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1.8: Resolver desigualdades lineales con una variable

1.8: Resolver desigualdades lineales con una variable

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Objetivos de aprendizaje

Identificar desigualdades lineales y verificar soluciones.
Resolver desigualdades lineales y expresar las soluciones gráficamente en una recta numérica y en notación de intervalos.
Resolver desigualdades lineales compuestas y expresar las soluciones gráficamente en una recta numérica y en notación de intervalos.
Resolver aplicaciones que involucran desigualdades lineales e interpretar los resultados.

Desigualdades Lineales

Una desigualdad lineal ¹³⁸ es una declaración matemática que relaciona una expresión lineal como menor o mayor que otra. A continuación se presentan algunos ejemplos de desigualdades lineales, todas las cuales se resuelven en esta sección:

Mesa$\PageIndex{1}$
$5 x + 7 < 22$	$- 2 ( x + 8 ) + 6 \geq 20$	$- 2 ( 4 x - 5 ) < 9 - 2 ( x - 2 )$

Una solución a una desigualdad lineal ¹³⁹ es un número real que producirá una declaración verdadera cuando se sustituya por la variable. Las desigualdades lineales tienen infinitamente muchas soluciones o ninguna solución. Si hay infinitamente muchas soluciones, grafique el conjunto de soluciones en una línea numérica y/o exprese la solución usando la notación de intervalos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

¿Son$x=−4$ y$x=6$ soluciones para$5x+7<22$?

Solución

Sustituir los valores en for$x$, simplificar y verificar para ver si obtenemos una declaración verdadera.

Mesa$\PageIndex{2}$
Cheque$x=−4$	Cheque$x=6$
\ (x=−4\)” class="lt-math-6393"> $\begin{array} { r } { 5 ( \color{Cerulean}{- 4}\color{Black}{ )} + 7 < 22 } \\ { - 20 + 7 < 22 } \\ { - 13 < 22 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$	\ (x=6\)” class="lt-math-6393"> $\begin{array} { c } { 5 ( \color{Cerulean}{6} \color{Black}{)} + 7 < 22 } \\ { 30 + 7 < 22 } \\ { 37 < 22 } \:\:\color{red}{✗} \end{array}$

Respuesta:

$x=−4$es una solución y no$x=6$ es

Todas menos una de las técnicas aprendidas para resolver ecuaciones lineales se aplican a la resolución de desigualdades lineales. Puedes sumar o restar cualquier número real a ambos lados de una desigualdad, y puedes multiplicar o dividir ambos lados por cualquier número real positivo para crear desigualdades equivalentes. Por ejemplo:

$ 10 > - 5 $

$10\color{Cerulean}{-7}\color{Black}{>} -5\color{Cerulean}{-7}\quad \color{Cerulean}{Subtract\: 7\: on\: both\: sides.}$

$ 3 > - 12 \quad\color{Cerulean}{✓}\quad\color{Cerulean}{True.}$

$10>-5$

$\frac{10}{\color{Cerulean}{5}}\color{Black}{>}\frac{-5}{\color{Cerulean}{5}}\quad\color{Cerulean}{Divide\: both\: sides\: by\: 5.}$

$2>-1 \quad\color{Cerulean}{✓\:\:True}$

Restar$7$ de cada lado y dividir cada lado por positivo$5$ da como resultado una desigualdad que es verdadera.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$5x+7<22$.

Solución

$\begin{array} { c } { 5 x + 7 < 22 } \\ { 5 x + 7 \color{Cerulean}{- 7}\color{Black}{ < 22}\color{Cerulean}{ - 7} } \\ { 5 x < 15 } \\ { \frac { 5 x } {\color{Cerulean}{ 5} } < \frac { 15 } { \color{Cerulean}{5} } } \\ { x < 3 } \end{array}$

Es útil tomarse un minuto y elegir algunos valores dentro y fuera del conjunto de soluciones, sustituirlos por la desigualdad original y luego verificar los resultados. Como se indicó, se debe$x=0$ esperar resolver la desigualdad original y eso no$x=5$ debe.

Mesa$\PageIndex{3}$
Cheque$x=0$	Cheque$x=5$
\ (x=0\) "> $\begin{array} { r } { 5 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} + 7 < 22 } \\ { 7 < 22 }\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$	\ (x=5\) "> $\begin{array} { r } { 5 ( \color{Cerulean}{5}\color{Black}{ )} + 7 < 22 } \\ { 25 + 7 < 22 } \\ { 32 < 22 } \:\:\color{red}{✗} \end{array}$

Comprobando de esta manera nos da un buen indicio de que hemos resuelto la desigualdad correctamente.

Podemos expresar esta solución de dos maneras: usando notación de conjuntos y notación de intervalos.

$\begin{array} { r } { \{ x | x < 3 \} } &\color{Cerulean}{Set\: notation} \\ { ( - \infty , 3 ) } &\color{Cerulean}{Interval\: notation} \end{array}$

En este texto elegiremos presentar respuestas usando notación de intervalos.

Responder

$(−∞, 3) $

Cuando se trabaja con desigualdades lineales, se aplica una regla diferente al multiplicar o dividir por un número negativo. Para ilustrar el problema, considere la afirmación verdadera$10 > −5$ y divida a ambas partes por$−5$.

$\begin{array} { l } { 10 > - 5 } \\ { \frac { 10 } { \color{Cerulean}{- 5} } \color{Black}{>} \frac { - 5 } { \color{Cerulean}{- 5} } } \quad \color{Cerulean}{Divide\: both\: sides\: by\: -5.} \\ { - 2 \color{red}{>}\color{Black}{ 1} \quad \color{red}{✗} \color{Cerulean}{ False } } \end{array}$

Dividir por$−5$ resultados en una declaración falsa. Para conservar una verdadera afirmación, se debe revertir la desigualdad.

$\begin{array} { l } { 10 \color{OliveGreen}{>}\color{Black}{ - 5} } \\ { \frac { 10 } { \color{Cerulean}{- 5} } \color{Black}{<} \frac { - 5 } { \color{Cerulean}{- 5} } } \quad \color{Cerulean}{Reverse\: the\: inequality.} \\ { - 2 \color{OliveGreen}{<}\color{Black}{ 1} \quad \color{Cerulean}{✓} \color{Cerulean}{ True } } \end{array}$

El mismo problema ocurre cuando se multiplica por un número negativo. Esto lleva a la siguiente nueva regla: al multiplicar o dividir por un número negativo, revertir la desigualdad. Es fácil olvidarse de hacer esto así que tenga especial cuidado en estar atento a los coeficientes negativos. En general, dadas las expresiones algebraicas$A$ y$B$, donde$c$ es un número real positivo distinto de cero, tenemos las siguientes propiedades de desigualdades ¹⁴⁰:

Mesa$\PageIndex{4}$
Suma propiedad de las desigualdades:	Si$A<B$ entonces,$A \color{Cerulean}{+c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{+c}$
Propiedad de sustracción de las desigualdades:	Si$A<B$ entonces,$A \color{Cerulean}{-c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{-c}$
Propiedad de multiplicación de las desigualdades:	Si$A<B$, entonces$\color{Cerulean}{c}\color{Black}{A}\:<\:\color{Cerulean}{c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}$ Si$A<B$, entonces$\color{Cerulean}{-c}\color{Black}{A}\:\color{OliveGreen}{>}\:\color{Cerulean}{-c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}$
Propiedad de división de las desigualdades:	Si$A<B$, entonces$\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}\color{Black}{<}\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}$ Si$A<B$, entonces$\frac{A}{\color{Cerulean}{-c}}\color{OliveGreen}{>}\frac{\color{Black}{B}}{\color{Cerulean}{-c}}$

Utilizamos estas propiedades para obtener una desigualdad equivalente ¹⁴¹, una con el mismo conjunto de soluciones, donde se aísla la variable. El proceso es similar a resolver ecuaciones lineales.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$−2(x+8)+6≥20$.

Solución

$\begin{aligned} - 2 ( x + 8 ) + 6 & \geq 20 \quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ - 2 x - 16 + 6 & \geq 20 \quad\color{Cerulean}{Combine\: like\: terms.} \\ - 2 x - 10 & \geq 20 \quad\color{Cerulean}{Solve\: for\: x.} \\ - 2 x & \geq 30 \quad\color{Cerulean}{Divide\: both\: sides\: by\: -2.} \\ \frac { - 2 x } { \color{Cerulean}{- 2} } & \color{OliveGreen}{\leq} \frac { \color{Black}{30} } { \color{Cerulean}{- 2} } \quad\color{Cerulean}{Reverse\: the\: inequality.} \\ x & \leq - 15 \end{aligned}$

Respuesta:

Notación de intervalos$(−∞, −15] $

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$−2(4x−5)<9−2(x−2)$.

Solución

$\begin{array} { c } { - 2 ( 4 x - 5 ) < 9 - 2 ( x - 2 ) } \\ { - 8 x + 10 < 9 - 2 x + 4 } \\ { - 8 x + 10 < 13 - 2 x } \\ { - 6 x < 3 } \\ { \frac { - 6 x } { \color{Cerulean}{- 6} } \color{OliveGreen}{>} \frac { \color{Black}{3} } { \color{Cerulean}{- 6} } }\color{Cerulean}{Reverse\:the\:inequality.} \\ { x > - \frac { 1 } { 2 } } \end{array}$

Respuesta:

Notación de intervalos$(−\frac{1}{2}, ∞)$

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$\frac{1}{2}x−2≥\frac{1}{2}(\frac{7}{4}x−9)+1$.

Solución

$\begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } x - 2 \geq \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 7 } { 4 } x - 9 \right) + 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x - 2 \geq \frac { 7 } { 8 } x - \frac { 9 } { 2 } + 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 7 } { 8 } x \geq - \frac { 7 } { 2 } + 2 } \\ { - \frac { 3 } { 8 } x \geq - \frac { 3 } { 2 } } \\ { \left( \color{Cerulean}{- \frac { 8 } { 3 }} \right) \left(\color{Black}{ - \frac { 3 } { 8 } x} \right) \leq \left( \color{Cerulean}{- \frac { 8 } { 3 }} \right) \left( \color{Black}{-} \frac { 3 } { 2 } \right) \quad \color{Cerulean} { Reverse\: the\: inequality. } } \\ { x \leq 4 } \end{array}$

Respuesta:

Notación de intervalos:$(−∞, 4]$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Resuelve y grafica el conjunto de soluciones:$10 - 5 ( 2 x + 3 ) \leq 25$

Responder

$[ - 3 , \infty )$;

www.youtube.com/v/collntwyfm8

Desigualdades compuestas

A continuación se presentan algunos ejemplos de desigualdades lineales compuestas:

Mesa$\PageIndex{5}$
$- 13 < 3 x - 7 < 17$	$4 x + 5 \leq - 15 \text { or } 6 x - 11 > 7$

Estas desigualdades compuestas ¹⁴² son en realidad dos desigualdades en una sola declaración unidas por la palabra y o por la palabra o. Por ejemplo,

$- 13 < 3 x - 7 < 17$

es una desigualdad compuesta porque se puede descomponer de la siguiente manera:

$- 13 < 3 x - 7 \text { and } 3 x - 7 < 17$

Podemos resolver cada desigualdad individualmente; la intersección de los dos conjuntos de soluciones resuelve la desigualdad compuesta original. Si bien este método funciona, hay otro método que suele requerir menos pasos. Aplicar las propiedades de esta sección a las tres partes de la desigualdad compuesta con el objetivo de aislar la variable en medio de la declaración para determinar los límites del conjunto de soluciones.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$−13<3x−7<17$.

Solución

$\begin{array} { c } { - 13 < 3 x - 7 < 17 } \\ { - 13 \color{Cerulean}{+ 7}\color{Black}{ <} 3 x - 7 \color{Cerulean}{+ 7}\color{Black}{ <} 17 \color{Cerulean}{+ 7} } \\ { - 6 < 3 x < 24 } \\ { \frac { - 6 } { \color{Cerulean}{3} } \color{Black}{<} \frac { 3 x } { \color{Cerulean}{3} } \color{Black}{<} \frac { 24 } { \color{Cerulean}{3} } } \\ { - 2 < x < 8 } \end{array}$

Respuesta:

Notación de intervalos:$(−2,8)$

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$\frac{5}{6}≤\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+4)<2$.

Solución

$\begin{array} { c } { \frac { 5 } { 6 } \leq \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { 2 } x + 4 \right) < 2 } \\ { \frac { 5 } { 6 } \leq \frac { 1 } { 6 } x + \frac { 4 } { 3 } < 2 } \\ { \color{Cerulean}{6}\color{Black}{ \cdot} \left( \frac { 5 } { 6 } \right) \leq \color{Cerulean}{6}\color{Black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 6 } x + \frac { 4 } { 3 } \right) < \color{Cerulean}{6}\color{Black}{ \cdot} ( 2 ) } \\ { 5 \leq x + 8 < 12 } \\ { 5 \color{Cerulean}{- 8}\color{Black}{ \leq} x + 8 \color{Cerulean}{- 8}\color{Black}{ <} 12 \color{Cerulean}{- 8} } \\ { - 3 \leq x < 4 } \end{array}$

Respuesta:

Notación de intervalos$[−3,4)$

Es importante señalar que al multiplicar o dividir las tres partes de una desigualdad compuesta por un número negativo, se deben revertir todas las desigualdades en el enunciado. Por ejemplo:

$\begin{array} { l } { - 10 < - 2 x < 20 } \\ { \frac { - 10 } { \color{Cerulean}{- 2} } \color{OliveGreen}{>} \frac { \color{Black}{- 2 x} } { \color{Cerulean}{ - 2} } \color{OliveGreen}{>} \frac { \color{Black}{20} } { \color{Cerulean}{- 2} } } \\ { 5 > x > - 10 } \end{array}$

La respuesta anterior se puede escribir en una forma equivalente, donde los números más pequeños se encuentran a la izquierda y los números más grandes se encuentran a la derecha, ya que aparecen en una recta numérica.

$- 10 < x < 5$

Usar notación de intervalos, escribir:$(-10, 5)$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$−3≤−3(2x−3)<15$.

Responder

$(-1,2]$;

www.youtube.com/v/bexegm_fgdc

Para las desigualdades compuestas con la palabra “o” se trabaja ambas desigualdades por separado y luego se considera la unión de los conjuntos de soluciones. Los valores en esta unión resuelven cualquiera de las dos desigualdades.

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$4x+5≤−15$ o$6x−11>7$.

Solución

Resuelve cada desigualdad y forma la unión combinando los conjuntos de soluciones.

Mesa$\PageIndex{6}$
$\begin{aligned} 4 x + 5 & \leq - 15 \\ 4 x & \leq - 20 \\ x & \leq - 5 \end{aligned}$	o	$\begin{array} { r } { 6 x - 11 > 7 } \\ { 6 x > 18 } \\ { x > 3 } \end{array}$

Respuesta:

Notación de intervalos$(−∞,−5]∪(3,∞)$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Resolver y graficar el conjunto de soluciones:$5 ( x - 3 ) < - 20 \text { or } 2 ( 5 - 3 x ) < 1$.

Responder

$( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 3 } { 2 } , \infty \right)$

www.youtube.com/v/hdxp6dabl4i

Aplicaciones de Desigualdades Lineales

A continuación se resumen algunas de las palabras y frases clave que indican desigualdades:

Mesa$\PageIndex{7}$
Frases Clave	Traducción
Un número es al menos$5$.	$x\geq 5$
Un número es$5$ o más inclusivo.	$x\geq 5$
Un número es como mucho$3$.	$x\leq 3$
Un número es$3$ o menos inclusivo.	$x\leq 3$
Un número es estrictamente menor que$4$.	$x<4$
Un número es menor que$4$, no inclusivo.	$x<4$
Un número es mayor que$7$.	$x>7$
Un número es más que$7$, no inclusivo.	$x>7$
Un número está en el medio$2$ y$10$.	$2<x<10$
Un número es al menos$5$ y como máximo$15$.	$5\leq x\leq 15$
Un número puede variar de$5$ a$15$.	$5\leq x\leq 15$

Al igual que con todas las aplicaciones, lee atentamente el problema varias veces y busca palabras y frases clave. Identificar las incógnitas y asignar variables. A continuación, traducir la redacción en una desigualdad matemática. Por último, usa las propiedades que has aprendido para resolver la desigualdad y expresar la solución gráficamente o en notación de intervalos.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Siete$3$ veces menos que la suma de un número y$5$ es como mucho$11$. Encuentra todos los números que satisfagan esta condición.

Solución

Primero, elija una variable para el número desconocido e identifique las palabras y frases clave.

Que n represente lo desconocido indicado por “un número”.

Resolver para n.

$\begin{aligned} 3 ( n + 5 ) - 7 & \leq 11 \\ 3 n + 15 - 7 & \leq 11 \\ 3 n + 8 & \leq 11 \\ 3 n & \leq 3 \\ n & \leq 1 \end{aligned}$

Respuesta:

Cualquier número menor o igual a$1$ satisfará la declaración.

Ejemplo$\PageIndex{10}$:

Para obtener una B en un curso de matemáticas el promedio de la prueba debe ser de al menos$80$% y menos de$90$%. Si un estudiante obtuvo$92$%,$96$%,$79$% y$83$% en las primeras cuatro pruebas, ¿qué debe puntuar en la quinta prueba para obtener una B?

Solución

Establecer una desigualdad compuesta donde el promedio de la prueba esté entre$80$% y$90$%. En este caso, incluir el límite inferior,$80$.

Que x represente el puntaje en la quinta prueba.

$\begin{aligned} 80\quad \leq\quad & \color{Cerulean}{ test\: average }\quad\quad\quad\quad < 90 \\ 80\quad \leq \quad & \frac { 92 + 96 + 79 + 83 + x } { 5 }<90 \\ \color{Cerulean}{5}\color{Black}{ \cdot} 80 \leq\quad & \color{Cerulean}{5}\color{Black}{ \cdot} \frac { 350 + x } { 5 } \quad\quad\quad\quad\quad<\color{Cerulean}{5}\color{Black}{\cdot} 90 \\ 400 \leq\quad & 350 + x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:<45 \\ 50 \leq\quad & x\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:<100 \end{aligned}$

Respuesta:

Debe obtener una puntuación de al menos$50$% y menos de$100$%.

En el ejemplo anterior, el$100$% de límite superior no formaba parte del conjunto de soluciones. ¿Qué pasaría si ganara un$100$% en la quinta prueba?

$\begin{aligned} \text {average} & = \frac { 92 + 96 + 79 + 83 + \color{Cerulean}{100} } {\color{Black}{ 5} } \\ & = \frac { 450 } { 5 } \\ & = 90 \end{aligned}$

Como podemos ver, su promedio sería$90$%, lo que le haría ganar una A.

Claves para llevar

Las desigualdades suelen tener infinitamente muchas soluciones. Las soluciones se presentan gráficamente en una recta numérica o usando notación de intervalo o ambas.
Todas menos una de las reglas para resolver las desigualdades lineales son las mismas que resolver ecuaciones lineales. Si divide o multiplica una desigualdad por un número negativo, invierta la desigualdad para obtener una desigualdad equivalente.
Las desigualdades compuestas que involucran la palabra “o” requieren que resolvamos cada desigualdad y formemos la unión de cada conjunto de soluciones. Estos son los valores que resuelven al menos una de las desigualdades dadas.
Las desigualdades compuestas que involucran la palabra “y” requieren la intersección de los conjuntos de soluciones para cada desigualdad. Estos son los valores que resuelven ambas o todas las desigualdades dadas.
Los lineamientos generales para resolver problemas verbales se aplican a las aplicaciones que involucran desigualdades. Tenga en cuenta una nueva lista de palabras y frases clave que indican una configuración matemática que involucra desigualdades.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Determinar si el valor dado es o no una solución.

$5 x - 1 < - 2 ; x = - 1$
$- 3 x + 1 > - 10 ; x = 1$
$2 x - 3 < - 5 ; x = 1$
$5 x - 7 < 0 ; x = 2$
$9 y - 4 \geq 5 ; y = 1$
$- 6 y + 1 \leq 3 ; y = - 1$
$12 a + 3 \leq - 2 ; a = - \frac { 1 } { 3 }$
$25 a - 2 \leq - 22 ; a = - \frac { 4 } { 5 }$
$- 10 < 2 x - 5 < - 5 ; x = - \frac { 1 } { 2 }$
$3 x + 8 < - 2 \text { or } 4 x - 2 > 5 ; x = 2$

Responder

1. Sí

3. No

5. Sí

7. No

9. Sí

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Grafique todas las soluciones en una recta numérica y proporcione la notación de intervalo correspondiente.

$3 x + 5 > - 4$
$2 x + 1 > - 1$
$5 - 6 y < - 1$
$7 - 9 y > 43$
$6 - a \leq 6$
$- 2 a + 5 > 5$
$\frac { 5 x + 6 } { 3 } \leq 7$
$\frac { 4 x + 11 } { 6 } \leq \frac { 1 } { 2 }$
$\frac { 1 } { 2 } y + \frac { 5 } { 4 } \geq \frac { 1 } { 4 }$
$\frac { 1 } { 12 } y + \frac { 2 } { 3 } \leq \frac { 5 } { 6 }$
$2 ( 3 x + 14 ) < - 2$
$5 ( 2 y + 9 ) > - 15$
$5 - 2 ( 4 + 3 y ) \leq 45$
$- 12 + 5 ( 5 - 2 x ) < 83$
$6 ( 7 - 2 a ) + 6 a \leq 12$
$2 a + 10 ( 4 - a ) \geq 8$
$9 ( 2 t - 3 ) - 3 ( 3 t + 2 ) < 30$
$- 3 ( t - 3 ) - ( 4 - t ) > 1$
$\frac { 1 } { 2 } ( 5 x + 4 ) + \frac { 5 } { 6 } x > - \frac { 4 } { 3 }$
$\frac { 2 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } ( 2 x - 3 ) \geq \frac { 1 } { 15 }$
$5 x - 2 ( x - 3 ) < 3 ( 2 x - 1 )$
$3 ( 2 x - 1 ) - 10 > 4 ( 3 x - 2 ) - 5 x$
$- 3 y \geq 3 ( y + 8 ) + 6 ( y - 1 )$
$12 \leq 4 ( y - 1 ) + 2 ( 2 y + 1 )$
$- 2 ( 5 t - 3 ) - 4 > 5 ( - 2 t + 3 )$
$- 7 ( 3 t - 4 ) > 2 ( 3 - 10 t ) - t$
$\frac { 1 } { 2 } ( x + 5 ) - \frac { 1 } { 3 } ( 2 x + 3 ) > \frac { 7 } { 6 } x + \frac { 3 } { 2 }$
$- \frac { 1 } { 3 } ( 2 x - 3 ) + \frac { 1 } { 4 } ( x - 6 ) \geq \frac { 1 } { 12 } x - \frac { 5 } { 4 }$
$4 ( 3 x + 4 ) \geq 3 ( 6 x + 5 ) - 6 x$
$1 - 4 ( 3 x + 7 ) < - 3 ( x + 9 ) - 9 x$
$6 - 3 ( 2 a - 1 ) \leq 4 ( 3 - a ) + 1$
$12 - 5 ( 2 a + 6 ) \geq 2 ( 5 - 4 a ) - a$

Responder

1. $( - 3 , \infty )$;

F igure 1.8.12

3. $( 1 , \infty )$;

5. $[ 0 , \infty )$;

7. $( - \infty , 3 ]$;

9. $[ - 2 , \infty )$;

11. $( - \infty , - 5 )$;

13. $[ - 8 , \infty )$;

15. $[ 5 , \infty )$;

17. $( - \infty , 7 )$;

19. $( - 1 , \infty )$;

21. $( 3 , \infty )$;

23. $\left( - \infty , - \frac { 3 } { 2 } \right]$;

25. $\emptyset$;

27. $( - \infty , 0 )$;

29. $\mathbb { R }$;

31. $[ - 2 , \infty )$;

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Grafique todas las soluciones en una recta numérica y proporcione la notación de intervalo correspondiente.

$- 1 < 2 x + 1 < 9$
$- 4 < 5 x + 11 < 16$
$- 7 \leq 6 y - 7 \leq 17$
$- 7 \leq 3 y + 5 \leq 2$
$- 7 < \frac { 3 x + 1 } { 2 } \leq 8$
$- 1 \leq \frac { 2 x + 7 } { 3 } < 1$
$- 4 \leq 11 - 5 t < 31$
$15 < 12 - t \leq 16$
$- \frac { 1 } { 3 } \leq \frac { 1 } { 6 } a + \frac { 1 } { 3 } \leq \frac { 1 } { 2 }$
$- \frac { 1 } { 6 } < \frac { 1 } { 3 } a + \frac { 5 } { 6 } < \frac { 3 } { 2 }$
$5 x + 2 < - 3 \text { or } 7 x - 6 > 15$
$4 x + 15 \leq - 1 \text { or } 3 x - 8 \geq - 11$
$8 x - 3 \leq 1 \text { or } 6 x - 7 \geq 8$
$6 x + 1 < - 3 \text { or } 9 x - 20 > - 5$
$8 x - 7 < 1 \text { or } 4 x + 11 > 3$
$10 x - 21 < 9 \text { or } 7 x + 9 \geq 30$
$7 + 2 y < 5 \text { or } 20 - 3 y > 5$
$5 - y < 5 \text { or } 7 - 8 y \leq 23$
$15 + 2 x < - 15 \text { or } 10 - 3 x > 40$
$10 - \frac { 1 } { 3 } x \leq 5 \text { or } 5 - \frac { 1 } { 2 } x \leq 15$
$9 - 2 x \leq 15 \text { and } 5 x - 3 \leq 7$
$5 - 4 x > 1 \text { and } 15 + 2 x \geq 5$
$7 y - 18 < 17 \text { and } 2 y - 15 < 25$
$13 y + 20 \geq 7 \text { and } 8 + 15 y > 8$
$5 - 4 x \leq 9 \text { and } 3 x + 13 \leq 1$
$17 - 5 x \geq 7 \text { and } 4 x - 7 > 1$
$9 y + 20 \leq 2 \text { and } 7 y + 15 \geq 1$
$21 - 6 y \leq 3 \text { and } - 7 + 2 y \leq - 1$
$- 21 < 6 ( x - 3 ) < - 9$
$0 \leq 2 ( 2 x + 5 ) < 8$
$- 15 \leq 5 + 4 ( 2 y - 3 ) < 17$
$5 < 8 - 3 ( 3 - 2 y ) \leq 29$
$5 < 5 - 3 ( 4 + t ) < 17$
$- 3 \leq 3 - 2 ( 5 + 2 t ) \leq 21$
$- 40 < 2 ( x + 5 ) - ( 5 - x ) \leq - 10$
$- 60 \leq 5 ( x - 4 ) - 2 ( x + 5 ) \leq 15$
$- \frac { 1 } { 2 } < \frac { 1 } { 30 } ( x - 10 ) < \frac { 1 } { 3 }$
$- \frac { 1 } { 5 } \leq \frac { 1 } { 15 } ( x - 7 ) \leq \frac { 1 } { 3 }$
$- 1 \leq \frac { a + 2 ( a - 2 ) } { 5 } \leq 0$
$0 < \frac { 5 + 2 ( a - 1 ) } { 6 } < 2$

Responder

1. $(- 1,4 )$;

3. $[0,4]$;

5. $(−5,5]$;

7. $(−4,3]$;

9. $[−4,1]$;

11. $(−∞,−1)∪(3,∞)$;

13. $(−∞,12]∪[52,∞)$;

15. $ℝ$;

17. $(−∞,5)$;

19. $(−∞,−10)$;

21. $[−3,2]$;

23. $(−∞,5)$;

25. $Ø$;

27. $−2$;

29. $(−12,32)$;

31. $[−1,3)$;

33. $(−8,−4)$;

35. $(−15,−5]$;

37. $(−5,20)$;

39. $[−13, 43]$;

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Encuentra todos los números que satisfagan la condición dada.

Tres menos del doble de la suma de un número y$6$ es como mucho$13$.
Cinco$3$ veces menos que la suma de un número y$4$ es como mucho$10$.
Cinco veces la suma de un número y$3$ es por lo menos$5$.
Tres veces la diferencia entre un número y$2$ es al menos$12$.
La suma de$3$ veces un número y$8$ es entre$2$ y$20$.
Ocho menos de dos veces un número está entre$−20$ y$−8$.
Cuatro restado de tres veces algún número es entre$−4$ y$14$.
Nueve restado de$5$ veces algún número está entre$1$ y$11$.

Responder

1. $( - \infty , 2 ]$

3. $[ - 2 , \infty )$

5. $( - 2,4 )$

7. $( 0,6 )$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Establecer una desigualdad algebraica y luego resolver.

Con una membresía de club de golf, que cuesta$$120$ por mes, cada ronda de golf cuesta solo$$35.00$. ¿Cuántas rondas de golf puede jugar un miembro si desea mantener sus costos$$270$ mensuales como máximo?
Un camión de alquiler cuesta$$95$ por día más$$0.65$ por milla conducida. ¿Cuántas millas se pueden conducir en un alquiler de un día para mantener el costo como máximo$$120$?
Mark ganó$6, 7$, y$10$ señala$10$ en los tres primeros cuestionarios. ¿Qué debe puntuar en el cuarto cuestionario para promediar al menos$8$?
Joe obtuvo puntajes de$78, 82, 88$ y$70$ en sus primeros cuatro exámenes de álgebra. ¿Qué debe puntuar en el quinto examen para promediar al menos$80$?
Una gimnasta anotó$13.2, 13.0, 14.3, 13.8$, y$14.6$ en los primeros cinco eventos. ¿Qué debe anotar en el sexto evento para promediar al menos$14.0$?
Un bailarín anotó$7.5$ y$8.2$ de los dos primeros jueces. ¿Cuál debe entrar su puntaje del tercer juez como si fuera a promediar$8.4$ o superior?
Si dos veces un ángulo es entre$180$ grados y$270$ grados, entonces ¿cuáles son los límites del ángulo original?
El perímetro de un cuadrado debe estar entre$120$ pulgadas y$460$ pulgadas. Encuentra la longitud de todos los lados posibles que satisfagan esta condición.
Una computadora está configurada para apagarse si la temperatura excede de$45$° C. Dar una declaración equivalente usando grados Fahrenheit. Pista:$C = \frac{5}{9} (F − 32)$.
Un cierto anticongelante es efectivo para un rango de temperatura de$−35$ °C a$120$ °C. Encuentra el rango equivalente en grados Fahrenheit.

Responder

1. Los miembros pueden jugar$4$ rondas o menos.

3. Mark debe ganar al menos$9$ puntos en el cuarto cuestionario.

5. Debe anotar una$15.1$ en el sexto evento.

7. El ángulo es entre$90$ grados y$135$ grados.

9. La computadora se apagará cuando la temperatura supere los$113$ °F.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Muchas veces los estudiantes revierten la desigualdad a la hora de$5x + 2 < −18$ resolver ¿Por qué crees que esto es un error común? Explique a un estudiante principiante de álgebra por qué no lo hacemos.
Realizar una búsqueda en la web para “resolver desigualdades lineales”. Comparte un enlace al sitio web o video tutorial que creas que es útil.
Escribe tus propias conclusiones$5$ clave para todo este capítulo. ¿Qué encontraste para ser revisión y qué te pareció nuevo? Comparte tus pensamientos en el panel de discusión.

Responder

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹³⁸ Expresiones lineales relacionadas con los símbolos$≤, <, ≥,$ y$>$.

¹³⁹ Un número real que produce una declaración verdadera cuando su valor es sustituido por la variable.

¹⁴⁰ Propiedades utilizadas para obtener desigualdades equivalentes y utilizadas como medio para resolverlas.

¹⁴¹ Desigualdades que comparten el mismo conjunto de soluciones.

¹⁴² Dos o más desigualdades en una declaración unidas por la palabra “y” o por la palabra “o”.

Frases Clave	Traducción
Un número es al menos\(5\).	\(x\geq 5\)
Un número es\(5\) o más inclusivo.	\(x\geq 5\)
Un número es como mucho\(3\).	\(x\leq 3\)
Un número es\(3\) o menos inclusivo.	\(x\leq 3\)
Un número es estrictamente menor que\(4\).	\(x<4\)
Un número es menor que\(4\), no inclusivo.	\(x<4\)
Un número es mayor que\(7\).	\(x>7\)
Un número es más que\(7\), no inclusivo.	\(x>7\)
Un número está en el medio\(2\) y\(10\).	\(2<x<10\)
Un número es al menos\(5\) y como máximo\(15\).	\(5\leq x\leq 15\)
Un número puede variar de\(5\) a\(15\).	\(5\leq x\leq 15\)

Suma propiedad de las desigualdades:	Si\(A<B\) entonces,\(A \color{Cerulean}{+c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{+c}\)
Propiedad de sustracción de las desigualdades:	Si\(A<B\) entonces,\(A \color{Cerulean}{-c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{-c}\)
Propiedad de multiplicación de las desigualdades:	Si\(A<B\), entonces\(\color{Cerulean}{c}\color{Black}{A}\:<\:\color{Cerulean}{c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}\) Si\(A<B\), entonces\(\color{Cerulean}{-c}\color{Black}{A}\:\color{OliveGreen}{>}\:\color{Cerulean}{-c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}\)
Propiedad de división de las desigualdades:	Si\(A<B\), entonces\(\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}\color{Black}{<}\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}\) Si\(A<B\), entonces\(\frac{A}{\color{Cerulean}{-c}}\color{OliveGreen}{>}\frac{\color{Black}{B}}{\color{Cerulean}{-c}}\)