1.5: Reglas de Exponentes y Notación Científica

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Objetivos de aprendizaje

Revisar las reglas de los exponentes.
Revisar la definición de exponentes negativos y cero como exponente.
Trabajar con números usando notación científica.

Revisión de las Reglas de los Exponentes

En esta sección, revisamos las reglas de los exponentes. Recordemos que si un factor se repite varias veces, entonces el producto puede escribirse en forma exponencial$x^{n}$. El exponente entero positivo$n$ indica el número de veces que la base$x$ se repite como factor.

Considerar el producto de$x^{4}$ y$x^{6}$,

Ampliar la expresión usando la definición produce múltiples factores de la base, lo cual es bastante engorroso, particularmente cuando$n$ es grande. Por ello, contamos con reglas útiles para ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes. En este ejemplo, observe que podríamos obtener el mismo resultado sumando los exponentes.

$x ^ { 4 } \cdot x ^ { 6 } = x ^ { 4 + 6 } = x ^ { 10 } \color{Cerulean}{Product\:rule\:for\:exponents}$

En general, esto describe la regla del producto para los exponentes ¹⁰³. Es decir, al multiplicar dos expresiones con la misma base agregamos los exponentes. Compare esto con elevar un factor que involucra a un exponente a una potencia, como$\left( x ^ { 6 } \right) ^ { 4 }$.

Aquí tenemos$4$ factores de$x^{6}$, lo que equivale a multiplicar los exponentes.

$\left( x ^ { 6 } \right) ^ { 4 } = x ^ { 6 \cdot 4 } = x ^ { 24 } \color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:exponents}$

Esto describe la regla de potencia para los exponentes ¹⁰⁴. Ahora consideramos elevar los productos agrupados a una potencia. Por ejemplo,

$\begin{aligned} \left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } \right) ^ { 4 } & = x ^ { 2 } y ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } y ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } y ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } y ^ { 3 } \\ & = x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot y ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } \quad \color{Cerulean}{Commutative\: property } \\ & = x ^ { 2 + 2 + 2 + 2 } \cdot y ^ { 3 + 3 + 3 + 3 } \\ & = x ^ { 8 } y ^ { 12 } \end{aligned}$

Después de expandirnos, nos quedan cuatro factores del producto$x^{2}y^{3}$. Esto equivale a elevar cada uno de los factores agrupados originales al cuarto poder y aplicar la regla del poder.

$\left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } \right) ^ { 4 } = \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 4 } \left( y ^ { 3 } \right) ^ { 4 } = x ^ { 8 } y ^ { 12 }$

En general, esto describe el uso de la regla de potencia para un producto así como la regla de potencia para exponentes. En resumen, las reglas de los exponentes agilizan el proceso de trabajo con expresiones algebraicas y serán utilizadas ampliamente a medida que avanzamos por nuestro estudio del álgebra. Dado cualquier número entero positivo$m$ y$n$ donde$x, y ≠ 0$ tenemos

Mesa$\PageIndex{1}$
Regla del producto para exponentes:	$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$
Regla de cociente para exponentes:	$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$
Regla de potencia para exponentes:	$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }$
Regla de potencia para un producto: ¹⁰⁵	$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$
Regla de poder para un cociente: ¹⁰⁶	$\left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } }$

Estas reglas nos permiten realizar operaciones de manera eficiente con exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Simplificar:$\frac { 10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 12 } } { 10 ^ { 3 } }$.

Solución

$\begin{aligned} \frac { 10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 12 } } { 10 ^ { 3 } } & = \frac { 10 ^ { 16 } } { 10 ^ { 3 } } \quad \color{Cerulean} { Product\: rule } \\ & = 10 ^ { 16 - 3 } \:\color{Cerulean} { Quotient\: rule } \\ & = 10 ^ { 13 } \end{aligned}$

Respuesta:

$10^{13}$

En el ejemplo anterior, observe que no multiplicamos los$10$ tiempos base en sí mismos. Al aplicar la regla del producto, agrega los exponentes y deja la base sin cambios.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Simplificar:$\left( x ^ { 5 } \cdot x ^ { 4 } \cdot x \right) ^ { 2 }$.

Solución: Recordemos que$x$ se supone que la variable tiene un exponente de uno,$x = x^{1}$.

$\begin{aligned} \left( x ^ { 5 } \cdot x ^ { 4 } \cdot x \right) ^ { 2 } & = \left( x ^ { 5 + 4 + 1 } \right) ^ { 2 } \\ & = \left( x ^ { 10 } \right) ^ { 2 } \\ & = x ^ { 10 \cdot 2 } \\ & = x ^ { 20 } \end{aligned}$

Respuesta:

$x^{20}$

La base podría ser de hecho cualquier expresión algebraica.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Simplificar:$(x + y)^{9} (x + y)^{13}$.

Solución: Tratar la expresión$(x + y)$ como base.

$\begin{aligned} ( x + y ) ^ { 9 } ( x + y ) ^ { 13 } & = ( x + y ) ^ { 9 + 13 } \\ & = ( x + y ) ^ { 22 } \end{aligned}$

Respuesta:

$(x + y)^{22}$

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite utilizar la regla de producto para exponentes para simplificar factores de una expresión algebraica.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Simplificar:$- 8 x ^ { 5 } y \cdot 3 x ^ { 7 } y ^ { 3 }$.

Solución: Multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de factores variables con la misma base.

$\begin{aligned} - 8 x ^ { 5 } y \cdot 3 x ^ { 7 } y ^ { 3 } & = - 8 \cdot 3 \cdot x ^ { 5 } \cdot x ^ { 7 } \cdot y ^ { 1 } \cdot y ^ { 3 } \quad \color{Cerulean} { Commutative\: property } \\ & = - 24 \cdot x ^ { 5 + 7 } \cdot y ^ { 1 + 3 } \quad \color{Cerulean}{ Power\: rule\: for\: exponents } \\ & = - 24 x ^ { 12 } y ^ { 4 } \end{aligned}$

Respuesta:

$- 24 x ^ { 12 } y ^ { 4 }$

La división implica la regla del cociente para los exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Simplificar:$\frac { 33 x ^ { 7 } y ^ { 5 } ( x - y ) ^ { 10 } } { 11 x ^ { 6 } y ( x - y ) ^ { 3 } }$.

Solución

$\begin{aligned} \frac { 33 x ^ { 7 } y ^ { 5 } ( x - y ) ^ { 10 } } { 11 x ^ { 6 } y ( x - y ) ^ { 3 } } & = \frac { 33 } { 11 } \quad x ^ { 7 - 6 } \cdot y ^ { 5 - 1 } \cdot ( x - y ) ^ { 10 - 3 } \\ & = 3 x ^ { 1 } y ^ { 4 } ( x - y ) ^ { 7 } \end{aligned}$

Respuesta:

$3 x y ^ { 4 } ( x - y ) ^ { 7 }$

La regla de poder para un cociente nos permite aplicar ese exponente al numerador y denominador. Esta regla requiere que el denominador sea distinto de cero y así haremos esta suposición para el resto de la sección.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Simplificar:$\left( \frac { - 4 a ^ { 2 } b } { c ^ { 4 } } \right) ^ { 3 }$.

Solución: Primero aplique la regla de poder para un cociente y luego la regla de poder para un producto.

$\begin{aligned} \left( \frac { - 4 a ^ { 2 } b } { c ^ { 4 } } \right) ^ { 3 } & = \frac { \left( - 4 a ^ { 2 } b \right) ^ { 3 } } { \left( c ^ { 4 } \right) ^ { 3 } } \quad \color{Cerulean}{Power\: rule\: for\: a \:quotient} \\ & = \frac { ( - 4 ) ^ { 3 } \left( a ^ { 2 } \right) ^ { 3 } ( b ) ^ { 3 } } { \left( c ^ { 4 } \right) ^ { 3 } } \color{Cerulean} { Power\: rule \:for\: a\: product } \\ & = \frac { - 64 a ^ { 6 } b ^ { 3 } } { c ^ { 12 } } \end{aligned}$

Respuesta:

$- \frac { 64 a ^ { 6 } b ^ { 3 } } { c ^ { 12 } }$

Usando la regla del cociente para exponentes, podemos definir lo que significa tener cero como exponente. Considera el siguiente cálculo:

$\color{Cerulean}{1}\color{Black}{ = \frac { 25 } { 25 } = \frac { 5 ^ { 2 } } { 5 ^ { 2 } } = 5 ^ { 2 - 2 } =}\color{Cerulean}{ 5 ^ { 0 }}$

Veinticinco dividido por veinticinco es claramente igual a uno, y cuando se aplica la regla del cociente para exponentes, vemos que resulta un exponente cero. En general, dado cualquier número real distinto de cero$x$ y entero$n$,

$1 = \frac { x ^ { n } } { x ^ { n } } = x ^ { n - n } = x ^ { 0 }$

Esto nos lleva a la definición de cero como exponente ¹⁰⁷,

$x ^ { 0 } = 1\: x \neq 0$

Es importante señalar que$0^{0}$ es indeterminado. Si la base es negativa, entonces el resultado sigue siendo uno positivo. En otras palabras, cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero se define para que sea igual a uno. En los siguientes ejemplos se supone que todas las variables son distintas de cero.

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Simplificar:

$(−2x)^{0}$
$−2x^{0}$

Solución

a. Cualquier cantidad distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a$1$.

$( - 2 x ) ^ { 0 } = 1$

b. en el ejemplo,$−2x^{0}$, la base es$x$, no$−2x$.

$\begin{aligned} - 2 x ^ { 0 } & = - 2 \cdot x ^ { 0 } \\ & = - 2 \cdot 1 \\ & = - 2 \end{aligned}$

Señalando que$2^{0} = 1$ podemos escribir,

$\color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 ^ { 3 } }}\color{Black}{ = \frac { 2 ^ { 0 } } { 2 ^ { 3 } } = 2 ^ { 0 - 3 } =}\color{Cerulean}{ 2 ^ { - 3 }}$

En general, dado cualquier número real distinto de cero$x$ y entero$n$,

$\frac { 1 } { x ^ { n } } = \frac { x ^ { 0 } } { x ^ { n } } = x ^ { 0 - n } = x ^ { - n } x \neq 0$

Esto nos lleva a la definición de exponentes negativos ¹⁰⁸:

$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } } x \neq 0$

Una expresión se simplifica completamente si no contiene exponentes negativos.

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Simplificar:$\left( - 4 x ^ { 2 } y \right) ^ { - 2 }$.

Solución

Reescribe la cantidad entera en el denominador con un exponente de$2$ y luego simplifica aún más.

$\begin{aligned} \left( - 4 x ^ { 2 } y \right) ^ { - 2 } & = \frac { 1 } { \left( - 4 x ^ { 2 } y \right) ^ { 2 } } \\ & = \frac { 1 } { ( - 4 ) ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } ( y ) ^ { 2 } } \\ & = \frac { 1 } { 16 x ^ { 4 } y ^ { 2 } } \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac { 1 } { 16 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }$

A veces aparecen exponentes negativos en el denominador.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Simplificar:$\frac { x ^ { - 3 } } { y ^ { - 4 } }$.

Solución

$\frac { x ^ { - 3 } } { y ^ { - 4 } } = \frac { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { y ^ { 4 } } } = \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \cdot \frac { y ^ { 4 } } { 1 } = \frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } }$

Respuesta:

$\frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } }$

El ejemplo anterior sugiere una propiedad de cocientes con exponentes negativos ¹⁰⁹. Dado cualquier número entero$m$ y$n$ dónde$x ≠ 0$ y$y ≠ 0$, entonces

$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { \frac { 1 } { x ^ { n } } } { \frac { 1 } { y ^ { m } } } = \frac { 1 } { x ^ { n } } \cdot \frac { y ^ { m } } { 1 } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$

Esto nos lleva a la propiedad

$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$

Es decir, los exponentes negativos en el numerador se pueden escribir como exponentes positivos en el denominador y los exponentes negativos en el denominador se pueden escribir como exponentes positivos en el numerador.

Ejemplo$\PageIndex{10}$:

Simplificar:$\frac { - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 3 } } { z ^ { - 4 } }$.

Solución

Cuídate con el coeficiente$−5$, reconoce que esta es la base y que el exponente es realmente positivo:$- 5 = ( - 5 ) ^ { 1 }$. De ahí que las reglas de los exponentes negativos no se apliquen a este coeficiente; déjalo en el numerador.

$\begin{aligned} \frac { - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 3 } } { z ^ { - 4 } } & = \frac { - 5 \color{Cerulean}{x ^ { - 3 }}\color{Black}{ y ^ { 3 }} } { \color{OliveGreen}{z ^ { - 4 }} } \\ & = \frac { - 5 y ^ { 3 } \color{OliveGreen}{ z ^ { 4 }} } { \color{Cerulean}{x ^ { 3 }} } \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac { - 5 y ^ { 3 } z ^ { 4 } } { x ^ { 3 } }$

En resumen, dados enteros$m$ y$n$ donde$x, y ≠ 0$ tenemos

Mesa$\PageIndex{3}$
Cero exponente	$x^{0}=1$
Exponente negativo	$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }$
Cocientes con exponentes negativos	$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$

Además, todas las reglas de exponentes definidas hasta ahora se extienden a cualquier exponente entero. Ampliaremos el alcance de estas propiedades para incluir cualquier exponente de número real más adelante en el curso.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Simplificar:$\left( \frac { 2 x ^ { - 2 } y ^ { 3 } } { z } \right) ^ { - 4 }$.

Contestar

$\frac { x ^ { 8 } z ^ { 4 } } { 16 y ^ { 12 } }$

www.youtube.com/v/edlugo2ooxs

Notación Científica

Los números reales expresados con notación científica ¹¹⁰ tienen la forma,

$a \times 10 ^ { n }$

donde$n$ es un entero y$1 ≤ a < 10$ Esta forma es particularmente útil cuando los números son muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo,

$\begin{aligned} 9,460,000,000,000,000 m & = 9.46 \times 10 ^ { 15 } \mathrm { m } \quad\color{Cerulean}{One \:light \:year} \\ 0.000000000025 \mathrm { m } & = 2.5 \times 10 ^ { - 11 } \mathrm { m } \quad\color{Cerulean}{Raduis \:of \: a\: light\: year} \end{aligned}$

Es engorroso escribir todos los ceros en ambos casos. La notación científica es una representación alternativa y compacta de estos números. El factor$10^{n}$ indica la potencia de diez para multiplicar el coeficiente por para volver a convertir a forma decimal:

Esto equivale a mover el decimal en el coeficiente quince lugares a la derecha.

Un exponente negativo indica que el número es muy pequeño:

Esto equivale a mover el decimal en el coeficiente once lugares hacia la izquierda.

Convertir un número decimal a notación científica implica mover el decimal también. Considere todas las formas equivalentes de$0.00563$ con factores de los$10$ que siguen:

$\begin{aligned} 0.00563 & = 0.0563 \times 10 ^ { - 1 } \\ & = 0.563 \times 10 ^ { - 2 } \\ & \color{Cerulean}{= 5.63 \times 10 ^ { - 3 }} \\ & = 56.3 \times 10 ^ { - 4 } \\ & = 563 \times 10 ^ { - 5 } \end{aligned}$

Si bien todos estos son iguales,$5.63 \times 10 ^ { - 3 }$ es la única forma expresada en la notación científica correcta. Esto se debe a que el coeficiente 5.63 está entre$1$ y$10$ como lo exige la definición. Observe que podemos$5.63 \times 10 ^ { - 3 }$ volver a convertir a forma decimal, como cheque, moviendo los decimales tres lugares hacia la izquierda.

Ejemplo$\PageIndex{11}$:

Escribir$1,075,000,000,000$ usando notación científica.

Solución

Aquí contamos doce decimales a la izquierda del punto decimal para obtener el número$1.075$.

$1,075,000,000,000 = 1.075 \times 10 ^ { 12 }$

Respuesta:

$1.075 × 10^{12}$

Ejemplo$\PageIndex{12}$:

Escribir$0.000003045$ usando notación científica.

Solución

Aquí contamos seis decimales a la derecha para obtener$3.045$.

$0.000003045 = 3.045 \times 10 ^ { - 6 }$

Respuesta:

$3.045 × 10^{−6}$

A menudo necesitaremos realizar operaciones al usar números en notación científica. Todas las reglas de exponentes desarrolladas hasta ahora también se aplican a los números en notación científica.

Ejemplo$\PageIndex{13}$:

Multiplicar:$\left( 4.36 \times 10 ^ { - 5 } \right) \left( 5.3 \times 10 ^ { 12 } \right)$.

Solución

Utilizar el hecho de que la multiplicación es conmutativa, y aplicar la regla del producto para los exponentes.

$\begin{aligned} \left( 4.36 \times 10 ^ { - 5 } \right) \left( 5.30 \times 10 ^ { 12 } \right) & = ( 4.36 \cdot 5.30 ) \times \left( 10 ^ { - 5 } \cdot 10 ^ { 12 } \right) \\ & = \color{Cerulean}{23.108}\color{Black}{ \times 10 ^ { - 5 + 12 }} \\ & = \color{Cerulean}{2.3108 \times 10 ^ { 1 }}\color{Black}{ \times 10 ^ { 7 }} \\ & = 2.3108 \times 10 ^ { 1 + 7 } \\ & = 2.3108 \times 10 ^ { 8 } \end{aligned}$

Respuesta:

$2.3108 \times 10 ^ { 8 }$

Ejemplo$\PageIndex{14}$:

Dividir:$\left( 3.24 \times 10 ^ { 8 } \right) \div \left( 9.0 \times 10 ^ { - 3 } \right)$.

Solución

$\begin{aligned} \frac { \left( 3.24 \times 10 ^ { 8 } \right) } { \left( 9.0 \times 10 ^ { - 3 } \right) } & = \left( \frac { 3.24 } { 9.0 } \right) \times \left( \frac { 10 ^ { 8 } } { 10 ^ { - 3 } } \right) \\ & = 0.36 \times 10 ^ { 8 - ( - 3 ) } \\ & = \color{Cerulean}{0.36}\color{Black}{ \times 10 ^ { 8 + 3 }} \\ & = \color{Cerulean}{3.6 \times 10 ^ { - 1 }}\color{Black}{ \times 10 ^ { 11 }} \\ & = 3.6 \times 10 ^ { - 1 +11 } \\ & = 3.6 \times 10 ^ { 10 } \end{aligned}$

Respuesta:

$3.6 × 10^{10}$

Ejemplo$\PageIndex{15}$:

La velocidad de la luz es de aproximadamente$6.7 × 10^{8}$ millas por hora. Exprese esta velocidad en millas por segundo.

Solución

Un análisis unitario indica que debemos dividir el número por$3,600$.

$\begin{aligned} 6.7 \times 10 ^ { 8 } \text { miles per hour } & = \frac { 6.7 \times 10 ^ { 8 } \text { miles } } { 1 \cancel{\color{red}{\text { hour}}} } \cdot \left (\frac{ 1 \cancel{\color{red}{\text {hour}}}}{60 \cancel{\color{OliveGreen}{\text {minutes}}}} \right ) \cdot \left (\frac{ 1 \cancel{\color{OliveGreen}{\text {minutes}}}} {60\: \text {seconds}} \right ) \\ & = \frac { 6.7 \times 10 ^ { 8 } \text { miles } } { 3600 \text { seconds } } \\ & = \left( \frac { 6.7 } { 3600 } \right) \times 10 ^ { 8 } \\ & \approx\color{Cerulean}{0.0019}\color{Black}{\times 10^{8}} \quad \color{Cerulean}{rounded \: to\: two\: significant\: digits} \\ &= \color{Cerulean}{1.9 \times 10 ^ { - 3 }}\color{Black}{ \times 10 ^ { 8 }} \\ & = 1.9 \times 10 ^ { - 3 + 8 } \\ & = 1.9 \times 10 ^ { 5 } \end{aligned}$

Respuesta:

La velocidad de la luz es de aproximadamente$1.9 × 10^{5}$ millas por segundo.

Ejemplo$\PageIndex{16}$:

El Sol se mueve alrededor del centro de la galaxia en una órbita casi circular. La distancia desde el centro de nuestra galaxia hasta el Sol es aproximadamente de años$26,000$ luz. ¿Cuál es la circunferencia de la órbita del Sol alrededor de la galaxia en metros?

Solución

Un año luz mide$9.46 × 10^{15}$ metros. Por lo tanto, multiplique esto por$26,000$ o$2.60 × 10^{4}$ para encontrar la longitud de años$26,000$ luz en metros.

$\begin{aligned} \left( 9.46 \times 10 ^ { 15 } \right) \left( 2.60 \times 10 ^ { 4 } \right) & = 9.46 \cdot 2.60 \times 10 ^ { 15 } \cdot 10 ^ { 4 } \\ & \approx 24.6 \times 10 ^ { 19 } \\ & = 2.46 \times 10 ^ { 1 } \cdot 10 ^ { 19 } \\ & = 2.46 \times 10 ^ { 20 } \end{aligned}$

El radio$r$ de este círculo muy grande es de aproximadamente$2.46 × 10^{20}$ metros. Usa la fórmula$C = 2πr$ para calcular la circunferencia de la órbita.

$\begin{aligned} C & = 2 \pi r \\ & \approx 2 ( 3.14 ) \left( 2.46 \times 10 ^ { 20 } \right) \\ & = 15.4 \times 10 ^ { 20 } \\ & = 1.54 \times 10 ^ { 1 } \cdot 10 ^ { 20 } \\ & = 1.54 \times 10 ^ { 21 } \end{aligned}$

Respuesta:

La circunferencia de la órbita del Sol es de aproximadamente$1.54 × 10^{21}$ metros.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dividir:$\left( 3.15 \times 10 ^ { - 5 } \right) \div \left( 12 \times 10 ^ { - 13 } \right)$.

Contestar

$2.625 \times 10 ^ { 7 }$

www.youtube.com/v/joirss7hyw4

Claves para llevar

Al multiplicar dos cantidades con la misma base, agregue exponentes:$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$.
Al dividir dos cantidades con la misma base, restar exponentes:$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$.
Al elevar poderes a potencias, multiplicar exponentes:$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }$.
Cuando una cantidad agrupada que implica multiplicación y división se eleva a un poder, aplique ese poder a todos los factores en el numerador y el denominador:$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n } \text { and } \left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } }$.
Cualquier cantidad distinta de cero elevada a la potencia 0 se define para que sea igual a$1: x^{0} = 1$.
Las expresiones con exponentes negativos en el numerador se pueden reescribir como expresiones con exponentes positivos en el denominador:$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }$.
Las expresiones con exponentes negativos en el denominador se pueden reescribir como expresiones con exponentes positivos en el numerador:$\frac { 1 } { x ^ { - m } } = x ^ { m }$.
Tenga cuidado de distinguir los coeficientes negativos de los exponentes negativos.
La notación científica es particularmente útil cuando se trabaja con números que son muy grandes o muy pequeños.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Simplificar. (Supongamos que todas las variables representan números distintos de cero.)

$10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 7 }$
$7 ^ { 3 } \cdot 7 ^ { 2 }$
$ \displaystyle \frac { 10 ^ { 2 } \cdot 10 ^ { 4 } } { 10 ^ { 5 } }$
$ \displaystyle \frac { 7 ^ { 5 } \cdot 7 ^ { 9 } } { 7 ^ { 2 } }$
$x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 }$
$y ^ { 5 } \cdot y ^ { 3 }$
$ \displaystyle \frac { a ^ { 8 } \cdot a ^ { 6 } } { a ^ { 5 } }$
$ \displaystyle \frac { b ^ { 4 } \cdot b ^ { 10 } } { b ^ { 8 } }$
$ \displaystyle \frac { x ^ { 2 n } \cdot x ^ { 3 n } } { x ^ { n } }$
$ \displaystyle \frac { x ^ { n } \cdot x ^ { 8 n } } { x ^ { 3 n } }$
$\left( x ^ { 5 } \right) ^ { 3 }$
$\left( y ^ { 4 } \right) ^ { 3 }$
$\left( x ^ { 4 } y ^ { 5 } \right) ^ { 3 }$
$\left( x ^ { 7 } y \right) ^ { 5 }$
$\left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } \right) ^ { 4 }$
$\left( x y ^ { 2 } z ^ { 3 } \right) ^ { 2 }$
$\left( - 5 x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \right) ^ { 2 }$
$\left( - 2 x y ^ { 3 } z ^ { 4 } \right) ^ { 5 }$
$\left( x ^ { 2 } y z ^ { 5 } \right) ^ { n }$
$\left( x y ^ { 2 } z ^ { 3 } \right) ^ { 2 n }$
$\left( x \cdot x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } \right) ^ { 3 }$
$\left( y ^ { 2 } \cdot y ^ { 5 } \cdot y \right) ^ { 2 }$
$ \displaystyle \frac { a ^ { 2 } \cdot \left( a ^ { 4 } \right) ^ { 2 } } { a ^ { 3 } }$
$ \displaystyle \frac { a \cdot a ^ { 3 } \cdot a ^ { 2 } } { \left( a ^ { 2 } \right) ^ { 3 } }$
$( 2 x + 3 ) ^ { 4 } ( 2 x + 3 ) ^ { 9 }$
$( 3 y - 1 ) ^ { 7 } ( 3 y - 1 ) ^ { 2 }$
$( a + b ) ^ { 3 } ( a + b ) ^ { 5 }$
$( x - 2 y ) ^ { 7 } ( x - 2 y ) ^ { 3 }$
$5 x ^ { 2 } y \cdot 3 x y ^ { 2 }$
$- 10 x ^ { 3 } y ^ { 2 } \cdot 2 x y$
$- 6 x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \cdot 3 x y z ^ { 4 }$
$2 x y z ^ { 2 } \left( - 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z \right)$
$3 x ^ { n } y ^ { 2 n } \cdot 5 x ^ { 2 } y$
$8 x ^ { 5 n } y ^ { n } \cdot 2 x ^ { 2 n } y$
$ \displaystyle \frac { 40 x ^ { 5 } y ^ { 3 } z } { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z }$
$ \displaystyle \frac { 8 x ^ { 2 } y ^ { 5 } z ^ { 3 } } { 16 x ^ { 2 } y z }$
$ \displaystyle \frac { 24 a ^ { 8 } b ^ { 3 } ( a - 5 b ) ^ { 10 } } { 8 a ^ { 5 } b ^ { 3 } ( a - 5 b ) ^ { 2 } }$
$ \displaystyle \frac { 175 m ^ { 9 } n ^ { 5 } ( m + n ) ^ { 7 } } { 25 m ^ { 8 } n ( m + n ) ^ { 3 } }$
$\left( - 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } z \right) ^ { 6 }$
$\left( - 3 x y ^ { 4 } z ^ { 7 } \right) ^ { 5 }$
$\left( \displaystyle \frac { - 3 a b ^ { 2 } } { 2 c ^ { 3 } } \right) ^ {3 }$
$\left( \displaystyle \frac { - 10 a ^ { 3 } b } { 3 c ^ { 2 } } \right) ^ {2 }$
$\left( \displaystyle \frac { - 2 x y ^ { 4 } } { z ^ { 3 } } \right) ^ {4 }$
$\left( \displaystyle \frac { - 7 x ^ { 9 } y } { z ^ { 4 } } \right) ^ {3 }$
$\left( \displaystyle \frac { x y ^ { 2 } } { z ^ { 3 } } \right) ^ {n }$
$\left( \displaystyle \frac { 2 x ^ { 2 } y ^ { 3 } } { z } \right) ^ {n }$
$( - 5 x ) ^ { 0 }$
$\left( 3 x ^ { 2 } y \right) ^ { 0 }$
$- 5 x ^ { 0 }$
$3 x ^ { 2 } y ^ { 0 }$
$\left( - 2 a ^ { 2 } b ^ { 0 } c ^ { 3 } \right) ^ { 5 }$
$\left( - 3 a ^ { 4 } b ^ { 2 } c ^ { 0 } \right) ^ { 4 }$
$\frac { \left( 9 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z ^ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 3 x y ^ { 2 } }$
$\frac { \left( - 5 x ^ { 0 } y ^ { 5 } z \right) ^ { 3 } } { 25 y ^ { 2 } z ^ { 0 } }$
$- 2 x ^ { - 3 }$
$( - 2 x ) ^ { - 2 }$
$a ^ { 4 } \cdot a ^ { - 5 } \cdot a ^ { 2 }$
$b ^ { - 8 } \cdot b ^ { 3 } \cdot b ^ { 4 }$
$ \displaystyle\frac { a ^ { 8 } \cdot a ^ { - 3 } } { a ^ { - 6 } }$
$ \displaystyle\frac { b ^ { - 10 } \cdot b ^ { 4 } } { b ^ { - 2 } }$
$10 x ^ { - 3 } y ^ { 2 }$
$- 3 x ^ { - 5 } y ^ { - 2 }$
$3 x ^ { - 2 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 }$
$- 5 x ^ { - 4 } y ^ { - 2 } z ^ { 2 }$
$ \displaystyle\frac { 25 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } } { 5 x ^ { - 1 } y ^ { - 3 } }$
$ \displaystyle\frac { - 9 x ^ { - 1 } y ^ { 3 } z ^ { - 5 } } { 3 x ^ { - 2 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 } }$
$\left( - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } z \right) ^ { - 3 }$
$\left( - 7 x ^ { 2 } y ^ { - 5 } z ^ { - 2 } \right) ^ { - 2 }$
$\left( \displaystyle \frac { 2 x ^ { - 3 } z } { y ^ { 2 } } \right) ^ {- 5 }$
$\left( \displaystyle \frac { 5 x ^ { 5 } z ^ { - 2 } } { 2 y ^ { - 3 } } \right) ^ {- 3 }$
$\left( \displaystyle \frac { 12 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z } { 2 x ^ { 7 } y z ^ { 8 } } \right) ^ {3 }$
$\left( \displaystyle \frac { 150 x y ^ { 8 } z ^ { 2 } } { 90 x ^ { 7 } y ^ { 2 } z } \right) ^ {2 }$
$\left( \displaystyle \frac { - 9 a ^ { - 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 2 } } { 3 a ^ { 3 } b ^ { 5 } c ^ { - 7 } } \right) ^ {- 4 }$
$\left( \displaystyle \frac { - 15 a ^ { 7 } b ^ { 5 } c ^ { - 8 } } { 3 a ^ { - 6 } b ^ { 2 } c ^ { 3 } } \right) ^ {- 3 }$

Contestar

1. $10^{11}$

3. $10$

5. $x^{5}$

7. $a^{9}$

9. $x^{4n}$

11. $x^{15}$

13. $x^{12}y^{15}$

15. $x^{8}y^{12}z^{16}$

17. $25x^{4}y^{2}z^{6}$

19. $x^{2n}y^{n}z^{5n}$

21. $x^{18}$

23. $a^{7}$

25. $(2x + 3)^{13}$

27. $(a + b)^{8}$

29. $15x^{3}y^{3}$

31. $−18x^{3}y^{2}z^{7}$

33. $15x^{n+2}y^{2n+1}$

35. $10x^{3}y$

37. $3a^{3}(a − 5b)^{8}$

39. $64x^{24}y^{12}z^{6}$

41. $- \displaystyle\frac { 27 a ^ { 3 } b ^ { 6 } } { 8 c ^ { 9 } }$

43. $ \displaystyle\frac { 16 x ^ { 4 } y ^ { 16 } } { z ^ { 12 } }$

45. $ \displaystyle\frac { x ^ { n } y ^ { 2 n } } { z ^ { 3 n } }$

47. $1$

49. $-5$

51. $- 32 a ^ { 10 } c ^ { 15 }$

53. $27 x ^ { 5 } y ^ { 2 }$

55. $- \displaystyle \frac { 2 } { x ^ { 3 } }$

57. $a$

59. $a^{11}$

61. $ \displaystyle\frac { 10 y ^ { 2 } } { x ^ { 3 } }$

63. $ \displaystyle\frac { 3 y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } z }$

65. $ \displaystyle\frac { 5 y ^ { 5 } } { x ^ { 2 } }$

67. $- \displaystyle\frac { x ^ { 9 } } { 125 y ^ { 6 } z ^ { 3 } }$

69. $ \displaystyle\frac { x ^ { 15 } y ^ { 10 } } { 32 z ^ { 5 } }$

71. $ \displaystyle\frac { 216 y ^ { 3 } } { x ^ { 12 } z ^ { 21 } }$

73. $ \displaystyle\frac { a ^ { 24 } b ^ { 4 } } { 81 c ^ { 20 } }$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

El valor en dólares de un nuevo teléfono móvil se puede estimar utilizando la fórmula$V = 210(2t + 1)^{−1}$, donde$t$ está el número de años después de la compra.

¿Cuánto valía el teléfono nuevo?
¿Cuánto valdrá el teléfono en el$1$ año?
¿Cuánto valdrá el teléfono en$3$ años?
¿Cuánto valdrá el teléfono en$10$ años?
¿Cuánto valdrá el teléfono en$100$ años?
Según la fórmula, ¿alguna vez el teléfono carecerá de valor? Explique.
La altura de un cono circular derecho particular es igual al cuadrado del radio de la base,$h = r^{2}$. Encuentra una fórmula para el volumen en términos de$r$.
Una esfera tiene un radio$r = 3x^{2}$ .Encuentra el volumen en términos de$x$.

Contestar

1. $$210$

3. $$30$

5. $$1.04$

7. $V = \frac{1}{3} πr^{4}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Convertir a un número decimal.

$5.2 \times 10^{8}$
$6.02 \times 10^{9}$
$1.02 \times 10^{−6}$
$7.44 \times 10^{−5}$

Contestar

1. $520,000,000$

3. $0.00000102$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Reescribir usando notación científica.

$7,050,000$
$430,000,000,000$
$0.00005001$
$0.000000231$

Contestar

1. $7.05 \times 10^{6}$

3. $5.001 \times 10^{-5}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Realizar las operaciones.

$\left( 1.2 \times 10 ^ { 9 } \right) \left( 3 \times 10 ^ { 5 } \right)$
$\left( 4.8 \times 10 ^ { - 5 } \right) \left( 1.6 \times 10 ^ { 20 } \right)$
$\left( 9.1 \times 10 ^ { 23 } \right) \left( 3 \times 10 ^ { 10 } \right)$
$\left( 5.5 \times 10 ^ { 12 } \right) \left( 7 \times 10 ^ { - 25 } \right)$
$\frac { 9.6 \times 10 ^ { 16 } } { 1.2 \times 10 ^ { - 4 } }$
$\frac { 4.8 \times 10 ^ { - 14 } } { 2.4 \times 10 ^ { - 6 } }$
$\frac { 4 \times 10 ^ { - 8 } } { 8 \times 10 ^ { 10 } }$
$\frac { 2.3 \times 10 ^ { 23 } } { 9.2 \times 10 ^ { - 3 } }$
$987,000,000,000,000 \times 23,000,000$
$0.00000000024 \times 0.00000004$
$0.000000000522 \div 0.0000009$
$81,000,000,000 \div 0.0000648$
La densidad poblacional de la Tierra se refiere al número de personas por milla cuadrada de superficie terrestre. Si la superficie total de tierra en la Tierra es de millas$5.751 \times 10^{7}$ cuadradas y$2007$ se estimó que la población en era$6.67 \times 10^{9}$ personas, entonces calcula la densidad poblacional de la Tierra en ese momento.
En$2008$ la población de la ciudad de Nueva York se estimó en$8.364$ millones de personas. La superficie total del terreno es de millas$305$ cuadradas. Calcular la densidad poblacional de la ciudad de Nueva York.
La masa de la Tierra es$5.97 \times 10^{24}$ kilogramos y la masa de la Luna es$7.35 \times 10^{22}$ kilogramos. ¿Por qué factor es mayor la masa de la Tierra que la masa de la Luna?
La masa del Sol es$1.99 \times 10^{30}$ kilogramos y la masa de la Tierra es$5.97 \times 10^{24}$ kilogramos. ¿Por qué factor es mayor la masa del Sol que la masa de la Tierra? Exprese su respuesta en notación científica.
El radio del Sol es de$4.322 \times 10^{5}$ millas y la distancia promedio de la Tierra a la Luna es de$2.392 \times 10^{5}$ millas. ¿En qué factor es el radio del Sol mayor que la distancia promedio de la Tierra a la Luna?
Un año luz,$9.461 \times 10^{15}$ metros, es la distancia que la luz recorre al vacío en un año. Si se estima que la distancia desde nuestro Sol hasta la estrella más cercana, Próxima Centauri, es de$3.991 \times 10^{16}$ metros, entonces calcula el número de años que tomaría luz recorrer esa distancia.
Se estima que hay alrededor de un$1$ millón de hormigas por persona en el planeta. Si se estimó que la población mundial era de$6.67$ mil millones de personas en$2007$, entonces estime la población mundial de hormigas en ese momento.
El radio de la tierra es$6.3 \times 10^{6}$ metros y el radio del sol es$7.0 \times 10^{8}$ metros. ¿Por qué factor es el radio del Sol mayor que el radio de la Tierra?
Un gigabyte es$1 \times 10^{9}$ bytes y un megabyte es$1 \times 10^{6}$ bytes. Si la canción promedio en formato MP3 consume alrededor de$4.5$ megabytes de almacenamiento, entonces ¿cuántas canciones caben en una tarjeta de memoria de$4$ -gigabyte?
El agua pesa aproximadamente$18$ gramos por mol. Si un mol se trata de$6 \times 10^{23}$ moléculas, entonces aproxima el peso de cada molécula de agua.

Contestar

1. $3.6 \times 10^{14}$

3. $2.73 \times 10^{34}$

5. $8 \times 10^{20}$

7. $5 \times 10^{−19}$

9. $2.2701 \times 10^{22}$

11. $5.8 \times 10^{−4}$

13. Acerca de$116$ personas por milla cuadrada

15. $81.2$

17. $1.807$

19. $6.67 \times 10^{15} ants$

21. Aproximadamente$889$ canciones

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Usa números para mostrar eso$( x + y ) ^ { n } \neq x ^ { n } + y ^ { n }$.
¿Por qué es$0^{0}$ indeterminado?
Explique a un estudiante principiante de álgebra por qué$2 ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 3 } \neq 4 ^ { 5 }$.
René Descartes ($1637$) estableció el uso de la forma exponencial:$a^{2}, a^{3}$, y así sucesivamente. Antes de esto, ¿cómo se denotaban los exponentes?

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹⁰³$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$; el producto de dos expresiones con la misma base puede simplificarse sumando los exponentes.

¹⁰⁴$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m n }$; una potencia elevada a una potencia puede simplificarse multiplicando los exponentes.

¹⁰⁵$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$; si un producto se eleva a una potencia, entonces aplique esa potencia a cada factor en el producto.

¹⁰⁶$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$; si se eleva un cociente a una potencia, entonces aplica esa potencia al numerador y al denominador.

¹⁰⁷$x^{0} = 1$; cualquier base distinta de cero elevada a la$0$ potencia se define como$1$.

¹⁰⁸$x^{−n} = \frac{1}{x^{n}}$, dado cualquier número entero$n$, donde$x$ es distinto de cero.

¹⁰⁹$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$, dado cualquier número entero$m$ y$n$, donde$x ≠ 0$ y$y ≠ 0$.

¹¹⁰ Los números reales expresaron la forma$a × 10^{n}$, donde$n$ es un número entero y$1 ≤ a < 10$.

¹¹¹$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$; el cociente de dos expresiones con la misma base se puede simplificar restando los exponentes.

Regla del producto para exponentes:	\(x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }\)
Regla de cociente para exponentes:	\(\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }\)
Regla de potencia para exponentes:	\(\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }\)
Regla de potencia para un producto: ¹⁰⁵	\(( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }\)
Regla de poder para un cociente: ¹⁰⁶	\(\left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } }\)

Cero exponente	\(x^{0}=1\)
Exponente negativo	\(x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }\)
Cocientes con exponentes negativos	\(\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }\)