3.6: Determinantes y regla de Cramer

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Objetivos de aprendizaje

Calcular el determinante de una\(2\times 2\) matriz.
Usa la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
Calcular el determinante de una\(3\times 3\) matriz.
Usa la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.

Sistemas Lineales de Dos Variables y Regla de Cramer

Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números que consiste en filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas\(n\) y el número de columnas\(m\). Por ejemplo, una\(3\times 4\) matriz, que se lee “matriz 3 por 4”, es aquella que consiste en\(3\) filas y\(4\) columnas. Una matriz cuadrada ²⁹ es una matriz donde el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección describimos otro método para resolver sistemas lineales utilizando propiedades especiales de matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz\(2\times 2\) de coeficientes\(A\),

\(A = \left[ \begin{array} { c c} { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2 } } \end{array} \right]\)

El determinante ³⁰ de una\(2\times 2\) matriz, denotado con líneas verticales\(|A|\), o más compactamente como det (A), se define de la siguiente manera:

El determinante es un número real que se obtiene restando los productos de los valores en la diagonal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Calcular:\(\left| \begin{array} { l } { 3 - 5 } \\ { 2 - 2 } \end{array} \right|\)

Solución

La línea vertical a cada lado de la matriz indica que necesitamos calcular el determinante

\(\begin{aligned} \left| \begin{array} { c c } { 3} &{ - 5 } \\ { 2} &{ - 2 } \end{array} \right| & = 3 ( - 2 ) - 2 ( - 5 ) \\ & = - 6 + 10 \\ & = 4 \end{aligned}\)

Respuesta:

\(4\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Calcular:\(\left| \begin{array} { c c } { - 6} &{4 } \\ { 0 } & {3}\end{array} \right]\)

Solución

Observe que la matriz se da en forma triangular superior.

\(\begin{aligned} \left| \begin{array} { c c } { - 6} &{4 } \\ { 0} &{3 } \end{array} \right| & = - 6 ( 3 ) - 4 ( 0 ) \\ & = - 18 - 0 \\ & = - 18 \end{aligned}\)

Respuesta:

\(-18\)

Podemos resolver sistemas lineales con dos variables utilizando determinantes. Comenzamos con un sistema\(2\times 2\) lineal general y resolvemos para\(y\). Para eliminar la variable\(x\), multiplique la primera ecuación por\(−a_{2}\) y la segunda ecuación por\(a_{1}\).

\(\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 } } & { \stackrel { \times \left( - a _ { 2 } \right) } { \Longrightarrow } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = c _ { 2 } } & { \underset { \times a _ { 1 } } { \Longrightarrow }} \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { c } { - a _ { 1 } a _ { 2 } x - a _ { 2 } b _ { 1 } y = - a _ { 2 } c _ { 1 } } \\ { a _ { 1 } a _ { 2 } x + a _ { 1 } b _ { 2 } y = a _ { 1 } c _ { 2 } } \end{array} \right.\)

Esto da como resultado un sistema lineal equivalente donde la variable\(x\) se alinea para eliminar. Ahora sumando las ecuaciones que tenemos

Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho a un determinante de una\(2\times 2\) matriz. De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada reemplazando la columna que representa los coeficientes\(y\) de por la columna correspondiente de constantes. Esta matriz especial se denota\(D_{y}\).

\(y = \frac{D_{y}}{D} =\frac{\left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} &{\color{Cerulean}{ c _ { 1} } } \\ {\color{black}{ a _ { 2 }}} &{ \color{Cerulean}{c _ { 2} } } \end{array} \right|}{\left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 } } \end{array} \right|}= \frac { a _ { 1 } c _ { 2 } - a _ { 2 } c _ { 1 } } { a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } } \)

El valor para se\(x\) puede derivar de manera similar.

\(x = \frac{D_{x}}{D} =\frac{\left| \begin{array} { c c } { \color{Cerulean}{c _ { 1} }} &{ \color{black}{b _ { 1}} } \\ {\color{Cerulean}{ c _ { 2 }}} &{ \color{black}{b _ { 2} } } \end{array} \right|}{\left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 } } \end{array} \right|}= \frac { c _ { 1 } b _ { 2 } - c _ { 2 } b _ { 1 } } { a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } } \)

En general, podemos formar la matriz aumentada de la siguiente manera:

\(\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = c _ { 2 } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c | c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }} &{\color{Cerulean}{c _ { 1}} } \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2 }} &{ \color{Cerulean}{c _ { 2} } } \end{array} \right]\)

y luego determinar\(D, D_{x}\) y\(D_{y}\) calculando los siguientes determinantes.

\(D = \left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }}&{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 } } \end{array} \right| \quad D _ { x } = \left| \begin{array} { c c} { \color{Cerulean}{c _ { 1 }}}&{ \color{black}{b _ { 1} } } \\ { \color{Cerulean}{c _ { 2} }}&{ \color{black}{b _ { 2} } } \end{array} \right| \quad D _ { y } = \left| \begin{array} { c c} { a _ { 1 }}&{\color{Cerulean}{ c _ { 1} } } \\ { a _ { 2 }}&{\color{Cerulean}{ c _ { 2} } } \end{array} \right|\)

La solución a un sistema en términos de determinantes descritos anteriormente, cuando D ≠ 0, se denomina regla ³¹ de Cramer.

\(\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Cramer's\: Rule } } \\ { ( x , y ) = \left( \frac { D _ { x } } { D } , \frac { D _ { y } } { D } \right) } \end{array}\)

Este teorema se nombra en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Los pasos para resolver un sistema lineal con dos variables usando determinantes (regla de Cramer) se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 7 } \end{array} \right.\).

Solución

Asegúrese de que el sistema lineal esté en forma estándar antes de comenzar este proceso.

Paso 1: Construir la matriz aumentada y formar las matrices utilizadas en la regla de Cramer.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { 2 x + y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 7 } \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} { c c |c } { 2 } & { 1 } & { \color{Cerulean}{7} } \\ { 3 } & { - 2 } & { \color{Cerulean}{- 7} } \end{array} \right]\)

En la matriz cuadrada utilizada para determinar\(D_{x}\), sustituir la primera columna de la matriz de coeficientes por las constantes. En la matriz cuadrada utilizada para determinar\(D_{y}\), sustituir la segunda columna con las constantes.

\(D = \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \\ { 3 } & { - 2 } \end{array} \right| \quad D _ { x } = \left| \begin{array} { c c} { \color{Cerulean}{7} } & { \color{black}{1} } \\ { \color{Cerulean}{- 7} } & { \color{black}{- 2} } \end{array} \right| \quad D _ { y } = \left| \begin{array} { c c } { 2 } & {\color{Cerulean}{ 7} } \\ { 3 } & { \color{Cerulean}{- 7} } \end{array} \right|\)

Paso 2: Calcular los determinantes.

\(D _ { x } = \left| \begin{array} { r r } { 7 } & { 1 } \\ { - 7 } & { - 2 } \end{array} \right| = 7 ( - 2 ) - ( - 7 ) ( 1 ) = - 14 + 7 = - 7\)

\(D _ { y } = \left| \begin{array} { r r } { 2 } & { 7 } \\ { 3 } & { - 7 } \end{array} \right| = 2 ( - 7 ) - 3 ( 7 ) = - 14 - 21 = - 35\)

\(D = \left| \begin{array} { r r } { 2 } & { 1 } \\ { 3 } & { - 2 } \end{array} \right| = 2 ( - 2 ) - 3 ( 1 ) = - 4 - 3 = - 7\)

Paso 3: Usa la regla de Cramer para calcular\(x\) y\(y\).

\(x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { - 7 } { - 7 } = 1 \quad \text { and } \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { - 35 } { - 7 } = 5\)

Por lo tanto, la solución simultánea\((x, y) = (1,5)\).

Paso 4:: El cheque es opcional; sin embargo, lo hacemos aquí en aras de la integridad.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
\(\color{Cerulean}{Check\:\:}\color{YellowOrange}{(1,5)}\)
Ecuación 1	Ecuación 2
\(\begin{array} { r } { 2 x + y = 7 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} + ( \color{Cerulean}{5} \color{black}{)} = 7 } \\ { 2 + 5 = 7 } \\ { 7 = 7 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)	\(\begin{array} { r } { 3 x - 2 y = - 7 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} - 2 ( \color{Cerulean}{5}\color{black}{ )} = - 7 } \\ { 3 - 10 = - 7 } \\ { - 7 = - 7 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Respuesta:

\((1,5)\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - y = - 2 } \\ { 6 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.\).

Solución

A continuación se presenta la matriz de coeficientes aumentados correspondiente.

\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - y = - 2 } \\ { 6 x + 4 y = 2 } \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} { c c |c } { 3 } & { - 1 } & { \color{Cerulean}{- 2} } \\ { 6 } & { 4 } & { \color{Cerulean}{2} } \end{array} \right]\)

Y tenemos,

\(D _ { x } = \left| \begin{array} { r r } { \color{Cerulean}{- 2} } & { \color{black}{- 1} } \\ { \color{Cerulean}{2} } & {\color{black}{ 4} } \end{array} \right| = - 8 - ( - 2 ) = - 8 + 2 = - 6\)

\(D _ { y } = \left| \begin{array} { r r } { 3 } & { \color{Cerulean}{- 2} } \\ { 6 } & { \color{Cerulean}{2} } \end{array} \right| = 6 - ( - 12 ) = 6 + 12 = 18\)

\(D = \left| \begin{array} { r r } { 3 } & { - 1 } \\ { 6 } & { 4 } \end{array} \right| = 12 - ( - 6 ) = 12 + 6 = 18\)

Usa la regla de Cramer para encontrar la solución.

\(x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { - 6 } { 18 } = - \frac { 1 } { 3 } \quad \text { and } \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { 18 } { 18 } = 1\)

Respuesta:

\((-\frac{1}{3}, 1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - 3 y = - 7 } \\ { - 7 x + 6 y = 11 } \end{array} \right.\).

Responder

\((-1, \frac{2}{3})\)

www.youtube.com/V/TR3J8oCQzzy

Cuando el determinante de la matriz de coeficientes\(D\) es cero, las fórmulas de la regla de Cramer no están definidas. En este caso, el sistema es dependiente o inconsistente dependiendo de los valores de\(D_{x}\) y\(D_{y}\). Cuándo\(D = 0\) y ambos\(D_{x} = 0\) y\(D_{y} = 0\) el sistema es dependiente. Cuando\(D = 0\) y cualquiera\(D_{x}\) o\(D_{y}\) es distinto de cero entonces el sistema es inconsistente.

\(\begin{array} { l } { \text { When } D = 0 } \\ { D _ { x } = 0 \text { and } D _ { y } = 0 \Rightarrow } \:\:\color{Cerulean}{Dependent\:System} \\ { D _ { x } \neq 0 \text { or } D _ { y } \neq 0 \:\:\:\Rightarrow } \:\:\color{Cerulean}{Inconsistent\:System}\end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { 5 } y = 3 } \\ { 5 x + y = 15 } \end{array} \right.\).

Solución

A continuación se presenta la matriz aumentada correspondiente.

\(\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { 5 } y = 3 } \\ { 5 x + y = 15 } \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} { c c |c } { 1} &{ \frac { 1 } { 5 }}&{ \color{Cerulean}{3} } \\ { 5}&{1} &{ \color{Cerulean}{15} } \end{array} \right]\)

Y tenemos lo siguiente.

\(D _ { x } = \left| \begin{array} { c c } {\color{Cerulean}{ 3}} &{\color{black}{ \frac { 1 } { 5} } } \\ { \color{Cerulean}{15} } & {\color{black}{ 1} } \end{array} \right| = 3 - 3 = 0\)

\(D _ { y } = \left| \begin{array} { l } { 1 } & { \color{Cerulean}{3} } \\ { 5 } & {\color{Cerulean}{ 15} } \end{array} \right| = 15 - 15 = 0\)

\(D = \left| \begin{array} { c c } { 1 } & { \frac { 1 } { 5 } } \\ { 5 } & { 1 } \end{array} \right| = 1 - 1 = 0\)

Si tratamos de usar la regla de Cramer que tenemos,

\(x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { 0 } { 0 } \quad \text { and } \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { 0 } { 0 }\)

ambos de los cuales son cantidades indeterminadas. Porque\(D = 0\) y ambos\(D_{x} = 0\) y\(D_{y} = 0\) sabemos que este es un sistema dependiente. De hecho, podemos ver que ambas ecuaciones representan la misma línea si resolvemos para\(y\).

\(\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { 5 } y = 3 } \\ { 5 x + y = 15 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 15 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.\)

Por lo tanto podemos representar todas las soluciones\((x, −5x + 15)\) donde\(x\) es un número real.

Respuesta:

\(( x , - 5 x + 15 )\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 12 } \end{array} \right.\).

Responder

\(\varnothing\)

www.youtube.com/v/d2ldcj321nc

Sistemas Lineales de Tres Variables y Regla de Cramer

Consideremos la siguiente matriz\(3\times 3\) de coeficientes\(A\),

\(A = \left[ \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }}&{ c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 }}&{ c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3 }}&{ c _ { 3 } } \end{array} \right]\)

El determinante de esta matriz se define de la siguiente manera:

\(\operatorname { det } ( A ) = \left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right| \\ = a _ { 1 } \left| \begin{array} { c c } { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right| - b _ { 1 } \left| \begin{array} { c c } { a _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right| + c _ { 1 } \left| \begin{array} { l l } { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| \\= a _ { 1 } \left( b _ { 2 } c _ { 3 } - b _ { 3 } c _ { 2 } \right) - b _ { 1 } \left( a _ { 2 } c _ { 3 } - a _ { 3 } c _ { 2 } \right) + c _ { 1 } \left( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } \right)\)

Aquí a cada\(2\times 2\) determinante se le llama el menor ³² del factor precedente. Observe que los factores son los elementos en la primera fila de la matriz y que alternan en signo\((+ − +)\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Calcular:\(\left| \begin{array} { r r r } { 1 } & { 3 } & { 2 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 5 } & { - 1 } \end{array} \right|\)

Solución

Para determinar fácilmente el menor de cada factor en la primera fila alineamos la primera fila y la columna correspondiente. El determinante de la matriz de elementos que quedan determina el menor correspondiente.

Tenga cuidado de alternar el signo de los factores en la primera fila. La expansión por menores sobre la primera fila sigue:

\(\left| \begin{array} { r r r }\color{Cerulean}{ { 1 }} & \color{Cerulean}{ { 3 }} & \color{Cerulean}2 \\ {\color{black}{ 2} } & { - 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 5 } & { - 1 } \end{array} \right| = \color{Cerulean}{1}\color{black}{ \left| \begin{array} { r r } { - 1 } & { 3 } \\ { 5 } & { - 1 } \end{array} \right|} -\color{Cerulean}{ 3}\color{black}{ \left| \begin{array} { r r } { 2 } & { 3 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right|} + \color{Cerulean}{2}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 5 } \end{array} \right|} \\ \begin{array} { l } { = 1 ( 1 - 15 ) - 3 ( - 2 - 0 ) + 2 ( 10 - 0 ) } \\ { = 1 ( - 14 ) - 3 ( - 2 ) + 2 ( 10 ) } \\ { = - 14 + 6 + 20 } \\ { = 12 } \end{array}\)

Respuesta:

\(12\)

La expansión por menores se puede realizar sobre cualquier fila o cualquier columna. El signo de los coeficientes, determinado por la fila o columna elegida, alternará de acuerdo con la siguiente matriz de signos.

\(\left[ \begin{array} { c } { + - + } \\ { - + - } \\ { + - + } \end{array} \right]\)

Por lo tanto, para expandirnos alrededor de la segunda fila alternaremos los signos comenzando por lo contrario del primer elemento. Podemos ampliar el ejemplo anterior sobre la segunda fila para mostrar que se obtiene la misma respuesta para el determinante.

Y podemos escribir,

\(\left| \begin{array} { c c c } { 1 } & { 3 } & { 2 } \\ { \color{Cerulean}{2} } & {\color{Cerulean}{ - 1} } & { \color{Cerulean}{3} } \\ { \color{black}{0} } & { 5 } & { - 1 } \end{array} \right| = - ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 3 } & { 2 } \\ { 5 } & { - 1 } \end{array} \right| + ( \color{Cerulean}{- 1}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right| - ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c } { 13 } \\ { 05 } \end{array} \right|\\ \begin{array} { l } { = - 2 ( - 3 - 10 ) - 1 ( - 1 - 0 ) - 3 ( 5 - 0 ) } \\ { = - 2 ( - 13 ) - 1 ( - 1 ) - 3 ( 5 ) } \\ { = 26 + 1 - 15 } \\ { = 12 } \end{array}\)

Tenga en cuenta que obtenemos la misma respuesta\(12\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Calcular:\(\left| \begin{array} { c c c } { 4 } & { 3} &{0 } \\ { 6 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { 2 } \\ { 4 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right|\)

Solución

Los cálculos se simplifican si expandimos alrededor de la tercera columna porque contiene dos ceros.

La ampliación por menores sobre la tercera columna sigue:

\(\left| \begin{array} { c c c } { 4 } & { 3} &{\color{Cerulean}{0} } \\ { 6 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \color{Cerulean}{2} } \\ { 4 } & { 1} &{\color{Cerulean}{0} } \end{array} \right| = \color{Cerulean}{0}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 6} &{ \frac { 1 } { 2 } } \\ { 4 } & { 1 } \end{array} \right|} - \color{Cerulean}{2}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 4} &{3 } \\ { 4} &{1 } \end{array} \right|} + \color{Cerulean}{0}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 4} &{3 } \\ { 6} &{ \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right|} \\ \begin{array} { l } { = 0 - 2 ( 4 - 12 ) + 0 } \\ { = - 2 ( - 8 ) } \\ { = 16 } \end{array}\)

Respuesta:

\(16\)

Cabe señalar que existen otras técnicas utilizadas para recordar cómo calcular el determinante de una\(3\times 3\) matriz. Además, muchas calculadoras modernas y sistemas de álgebra computacional pueden encontrar el determinante de las matrices. Se le anima a investigar este rico tema.

Podemos resolver sistemas lineales con tres variables utilizando determinantes. Para ello, comenzamos con la matriz de coeficientes aumentados,

\(\left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } z = d _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } z = d _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } x + b _ { 3 } y + c _ { 3 } z = d _ { 3 } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c c | c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }} &{ c _ { 1 }} &{\color{Cerulean}{ d _ { 1} }} \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2 }} &{ c _ { 2 }} & {\color{Cerulean}{d _ { 2} }} \\ { a _ { 3 }} &{ b _ { 3} }&{ c _ { 3} } &{\color{Cerulean}{d _ { 3}} } \end{array} \right]\)

Let\(D\) representar el determinante de la matriz de coeficientes,

\(D = \left| \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } &{c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2} }&{ c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3} }&{ c _ { 3 } } \end{array} \right|\)

Después determinar\(D_{x}, D_{y}\), y\(D_{z}\) calculando los siguientes determinantes.

\(D _ { x } = \left| \begin{array} { c c c } { \color{Cerulean}{d _ { 1 }}} &{\color{black}{ b _ { 1} }} &{ c _ { 1 } } \\ { \color{Cerulean}{d _ { 2} }} &{\color{Cerulean}{ b _ { 2} }} &{ c _ { 2 } } \\ { \color{Cerulean}{d _ { 3} }}&{\color{black}{ b _ { 3} }}&{ c _ { 3 } } \end{array} \right| D _ { y } = \left| \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ \color{Cerulean}{d _ { 1} }}&{ \color{black}{c _ { 1} } } \\ { a _ { 2 }} &{ \color{Cerulean}{d _ { 2} }} &{ \color{black}{c _ { 2} } } \\ { a _ { 3 }} &{ \color{Cerulean}{d _ { 3} }}&{ \color{black}{c _ { 3} } } \end{array} \right| D _ { z } = \left| \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }}&{ b _ { 1 }}&{\color{Cerulean}{ d _ { 1} } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 }}&{\color{Cerulean}{ d _ { 2 }} } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3 } }&{\color{Cerulean}{d _ { 3} } } \end{array} \right|\)

Cuando\(D ≠ 0\), la solución al sistema en términos de los determinantes descritos anteriormente se puede calcular usando la regla de Cramer:

\(\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Cramer's\: Rule } } \\ { ( x , y , z ) = \left( \frac { D _ { x } } { D } , \frac { D _ { y } } { D } , \frac { D _ { z } } { D } \right) } \end{array}\)

Utilízalo para resolver eficientemente sistemas con tres variables.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 7 y - 4 z = 0 } \\ { 2 x + 5 y - 3 z = 1 } \\ { - 5 x + 2 y + 4 z = 8 } \end{array} \right.\).

Solución

Comience por determinar la matriz aumentada correspondiente.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { 3 x + 7 y - 4 z = 0 } \\ { 2 x + 5 y - 3 z = 1 } \\ { - 5 x + 2 y + 4 z = 8 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c | c } { 37}&{ - 4}&{\color{Cerulean}{0} } \\ { 25}&{ - 3}&{\color{Cerulean}{1} } \\ { - 52}&{4}&{\color{Cerulean}{8} } \end{array} \right]\)

A continuación, calcular el determinante de la matriz de coeficientes.

\(D = \left| \begin{array} { r r r } { \color{Cerulean}{3} } & { \color{Cerulean}{7} } & { \color{Cerulean}{- 4} } \\ { 2 } & { 5 } & { - 3 } \\ { - 5 } & { 2 } & { 4 } \end{array} \right| \\ = \color{Cerulean}{3} \color{black}{\left| \begin{array} { r r } { 5 } & { - 3 } \\ { 2 } & { 4 } \end{array} \right|} -\color{Cerulean}{ 7} \color{black}{\left| \begin{array} { c c } { 2 } & { - 3 } \\ { - 5 } & { 4 } \end{array} \right|} + ( \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 5 } \\ { - 5 } & { 2 } \end{array} \right| \\ \begin{array} { l } { = 3 ( 20 - ( - 6 ) ) - 7 ( 8 - 15 ) - 4 ( 4 - ( - 25 ) ) } \\ { = 3 ( 26 ) - 7 ( - 7 ) - 4 ( 29 ) } \\ { = 78 + 49 - 116 } \\ { = 11 } \end{array}\)

De igual manera podemos calcular\(D_{x}, D_{y}\), y\(D_{z}\). Esto se deja como ejercicio.

\(D _ { x } = \left| \begin{array} { c c c } { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{7} } & { - 4 } \\ {\color{Cerulean}{ 1} } & { \color{black}{5} } & { - 3 } \\ {\color{Cerulean}{ 8} } & { \color{black}{2} } & { 4 } \end{array} \right| = - 44\)

\(D _ { y } = \left| \begin{array} { r r r } { 3 } & { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{- 4} } \\ { 2 } & {\color{Cerulean}{ 1} } & { \color{black}{- 3} } \\ { - 5 } & { \color{Cerulean}{8} } & { \color{black}{4} } \end{array} \right| = 0\)

\(D _ { z } = \left| \begin{array} { c c c } { 3 } & { 7 } & { \color{Cerulean}{0} } \\ { 2 } & { 5 } & { \color{Cerulean}{1} } \\ { - 5 } & { 2 } & { \color{Cerulean}{8} } \end{array} \right| = - 33\)

Usando la regla de Cramer tenemos,

\(x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { - 44 } { 11 } = - 4 \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { 0 } { 11 } = 0 \quad z = \frac { D _ { z } } { D } = \frac { - 33 } { 11 } = - 3\)

Respuesta:

\((-4, 0, -3)\)

Si el determinante de la matriz de coeficientes\(D = 0\), entonces el sistema es dependiente o inconsistente. Esto dependerá de\(D_{x} , D_{y}\), y\(D_{z}\). Si todos son cero, entonces el sistema es dependiente. Si al menos uno de estos es distinto de cero, entonces es inconsistente.

\(\begin{array} { l } { When\:\: D = 0 \text { , } } \\ { D _ { x } = 0 \text { and } D _ { y } = 0 \text { and } D _ { z } = 0 \Rightarrow \color{Cerulean} { Dependent\: System } } \\ { D _ { x } \neq 0 \text { or } D _ { y } \neq 0 \text { or } D _ { z } \neq 0 \Rightarrow \color{Cerulean} { Inconsistent \:System } } \end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y + 3 z = 5 } \\ { 21 x - 4 y + 18 z = 7 } \\ { - 9 x + y - 9 z = - 8 } \end{array} \right.\).

Solución

Comience por determinar la matriz aumentada correspondiente.

\(\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y + 3 z = 5 } \\ { 21 x - 4 y + 18 z = 7 } \\ { - 9 x + y - 9 z = - 8 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{c c c |c } {4}& {-1} &{3} &{\color{Cerulean}{5}} \\{21} &{-4} &{18}&{\color{Cerulean}{7}} \\{-9} &{1} &{-9} &{\color{Cerulean}{-8}} \end{array} \right ]\)

A continuación, determinar el determinante de la matriz de coeficientes.

\(D = \left| \begin{array} { r r r } { \color{Cerulean}{4} } & { \color{Cerulean}{- 1} } & { \color{Cerulean}{3} } \\ { 21 } & { - 4 } & { 18 } \\ { - 9 } & { 1 } & { - 9 } \end{array} \right|\)

\(= \color{Cerulean}{4}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { - 4 } & { 18 } \\ { 1 } & { - 9 } \end{array} \right|} - (\color{Cerulean}{ - 1}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 21 } & { 18 } \\ { - 9 } & { - 9 } \end{array} \right| + \color{Cerulean}{3}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 21 } & { - 4 } \\ { - 9 } & { 1 } \end{array} \right|}\)

\(\begin{array} { l } { = 4 ( 36 - 18 ) + 1 ( - 189 - ( - 162 ) ) + 3 ( 21 - 36 ) } \\ { = 4 ( 18 ) + 1 ( - 27 ) + 3 ( - 15 ) } \\ { = 72 - 27 - 45 } \\ { = 0 } \end{array}\)

Ya que\(D=0\), el sistema es dependiente o inconsistente.

\(D _ { x } = \left| \begin{array} { c c c} { \color{Cerulean}{5}}&{ \color{black}{- 1} } & { 3 } \\ { \color{Cerulean}{7}}&{ \color{black}{- 4} } & { 18 } \\ { \color{Cerulean}{- 8} } & { \color{black}{1}}&{ - 9 } \end{array} \right| = 96\)

Sin embargo, debido a que\(D_{x}\) es distinto de cero concluimos que el sistema es inconsistente. No hay solución simultánea.

Respuesta:

\(\varnothing\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resuelve usando la regla de Cramer:\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 6 y + 7 z = 4 } \\ { - 3 x - 4 y + 5 z = 12 } \\ { 5 x + 10 y - 3 z = - 13 } \end{array} \right.\).

Responder

\((-3, \frac{1}{2}, 1)\)

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Principales conclusiones

El determinante de una matriz es un número real.
El determinante de una\(2\times 2\) matriz se obtiene restando el producto de los valores en las diagonales.
El determinante de una\(3\times 3\) matriz se obtiene expandiendo la matriz usando menores alrededor de cualquier fila o columna. Al hacer esto, tenga cuidado de usar la matriz de signos para ayudar a determinar el signo de los coeficientes.
Utilice la regla de Cramer para determinar de manera eficiente soluciones a sistemas lineales.
Cuando el determinante de la matriz de coeficientes es\(0\), la regla de Cramer no se aplica; el sistema será dependiente o inconsistente.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Calcular el determinante.

\(\left| \begin{array} { c c } { 1}&{2 } \\ { 3}&{4 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c} { 5}&{3 } \\ { 2}&{4 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c } { - 1 } & { 3 } \\ { - 3 } & { - 2 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c } { 7 } & { 4 } \\ { 3 } & { - 2 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c} { - 4}&{1 } \\ { - 3}&{0 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c } { 9 } & { 5 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c } { 1}&{0 } \\ { 5}&{0 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c } { 0}&{3 } \\ { 5}&{0 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c } { 0 } & { 4 } \\ { - 1 } & { 3 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { l l } { 10 } & { 2 } \\ { 10 } & { 2 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } \\ { 0 } & { b _ { 2 } } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { l l } { 0 } & { b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } }&{b _ { 2 } } \end{array} \right|\)

Responder

1. \(-2\)

3. \(11\)

5. \(3\)

7. \(0\)

9. \(4\)

11. \(a_{1}b_{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resuelve usando la regla de Cramer.

\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 8 } \\ { 2 x - 7 y = 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = - 3 } \\ { 4 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x + 3 y = 1 } \\ { 5 x - 6 y = - 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 1 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = - 1 } \\ { 5 x + 10 y = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 14 } \\ { 4 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 5 y = - 9 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 6 x - 9 y = 3 } \\ { - 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 9 y = 3 } \\ { 2 x - 6 y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 4 x - 5 y & = 20 \\ 3 y & = - 9 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = 0 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = a } \\ { x + y = b } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} a x + y & = 0 \\ b y & = 1 \end{aligned} \right.\)

Responder

1. \((1,-1)\)

3. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)\)

5. \(\left( - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 4 } { 3 } \right)\)

7. \((0, -2)\)

9. \(\varnothing\)

11. \(\left( \frac { 5 } { 4 } , - 3 \right)\)

13. \(( a - b , 2 b - a )\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Calcular el determinante.

\(\left| \begin{array} { c c c } { 1}&{2}&{3 } \\ { 2}&{1}&{3 } \\ { 1}&{3}&{2 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c c } { 2}&{5}&{1 } \\ { 1}&{2}&{4 } \\ { 3}&{2}&{3 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { r r r } { - 3 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { - 2 } \\ { - 2 } & { 5 } & { 1 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { r r r } { 1 } & { - 1 } & { 5 } \\ { - 4 } & { 5 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 3 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { r r r } { 3 } & { - 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 3 } & { - 1 } \\ { 5 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { r r r } { 4 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 5 } & { 2 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { r r r } { 0 } & { - 3 } & { 4 } \\ { - 3 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 2 } & { - 3 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c c } { 6 } & { - 1 } & { - 3 } \\ { 2 } & { 5 } & { 2 } \\ { 8 } & { 4 } & { - 1 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { c c c } { 2}&{5}&{7 } \\ { 0}&{3}&{5 } \\ { 0}&{0}&{4 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { l l l } { 2 } & { 10 } & { 9 } \\ { 0 } & { 3 } & { 13 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 }}&{ c _ { 1 } } \\ { 0}&{ b _ { 2 }}&{ c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0}&{ c _ { 3 } } \end{array} \right|\)
\(\left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { 0 } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right|\)

Responder

1. \(6\)

3. \(-39\)

5. \(0\)

7. \(3\)

9. \(24\)

11. \(a_{1}b_{2}c_{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Resuelve usando la regla de Cramer.

\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y + 2 z = - 3 } \\ { 3 x + 2 y - z = 13 } \\ { - 4 x - 3 y + z = - 18 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 3 x + 4 y - z & = 10 \\ 4 x + 6 y + 7 z & = 9 \\ 2 x + 3 y + 5 z & = 3 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 5 x + y - z & = 0 \\ 2 x - 2 y + z & = - 9 \\ - 6 x - 5 y + 3 z & = - 13 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { - 4 x + 5 y + 2 z = 12 } \\ { 3 x - y - z = - 2 } \\ { 5 x + 3 y - 2 z = 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - y + z & = - 1 \\ - 2 x + 4 y - 3 z & = 4 \\ 3 x - 3 y - 2 z & = 2 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y - 4 z = 7 } \\ { 2 x - 3 y + 2 z = - 4 } \\ { 4 x - 5 y + 2 z = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 4 x + 3 y - 2 z = 2 } \\ { 2 x + 5 y + 8 z = - 1 } \\ { x - y - 5 z = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y + z = 7 } \\ { x + 2 y + z = 1 } \\ { x - 2 y - 2 z = 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 6 y + 2 z = 12 } \\ { - 5 x - 2 y + 3 z = 4 } \\ { 7 x + 3 y - 4 z = - 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y - 5 z = 2 } \\ { 3 x + 2 y - 4 z = - 3 } \\ { 5 x + y - 9 z = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y - 4 z = - 13 } \\ { 2 x + 6 y - 5 z = - 2 } \\ { - 2 x - 3 y + 3 z = 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 2 y + z & = - 1 \\ 4 y - 3 z & = 0 \\ 3 y - 2 z & = 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2 x + 3 y - z & = - 5 \\ x + 2 y & = 0 \\ 3 x + 10 y & = 4 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y - 2 y = 9 } \\ { - 3 x + 4 y + 4 z = - 13 } \\ { x - y - 2 z = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y - 2 z = - 1 } \\ { x - y + 3 z = 2 } \\ { 3 x + y - z = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 3 x - 8 y + 9 z & = - 2 \\ - x + 5 y - 10 z & = 3 \\ x - 3 y + 4 z & = - 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 5 x - 6 y + 3 z & = 2 \\ 3 x - 4 y + 2 z & = 0 \\ 2 x - 2 y + z & = 0 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 5 x + 10 y - 4 z = 12 } \\ { 2 x + 5 y + 4 z = 0 } \\ { x + 5 y - 8 z = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 5 x + 6 y + 7 z & = 2 \\ 2 y + 3 z & = 3 \\ 4 z & = 4 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 z = - 1 } \\ { - 5 y + 3 z = 10 } \\ { 4 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y + z = a } \\ { x + 2 y + 2 z = a + b } \\ { x + 2 y + 3 z = a + b + c } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x + y + z = a + b + c } \\ { x + 2 y + 2 z = a + 2 b + 2 c } \\ { x + y + 2 z = a + b + 2 c } \end{array} \right.\)

Responder

1. \((2, 3, -1)\)

3. \((-1, 2, -3)\)

5. \(\left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - 1 \right)\)

7. \((0, -2, 0)\)

9. \(\left( \frac { 1 } { 2 } z - 4 , \frac { 2 } { 3 } z + 1 , z \right)\)

11. \((-2, 1, 4)\)

13. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , 5 , \frac { 5 } { 2 } \right)\)

15. \(\varnothing\)

17. \((-1, 0, 1)\)

19. \(( a - b , b - c , c )\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Investigar y discutir la historia del determinante. ¿A quién se le atribuye por introducir primero la notación de un determinante?
Investigar otras formas en las que podamos calcular el determinante de una\(3 \times 3\) matriz. Dar un ejemplo

Responder: 1. La respuesta puede variar

Notas al pie

²⁹ Matriz con el mismo número de filas y columnas.

³⁰ Un número real asociado a una matriz cuadrada.

³¹ La solución a un sistema independiente de ecuaciones lineales expresadas en términos de determinantes.

³² El determinante de la matriz que resulta después de eliminar una fila y columna de una matriz cuadrada.