25 } = \sqrt { 0.5 ^ { 2 } } = 0.5\)
3. \(\sqrt { \frac { 4 } { 9 } } = \sqrt { \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 3 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Encuentra la raíz cuadrada negativa:

1. \(−\sqrt{64}\)
2. \(−\sqrt{1}\)

Solución

1. \(- \sqrt { 64 } = - \sqrt { 8 ^ { 2 } } = - 8\)
2. \(- \sqrt { 1 } = - \sqrt { 1 ^ { 2 } } = - 1\)

El radicando puede que no siempre sea un cuadrado perfecto. Si un entero positivo no es un cuadrado perfecto, entonces su raíz cuadrada será irracional. Consideremos\(\sqrt{5}\), podemos obtener una aproximación delimitándola usando los cuadrados perfectos\(4\) y de la\(9\) siguiente manera:

\(\begin{array} { c } { \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } } \\ { 2 < \sqrt { 5 } < 3 } \end{array}\)

Con esto concluimos que\(\sqrt{5}\) está en algún lugar entre\(2\) y\(3\). Este número se aproxima mejor en la mayoría de las calculadoras usando el botón de raíz cuadrada,\(√\).

\(\sqrt { 5 } \approx 2.236 \mathrm { because } 2.236 \wedge 2 \approx 5\)

A continuación, considere la raíz cuadrada de un número negativo. Para determinar la raíz cuadrada de\(−9\), se debe encontrar un número que al cuadrado resulte en\(−9\),

\(\sqrt { - 9 } = \color{Cerulean}{?}\)\( \text { or } ( \color{Cerulean}{?} \)\( )^ { 2 } = - 9\)

Sin embargo, cualquier número real al cuadrado siempre da como resultado un número positivo,

\(( 3 ) ^ { 2 } = 9 \text { and } ( - 3 ) ^ { 2 } = 9\)

La raíz cuadrada de un número negativo se deja indefinida actualmente. Intenta calcular\(\sqrt{-9}\) en tu calculadora; ¿qué dice? Por ahora, vamos a decir que no\(\sqrt{−9}\) es un número real. La raíz cuadrada de un número negativo se define más adelante en el curso.

Una raíz cubo ⁷⁸ de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces produce el número original. Además, denotamos una raíz cubo usando el símbolo\(\sqrt [ 3 ] { }\), donde\(3\) se llama el índice ⁷⁹. Por ejemplo,

\(\sqrt [ 3 ] { 8 } = 2 , \text { because } 2 ^ { 3 } = 8\)

El producto de tres factores iguales será positivo si el factor es positivo, y negativo si el factor es negativo. Por esta razón, cualquier número real tendrá sólo una raíz cúbica real. De ahí que no se apliquen los tecnicismos asociados a la raíz principal. Por ejemplo,

\(\sqrt [ 3 ] { - 8 } = - 2 , \text { because } ( - 2 ) ^ { 3 } = - 8\)

En general, dado cualquier número real\(a\), tenemos la siguiente propiedad:

\(\sqrt [ 3 ] { a ^ { 3 } } = a\)

Al simplificar las raíces cúbicas, busca factores que sean cubos perfectos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la raíz cubicada:

1. \(\sqrt [ 3 ] { 125 }\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { 0 }\)
3. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 8 } { 27 } }\)

Solución

1. \(\sqrt [ 3 ] { 125 } = \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 3 } } = 5\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { 0 } = \sqrt [ 3 ] { 0 ^ { 3 } } = 0\)
3. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 8 } { 27 } } = \sqrt [ 3 ] { \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 } } = \frac { 2 } { 3 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la raíz cubicada:

1. \(\sqrt [ 3 ] { - 27 }\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { - 1 }\)

Solución

1. \(\sqrt [ 3 ] { - 27 } = \sqrt [ 3 ] { ( - 3 ) ^ { 3 } } = - 3\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { - 1 } = \sqrt [ 3 ] { ( - 1 ) ^ { 3 } } = - 1\)

Puede darse el caso de que el radicand no sea un cubo perfecto. Si este es el caso, entonces su raíz cúbica será irracional. Por ejemplo,\(\sqrt [ 3 ] { 2 }\) es un número irracional, que se puede aproximar en la mayoría de las calculadoras usando el botón\(\sqrt [ x ] { }\) raíz. Dependiendo de la calculadora, normalmente escribimos el índice antes de presionar el botón y luego el radicando de la siguiente manera:

\( 3\:\:\: \sqrt [x] {y}\:\:\: 2\:\:\: =\)

Por lo tanto, tenemos

\(\sqrt [ 3 ] { 2 } \approx 1.260 , \text { because } 1.260 \wedge 3 \approx 2\)

Ampliaremos estas ideas usando cualquier entero como índice más adelante en este curso. Es importante señalar que una raíz cuadrada tiene índice\(2\); por lo tanto, los siguientes son equivalentes:

\(\sqrt [ 2 ] { a } = \sqrt { a }\)

Simplificación de las raíces cuadradas y cúbicas

No siempre va a darse el caso de que el radicando sea un cuadrado perfecto. Si no, utilizamos las siguientes dos propiedades para simplificar la expresión. Dados los números reales\(\sqrt [ n ] { A }\) y\(\sqrt [ n ] { B }\) donde\(B ≠ 0\),

• Regla del Producto para Radicales: ⁸⁰\[\sqrt [ n ] { A \cdot B } = \sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B }\]
• Regla de Cociente para Radicales: ⁸¹\[\sqrt [ n ] { \frac { A } { B } } = \frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } }\]

Un radical simplificado ⁸² es aquel en el que el radicando no consiste en ningún factor que pueda escribirse como poderes perfectos del índice. Dada una raíz cuadrada, la idea es identificar el factor cuadrado más grande del radicando y luego aplicar la propiedad mostrada anteriormente. Como ejemplo, para simplificar\(\sqrt{12}\), note que no\(12\) es un cuadrado perfecto. Sin embargo,\(12\) tiene un factor cuadrado perfecto,\(12 = 4 ⋅ 3\). Aplicar la propiedad de la siguiente manera:

\[ \begin{align*} \sqrt { 12 } &= \sqrt { 4 \cdot 3 } \quad\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\[4pt] &= \sqrt { 4 } \cdot \sqrt { 3 } \quad\color{Cerulean} {Simplify} \\[4pt] &= 2 \cdot \sqrt { 3 } \end{align*}\]

El número\(2 \sqrt{3}\) es un número irracional simplificado. A menudo se le pide que encuentre una respuesta aproximada redondeada a un cierto decimal. En ese caso, usa una calculadora para encontrar la aproximación decimal usando ya sea el problema original o el equivalente simplificado.

\(\sqrt { 12 } = 2 \sqrt { 3 } \approx 3.46\)

Como cheque, calcule\(\sqrt{12}\) y\(2\sqrt{3}\) en una calculadora y verifique que los resultados sean ambos aproximadamente\(3.46\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Simplificar:\(\sqrt{135}\).

Solución

Comience por encontrar el factor cuadrado perfecto más grande de\(135\).

\(\begin{aligned} 135 & = 3 ^ { 3 } \cdot 5 \\ & = 3 ^ { 2 } \cdot 3 \cdot 5 \\ & = 9 \cdot 15 \end{aligned}\)

Por lo tanto,

\[ \begin{align*} \sqrt { 135 } &= \sqrt { 9 \cdot 15 } \quad\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\[4pt] &= \sqrt { 9 } \cdot \sqrt { 15 } \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\[4pt] &= 3 \cdot \sqrt { 15 }\end{align*}\]

Contestar

\(3\sqrt{15}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplificar:\(\sqrt { \frac { 108 } { 169 } }\).

Solución

Comenzamos por encontrar las factorizaciones principales de ambos\(108\) y\(169\). Esto nos permitirá determinar fácilmente los mayores factores cuadrados perfectos.

\[\begin{align*} 108 & = 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 3 } = 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } \cdot 3 \\ 169 & = 13 ^ { 2 } \end{align*}\]

Por lo tanto,

\[ \begin{align*} \sqrt { \frac { 108 } { 169 } } &= \sqrt { \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } \cdot 3 } { 13 ^ { 2 } } }\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: and\: quotient\: rule\: for\: radicals.} \\[4pt] &= \frac { \sqrt { 2 ^ { 2 } } \cdot \sqrt { 3 ^ { 2 } } \cdot \sqrt { 3 } } { \sqrt { 13 ^ { 2 } } }\color{Cerulean}{Simplify.} \\[4pt] &= \frac { 2 \cdot 3 \cdot \sqrt { 3 } } { 13 } \\ & = \frac { 6 \sqrt { 3 } } { 13 } \end{align*}\]

Contestar

\(\frac { 6 \sqrt { 3 } } { 13 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplificar\(−5\sqrt{162}\).

Solución

\[ \begin{align*} - 5 \sqrt { 162 } &= - 5 \cdot \sqrt { 81 \cdot 2 } \\[4pt] &= - 5 \cdot \color{Cerulean}{\sqrt { 81 } \cdot \sqrt { 2 }} \\[4pt] &= - 5 \cdot \color{Cerulean}{9 \cdot \sqrt { 2 }} \\[4pt] & = - 45 \cdot \sqrt { 2 } \\[4pt] & = - 45 \sqrt { 2 } \end{align*}\]

Contestar

\(−45\sqrt{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Simplificar\(4\sqrt{150}\)

Contestar

\(20\sqrt{6}\)

Una raíz cúbica se simplifica si no contiene ningún factor que pueda escribirse como cubos perfectos. La idea es identificar el factor cúbico más grande del radicando y luego aplicar la regla del producto o cociente para los radicales. Como ejemplo, para simplificar\(\sqrt [ 3 ] { 80 }\), note que no\(80\) es un cubo perfecto. Sin embargo,\(80 = 8 ⋅ 10\) y podemos escribir,

\[ \begin{align*} \sqrt [ 3 ] { 80 } &= \sqrt [ 3 ] { 8 \cdot 10 }\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\5pt] &= \sqrt [ 3 ] { 8 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 }\color{Cerulean}{Simplify.} \\[4pt] &= 2 \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 } \end{align*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Simplificar\(\sqrt [ 3 ] { 162 }\)

Solución

Comience por encontrar el factor cúbico perfecto más grande de\(162\).

\(\begin{aligned} 162 & = 3 ^ { 4 } \cdot 2 \\ & = 3 ^ { 3 } \cdot 3 \cdot 2 \\ & = 27 \cdot 6 \end{aligned}\)

Por lo tanto,

\(\sqrt [ 3 ] { 162 } = \sqrt [ 3 ] { 27 \cdot 6 }\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.}\)

\(= \sqrt [ 3 ] { 27 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\color{Cerulean}{Simplify.}\)

\(= 3 \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

Contestar

\(3 \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Simplificar:\(\sqrt [ 3 ] { - \frac { 16 } { 343 } }\).

Solución

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { - \frac { 16 } { 343 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { - 1 \cdot 8 \cdot 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 7 ^ { 3 } } } \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { - 1 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 8 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 7 ^ { 3 } } } \\ & = \frac { - 1 \cdot 2 \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 7 } \\ & = \frac { - 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 7 } \end{aligned}\)

Contestar

\(\frac { - 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 7 }\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar\(- 2 \sqrt [ 3 ] { - 256 }\).

Contestar

\(8 \sqrt [ 3 ] { 4 }\)

www.youtube.com/v/oezfrahfb0a

Consideremos los dos cálculos siguientes,

\(\begin{array} { l } { \sqrt { 81 } = \sqrt { 9 ^ { 2 } } = 9 } \\ { \sqrt { 81 } = \sqrt { 9 ^ { 2 } } = ( \sqrt { 9 } ) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = 9 } \end{array}\)

Observe que no importa si aplicamos primero el exponente o primero la raíz cuadrada. Esto es cierto para cualquier número real positivo. Tenemos lo siguiente,

\(\sqrt { a ^ { 2 } } = ( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = a , \text { if } a \geq 0\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Simplificar:\(( \sqrt { 10 } ) ^ { 2 }\).

Solución

Aplicar el hecho de que\(( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = a\) si\(a\) es no negativo.

\(( \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } = 10\)

Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo ⁸³ es un triángulo donde uno de los ángulos mide\(90°\). El lado opuesto al ángulo recto es el lado más largo, llamado hipotenusa ⁸⁴, y los otros dos lados se llaman patas ⁸⁵. Numerosas aplicaciones del mundo real involucran esta figura geométrica. El teorema de Pitágoras ⁸⁶ establece que dado cualquier triángulo rectángulo con patas de medición\(a\) y\(b\) unidades, el cuadrado de la medida de la hipotenusa\(c\) es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las piernas,\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Es decir, la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus patas.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

Calcular la diagonal de un cuadrado con\(5\) unidades de medición laterales.

Solución

La diagonal de un cuadrado formará un triángulo rectángulo isósceles donde las dos patas iguales miden\(5\) unidades cada una.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la hipotenusa.

\(\begin{aligned} c & = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \\ & = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } \\ & = \sqrt { 25 + 25 } \\ & = \sqrt { 50 } \\ & = \sqrt { 25 \cdot 2 } \\ & = \sqrt { 25 } \cdot \sqrt { 2 } \\ & = 5 \cdot \sqrt { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:\(5 \sqrt { 2 }\) units

El teorema de Pitágoras en realidad afirma que tener longitudes laterales que satisfacen la propiedad\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) es una condición necesaria y suficiente de los triángulos rectos. Es decir, si podemos demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa, entonces debe ser un triángulo rectángulo.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

Determinar si un triángulo con patas\(a = 1\) cm y\(b = 2\) cm e hipotenusa\(b = \sqrt{5}\) cm es o no un triángulo rectángulo.

Solución

Si las piernas satisfacen la condición\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) entonces el teorema de Pitágoras garantiza que el triángulo es un triángulo rectángulo.

\(\begin{aligned} a ^ { 2 } + b ^ { 2 } & = c ^ { 2 } \\ ( 1 ) ^ { 2 } + ( 2 ) ^ { 2 } & = ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } \\ 1 + 4 & = 5 \\ 5 & = 5 \color{OliveGreen}{✓} \end{aligned}\)

Respuesta: Sí, el triángulo descrito es un triángulo rectángulo.

Claves para llevar

• La raíz cuadrada de un número es un número que al cuadrar da como resultado el número original. La raíz cuadrada principal de un número real positivo es la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada de un número negativo se deja indefinida actualmente.
• Al simplificar la raíz cuadrada de un número, busque factores cuadrados perfectos del radicando. Aplicar la regla de producto o cociente para radicales y luego simplificar.
• La raíz cúbica de un número es un número que cuando se cube da como resultado el número original. Cada número real tiene solo una raíz cúbica real.
• Al simplificar las raíces cúbicas, busca los factores cubo perfectos del radicando. Aplicar la regla de producto o cociente para radicales y luego simplificar.
• El teorema de Pitágoras nos da una condición necesaria y suficiente de triángulos rectos:\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) si y sólo si\(a, b\) y\(c\) representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

1. \(\sqrt{81}\)
2. \(\sqrt{49}\)
3. \(-\sqrt{16}\)
4. \(−\sqrt{100}\)
5. \(\sqrt { \frac { 25 } { 16 } }\)
6. \(\sqrt { \frac { 9 } { 64 } }\)
7. \(\sqrt { \frac { 1 } { 4 } }\)
8. \(\sqrt { \frac { 1 } { 100 } }\)
9. \(\sqrt{-1}\)
10. \(\sqrt{-25}\)
11. \(\sqrt{036}\)
12. \(\sqrt{1.21}\)
13. \(\sqrt{(-5)^{2}}\)
14. \(\sqrt{(-6)^{2}}\)
15. \(2\sqrt{64}\)
16. \(3\sqrt{36}\)
17. \(-10\sqrt{4}\)
18. \(-8\sqrt{25}\)
19. \(\sqrt [ 3 ] { 64 }\)
20. \(\sqrt [ 3 ] { 125 }\)
21. \(\sqrt [ 3 ] { -27 }\)
22. \(\sqrt [ 3 ] { -1 }\)
23. \(\sqrt [ 3 ] { 0 }\)
24. \(\sqrt [ 3 ] { 0.008 }\)
25. \(\sqrt [ 3 ] { 0.064 }\)
26. \(-\sqrt [ 3 ] { -8 }\)
27. \(-\sqrt [ 3 ] { 1000 }\)
28. \(\sqrt [ 3 ] { ( - 8 ) ^ { 3 } }\)
29. \(\sqrt [ 3 ] { ( - 15 ) ^ { 3 } }\)
30. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 216 } }\)
31. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 27 } { 64 } }\)
32. \(\sqrt [ 3 ] { -\frac { 1 } { 8 } }\)
33. \(\sqrt [ 3 ] { -\frac { 1 } { 27 } }\)
34. \(5 \sqrt [ 3 ] { 343 }\)
35. \(4 \sqrt [ 3 ] { 512 }\)
36. \(- 10 \sqrt [ 3 ] { 8 }\)
37. \(- 6 \sqrt [ 3 ] { - 64 }\)
38. \(8 \sqrt [ 3 ] { - 8 }\)

Contestar

1. \(9\)

3. \(−4\)

5. \(\frac{5}{4}\)

7. \(\frac{1}{2}\)

9. No es un número real.

11. \(0.6\)

13. \(5\)

15. \(16\)

17. \(−20\)

19. \(4\)

21. \(−3\)

23. \(0\)

25. \(0.4\)

27. \(−10\)

29. \(−15\)

31. \(\frac{3}{4}\)

33. \(−\frac{1}{3}\)

35. \(32\)

37. \(24\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Use una calculadora para aproximarse a la centésima más cercana.

1. \(\sqrt{3}\)
2. \(\sqrt{10}\)
3. \(\sqrt{19}\)
4. \(\sqrt{7}\)
5. \(3\sqrt{5}\)
6. \(-2\sqrt{3}\)
7. \(\sqrt [ 3 ] { 3 }\)
8. \(\sqrt [ 3 ] { 6 }\)
9. \(\sqrt [ 3 ] { 28 }\)
10. \(\sqrt [ 3 ] { 9 }\)
11. \(4\sqrt [ 3 ] { 10 }\)
12. \(-3\sqrt [ 3 ] { 12 }\)
13. Determinar el conjunto que consiste en los cuadrados de los primeros doce enteros positivos.
14. Determinar el conjunto que consiste en los cubos de los primeros doce enteros positivos.

Contestar

1. \(1.73\)

3. \(4.36\)

5. \(6.71\)

7. \(1.44\)

9. \(3.04\)

11. \(8.62\)

13. \(\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Simplificar.

1. \(\sqrt{18}\)
2. \(\sqrt{50}\)
3. \(\sqrt{24}\)
4. \(\sqrt{40}\)
5. \(\sqrt { \frac { 50 } { 81 } }\)
6. \(\sqrt { \frac { 54 } { 25 } }\)
7. \(4 \sqrt { 72 }\)
8. \(3 \sqrt { 27 }\)
9. \(-5 \sqrt { 80 }\)
10. \(-6 \sqrt { 128 }\)
11. \(3 \sqrt { -40 }\)
12. \(5 \sqrt { -160 }\)
13. \(\sqrt [ 3 ] { 16 }\)
14. \(\sqrt [ 3 ] { 54 }\)
15. \(\sqrt [ 3 ] { 81 }\)
16. \(\sqrt [ 3 ] { 24 }\)
17. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 48 } { 125 } }\)
18. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 135 } { 64 } }\)
19. \(7 \sqrt [ 3 ] { 500 }\)
20. \(25 \sqrt [ 3 ] { 686 }\)
21. \(- 2 \sqrt [ 3 ] { - 162 }\)
22. \(5 \sqrt [ 3 ] { - 96 }\)
23. \(( \sqrt { 64 } ) ^ { 2 }\)
24. \(( \sqrt { 25 } ) ^ { 2 }\)
25. \(( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
26. \(( \sqrt { 6 } ) ^ { 2 }\)

Contestar

1. \(3\sqrt{2}\)

3. \(2\sqrt{6}\)

5. \(\frac { 5 \sqrt { 2 } } { 9 }\)

7. \(24\sqrt{2}\)

9. \(-20\sqrt{5}\)

11. No es un número real.

13. \(2 \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

15. \(3 \sqrt [ 3 ] { 3 }\)

17. \(\frac { 2 \sqrt [ 3 ] { 6 } } { 5 }\)

19. \(35 \sqrt [ 3 ] { 4 }\)

21. \(6 \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

23. 64

25. 2

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Si las dos patas de un triángulo rectángulo miden\(3\) unidades y\(4\) unidades, entonces encuentra la longitud de la hipotenusa.
2. Si las dos patas de un triángulo rectángulo miden\(6\) unidades y\(8\) unidades, entonces encuentra la longitud de la hipotenusa.
3. Si las dos patas iguales de un triángulo rectángulo isósceles miden\(7\) unidades, entonces encuentra la longitud de la hipotenusa.
4. Si las dos patas iguales de un triángulo rectángulo isósceles miden\(10\) unidades, entonces encuentra la longitud de la hipotenusa.
5. Calcular la diagonal de un cuadrado con lados midiendo\(3\) centímetros.
6. Calcular la diagonal de un cuadrado con lados midiendo\(10\) centímetros.
7. Calcular la diagonal de un cuadrado con lados midiendo\(\sqrt{6}\) centímetros.
8. Calcular la diagonal de un cuadrado con lados midiendo\(\sqrt{10}\) centímetros.
9. Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones\(4\) centímetros por\(8\) centímetros.
10. Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones\(8\) metros por\(10\) metros.
11. Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones\(\sqrt{3}\) metros por\(2\) metros.
12. Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones\(\sqrt{6}\) metros por\(\sqrt{10}\) metros.
13. Para asegurar que una puerta de nueva construcción sea cuadrada, la diagonal medida debe coincidir con la distancia calculada usando el teorema de Pitágoras. Si la puerta mide\(4\) pies a\(4\) pies, ¿qué debe medir la diagonal en pulgadas? (Redondear a la décima de pulgada más cercana.)
14. Si un marco de puerta mide\(3.5\) pies a\(6.6\) pies, ¿cuál debe medir la diagonal para asegurar que el marco sea un rectángulo perfecto?

Contestar

1. \(5\)unidades

3. \(7\sqrt{2}\)unidades

5. \(3\sqrt{2}\)centímetros

7. \(2\sqrt{3}\)centímetros

9. \(4\sqrt{5}\)centímetros

11. \(\sqrt{7}\)metros

13. La diagonal debe medir aproximadamente\(67.9\) pulgadas.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Determinar si el triángulo dado con patas a y b e hipotenusa c es o no un triángulo rectángulo.

1. \(a = 3, b = 7,\)y\(c = 10\)
2. \(a = 5, b = 12,\)y\(c = 13\)
3. \(a = 8, b = 15,\)y\(c = 17\)
4. \(a = 7, b = 24,\)y\(c = 30\)
5. \(a = 3, b = 2,\)y\(c = \sqrt{13}\)
6. \(a = \sqrt{7}, b = 4,\)y\(c = \sqrt{11}\)
7. \(a = 4, b = \sqrt{3} ,\)y\(c = \sqrt{19}\)
8. \(a = \sqrt{6} , b = \sqrt{15} , and \(c = 21\)

Contestar

1. No es un triángulo rectángulo.

3. Triángulo recto.

5. Triángulo recto.

7. Triángulo recto.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

1. ¿Qué dice tu calculadora después de tomar la raíz cuadrada de un número negativo? Comparte tus resultados en el panel de discusión y explica por qué dice eso.
2. Investigar y discutir la historia del teorema de Pitágoras.
3. Investigar y discutir la historia de la raíz cuadrada.
4. Discutir la importancia de la raíz cuadrada principal. ¿Por qué es que el mismo tema no surge con las raíces cúbicas? Proporcione algunos ejemplos con su explicación.

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

⁷⁴ Ese número que al multiplicarse por sí mismo arroja el número original.

⁷⁵ El símbolo\(√\) utilizado para denotar una raíz cuadrada.

⁷⁶ La raíz cuadrada no negativa.

⁷⁷ El número dentro de un radical.

⁷⁸ El número que al multiplicarse por sí mismo tres veces arroja el número original, denotado por\(\sqrt [ 3 ] { }\).

⁷⁹ El entero positivo\(n\) en la notación\(\sqrt [ n ] { }\) que se utiliza para indicar una raíz enésima.

⁸⁰ Dados los números reales\(\sqrt [ n ] { A }\) y\(\sqrt [ n ] { B }\),\(\sqrt [ n ] { A \cdot B } = \sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B }\)

⁸¹ Dados números reales\(\sqrt [ n ] { A }\) y\(\sqrt [ n ] { B }\),\(\sqrt [ n ] { \frac { A } { B } } = \frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } }\).

⁸² Un radical donde el radicando no consiste en ningún factor que pueda escribirse como poderes perfectos del índice.

⁸³ Un triángulo con un ángulo que mide\(90°\).

⁸⁴ El lado más largo de un triángulo rectángulo; siempre será el lado opuesto al ángulo recto.

⁸⁵ Los lados de un triángulo rectángulo que no son la hipotenusa.

⁸⁶ La hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo.