5.7: Los números complejos y sus operaciones

Objetivos de aprendizaje

• Definir la unidad imaginaria y los números complejos.
• Sumar y restar números complejos.
• Multiplicar y dividir números complejos.

Introducción a los números complejos

Hasta este punto la raíz cuadrada de un número negativo se ha dejado indefinida. Por ejemplo, sabemos que no\(\sqrt { - 9 }\) es un número real.

\(\sqrt { - 9 } = \color{Cerulean}{?}\color{black}{ \quad \text { or }} \quad ( \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 } = - 9\)

No hay un número real que cuando se cuadra resulte en un número negativo. Empezamos a resolver este tema definiendo la unidad imaginaria ²⁶,\(i\), como la raíz cuadrada de\(−1\).

\(i = \sqrt { - 1 } \quad \text { and } \quad i ^ { 2 } = - 1\)

Para expresar una raíz cuadrada de un número negativo en términos de la unidad imaginaria\(i\), utilizamos la siguiente propiedad donde\(a\) representa cualquier número real no negativo:

\(\sqrt { - a } = \sqrt { - 1 \cdot a } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { a } = i \sqrt { a }\)

Con esto podemos escribir.

\(\sqrt { - 9 } = \sqrt { - 1 \cdot 9 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 9 } = i \cdot 3 = 3 i\)

Si\(\sqrt { - 9 } = 3 i\), entonces esperaríamos que\(3i\) al cuadrado iguale\(−9\):

\(( 3 i ) ^ { 2 } = 9 i ^ { 2 } = 9 ( - 1 ) = - 9\:\:\color{Cerulean}{✓}\)

De esta manera, cualquier raíz cuadrada de un número real negativo puede escribirse en términos de la unidad imaginaria. A tal número se le suele llamar un número imaginario ²⁷.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Reescribir en términos de la unidad imaginaria\(i\).

1. \(\sqrt { - 7 }\)
2. \(\sqrt { - 25 }\)
3. \(\sqrt { - 72 }\)

Solución

1. \(\sqrt { - 7 } = \sqrt { - 1 \cdot 7 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 7 } = i \sqrt { 7 }\)
2. \(\sqrt { - 25 } = \sqrt { - 1 \cdot 25 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 25 } = i \cdot 5 = 5 i\)
3. \(\sqrt { - 72 } = \sqrt { - 1 \cdot 36 \cdot 2 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 36 } \cdot \sqrt { 2 } = i \cdot 6 \cdot \sqrt { 2 } = 6 i \sqrt { 2 }\)

Cuando un número imaginario involucra a un radical, nos colocamos\(i\) frente al radical. Considera lo siguiente:

\(6 i \sqrt { 2 } = 6 \sqrt { 2 } i\)

Dado que la multiplicación es conmutativa, estos números son equivalentes. Sin embargo, en la forma\(6 \sqrt { 2 } i\), la unidad imaginaria a menudo\(i\) se malinterpreta como parte del radicando. Para evitar esta confusión, es una buena práctica colocar\(i\) frente al radical y usar\(6 i \sqrt { 2 }\)

Un número complejo ²⁸ es cualquier número de la forma,

\(a + b i\)

donde\(a\) y\(b\) son números reales. Aquí, a se llama la parte real ²⁹ y\(b\) se llama la parte imaginaria ³⁰. Por ejemplo,\(3 − 4i\) es un número complejo con una parte real\(3\) y una parte imaginaria de\(−4\). Es importante señalar que cualquier número real también es un número complejo. Por ejemplo,\(5\) es un número real; se puede escribir como\(5 + 0i\) con una parte real\(5\) y una parte imaginaria de\(0\). De ahí que el conjunto de números reales, denotado\(ℝ\), sea un subconjunto del conjunto de números complejos, denotado\(ℂ\).

\(C = \{ a + b i | a , b \in ℝ\}\)

Figura\(\PageIndex{1}\)

Los números complejos se utilizan en muchos campos, incluyendo la electrónica, la ingeniería, la física y las matemáticas. En este libro de texto los usaremos para entender mejor soluciones a ecuaciones como\(x^{2} + 4 = 0\). Por esta razón, a continuación exploramos operaciones algebraicas con ellos.

Sumando y restando números complejos

Sumar o restar números complejos es similar a sumar y restar polinomios con términos similares. Sumamos o restamos las partes reales y luego las partes imaginarias.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Agregar\(( 5 - 2 i ) + ( 7 + 3 i )\).

Solución

Agrega las partes reales y luego agrega las partes imaginarias.

\(\begin{aligned} ( 5 - 2 i ) + ( 7 + 3 i ) & = 5 - 2 i + 7 + 3 i \\ & = 5 + 7 - 2 i + 3 i \\ & = 12 + i \end{aligned}\)

Responder

\(12 + i\)

Para restar números complejos, restamos las partes reales y restamos las partes imaginarias. Esto es consistente con el uso de la propiedad distributiva.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Restar\(( 10 - 7 i ) - ( 9 + 5 i )\).

Solución

Distribuye el signo negativo y luego combina términos similares.

\(\begin{aligned} ( 10 - 7 i ) - ( 9 + 5 i ) & = 10 - 7 i - 9 - 5 i \\ & = 10 - 9 - 7 i - 5 i \\ & = 1 - 12 i \end{aligned}\)

Respuesta:

\(1-12i\)

En general, dados los números reales\(a\)\(b\),\(c\), y\(d\):

\(\begin{array} { l } { ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i } \\ { ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i } \end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Simplificar\(( 5 + i ) + ( 2 - 3 i ) - ( 4 - 7 i )\).

Solución

\(\begin{aligned} ( 5 + i ) + ( 2 - 3 i ) - ( 4 - 7 i ) & = 5 + i + 2 - 3 i - 4 + 7 i \\ & = 3 + 5 i \end{aligned}\)

Respuesta:

\(3+5i\)

En resumen, sumar y restar números complejos da como resultado un número complejo.

Multiplicar y dividir números complejos

Multiplicar números complejos es similar a multiplicar polinomios. Se aplica la propiedad distributiva. Además, hacemos uso del hecho de que\(i^{2} = −1\) para simplificar el resultado en forma estándar\(a + bi\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Multiplicar\(- 6 i ( 2 - 3 i )\).

Solución

Comenzamos aplicando la propiedad distributiva.

\(\begin{aligned} - 6 i ( 2 - 3 i ) & = \color{Cerulean}{( - 6 i )}\color{black}{ \cdot} 2 - \color{Cerulean}{( - 6 i )} \cdot 3i \quad\color{Cerulean}{Distribute.}\\ & = - 12 i + 18 i ^ { 2 } \quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Substitute\:i^{2}=-1.}\\ & = - 12 i + 18 ( - 1 )\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = - 12 i - 18 \\ & = - 18 - 12 i \end{aligned}\)

Respuesta:

\(-18-12i\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Multiplicar\(( 3 - 4 i ) ( 4 + 5 i )\).

Solución

\(\begin{aligned} ( 3 - 4 i ) ( 4 + 5 i ) & = \color{Cerulean}{3 \cdot}\color{black}{ 4} + \color{Cerulean}{3 \cdot}\color{black}{ 5} i \color{Cerulean}{- 4 i \cdot}\color{black}{ 4}\color{Cerulean}{ - 4 i \cdot}\color{black}{ 5} i\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ & = 12 + 15 i - 16 i - 20 i ^ { 2 }\quad\quad\color{Cerulean}{Substitute\:i^{2}=-1.} \\ & = 12 + 15 i - 16 i - 20 ( - 1 ) \\ & = 12 - i + 20 \\ & = 32 - i \end{aligned}\)

Respuesta:

\(32-i\)

En general, dados los números reales\(a\)\(b\),\(c\), y\(d\):

\(\begin{aligned} ( a + b i ) ( c + d i ) & = a c + a d i + b c i + b d i ^ { 2 } \\ & = a c + a d i + b c i + b d ( - 1 ) \\ & = a c + ( a d + b c ) i - b d \\ & = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i \end{aligned}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Simplificar:\(( 3 - 2 i ) ^ { 2 }\).

Responder

\(5-12i\)

www.youtube.com/v/ovtqcb2z9v8

Dado un número complejo\(a + bi\), su conjugado complejo ³¹ es\(a − bi\) .A continuación exploramos el producto de conjugados complejos.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Multiplicar\(( 5 + 2 i ) ( 5 - 2 i )\).

Solución

\(\begin{aligned} ( 5 + 2 i ) ( 5 - 2 i ) & = \color{Cerulean}{5 \cdot}\color{black}{ 5} - \color{Cerulean}{5 \cdot}\color{black}{ 2} i + \color{Cerulean}{2 i \cdot}\color{black}{ 5} -\color{Cerulean}{ 2 i \cdot }\color{black}{2} i \\ & = 25 - 10 i + 10 i - 4 i ^ { 2 } \\ & = 25 - 4 ( - 1 ) \\ & = 25 + 4 \\ & = 29 \end{aligned}\)

Respuesta:

\(29\)

En general, el producto de los conjugados complejos ³² sigue:

\(\begin{aligned} ( a + b i ) ( a - b i ) & = a ^ { 2 } - a \cdot b i + b i \cdot a - b ^ { 2 } i ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - a b i + a b i - b ^ { 2 } ( - 1 ) \\ & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \end{aligned}\)

Obsérvese que el resultado no involucra a la unidad imaginaria; de ahí que sea real. Esto nos lleva a la propiedad muy útil

\(( a + b i ) ( a - b i ) = a ^ { 2 } + b ^ { 2 }\)

Para dividir números complejos, aplicamos la técnica utilizada para racionalizar el denominador. Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El resultado puede entonces simplificarse en forma estándar\(a + bi\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Dividir\(\frac { 1 } { 2 - 3 i }\).

Solución

En este ejemplo, el conjugado del denominador es\(2 + 3i\). Por lo tanto, vamos a multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { ( 2 + 3 i ) } { ( 2 + 3 i ) }\).

\(\begin{aligned} \frac { 1 } { 2 - 3 i } & = \frac { 1 } { ( 2 - 3 i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { ( 2 + 3 i ) } { ( 2 + 3 i ) }} \\ & = \frac { ( 2 + 3 i ) } { 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } \\ & = \frac { 2 + 3 i } { 4 + 9 } \\ & = \frac { 2 + 3 i } { 13 } \end{aligned}\)

Para escribir este número complejo en forma estándar, hacemos uso del hecho de que 13 es un denominador común.

\(\begin{aligned} \frac { 2 + 3 i } { 13 } & = \frac { 2 } { 13 } + \frac { 3 i } { 13 } \\ & = \frac { 2 } { 13 } + \frac { 3 } { 13 } i \end{aligned}\)

Responder

\(\frac { 2 } { 13 } + \frac { 3 } { 13 } i\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Dividir:\(\frac { 1 - 5 i } { 4 + i }\).

Solución

\(\begin{aligned} \frac { 1 - 5 i } { 4 + i } & = \frac { ( 1 - 5 i ) } { ( 4 + i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { ( 4 - i ) } { ( 4 - i ) }} \\ & = \frac { 4 - i - 20 i + 5 i ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \\ & = \frac { 4 - 21 i + 5 ( - 1 ) } { 16 + 1 } \\ & = \frac { 4 - 21 i - 5 } { 16 + 1 } \\ & = \frac { - 1 - 21 i } { 17 } \\ & = - \frac { 1 } { 17 } - \frac { 21 } { 17 } i \end{aligned}\)

Responder

\(- \frac { 1 } { 17 } - \frac { 21 } { 17 } i\)

En general, dados los números reales\(a\),\(b\),\(c\) y\(d\) dónde\(c\) y no\(d\) son ambos\(0\):

\(\begin{aligned} \frac { ( a + b i ) } { ( c + d i ) } & = \frac { ( a + b i ) } { ( c + d i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { ( c - d i ) } { ( c - d i ) }} \\ & = \frac { a c - a d i + b c i - b d i ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \\ & = \frac { ( a c + b d ) + ( b c - a d ) i } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \\ & = \left( \frac { a c + b d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \right) + \left( \frac { b c - a d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \right) i \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Dividir:\(\frac { 8 - 3 i } { 2 i }\).

Solución

Aquí podemos pensar\(2i = 0 + 2i\) y así podemos ver que su conjugado es\(−2i = 0 − 2i\).

\(\begin{aligned} \frac { 8 - 3 i } { 2 i } & = \frac { ( 8 - 3 i ) } { ( 2 i ) } \cdot \frac { ( - 2 i ) } { ( - 2 i ) } \\ & = \frac { - 16 i + 6 i ^ { 2 } } { - 4 i ^ { 2 } } \\ & = \frac { - 16 i + 6 ( - 1 ) } { - 4 ( - 1 ) } \\ & = \frac { - 16 i - 6 } { 4 } \\ & = \frac { - 6 - 16 i } { 4 }\\ & = \frac{-6}{4} - \frac{-16i}{4} \\ & = - \frac { 3 } { 2 } - 4 i \end{aligned}\)

Debido a que el denominador es un monomio, podríamos multiplicar numerador y denominador por\(1\) en forma de\(\frac{i}{i}\) y guardar algunos pasos reduciendo al final.

\(\begin{aligned} \frac { 8 - 3 i } { 2 i } & = \frac { ( 8 - 3 i ) } { ( 2 i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { i } { i } }\\ & = \frac { 8 i - 3 i ^ { 2 } } { 2 i ^ { 2 } } \\ & = \frac { 8 i - 3 ( - 1 ) } { 2 ( - 1 ) } \\ & = \frac { 8 i + 3 } { - 2 } \\ & = \frac { 8 i } { - 2 } + \frac { 3 } { - 2 } \\ & = - 4 i - \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}\)

Responder

\(- \frac { 3 } { 2 } - 4 i\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dividir\(\frac { 3 + 2 i } { 1 - i }\).

Responder

\(\frac { 1 } { 2 } + \frac { 5 } { 2 } i\)

www.youtube.com/V/4R2KOLQ-_T0

Al multiplicar y dividir números complejos debemos tener cuidado de entender que las reglas de producto y cociente para los radicales requieren que ambos\(a\) y\(b\) sean positivos. En otras palabras, si\(\sqrt [ n ] { a }\) y\(\sqrt [ n ] { b }\) son ambos números reales entonces tenemos las siguientes reglas.

\(\begin{array} { l } {Product\:rule\:for\:radicals:\:\:\: \sqrt [ n ] { a \cdot b } = \sqrt [ n ] { a } \cdot \sqrt [ n ] { b } } \\ Quotient\:rule\:for\:radicals:\:{ \sqrt [ n ] { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt [ n ] { a } } { \sqrt [ n ] { b } } } \end{array}\)

Por ejemplo, podemos demostrar que la regla del producto es verdadera cuando\(a\) y ambas\(b\) son positivas de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} \sqrt { 4 } \cdot \sqrt { 9 } & = \sqrt { 36 } \\ 2 \cdot 3 & = 6 \\ 6&=6\:\:\color{OliveGreen}{✓} \end{aligned}\)

Sin embargo, cuando\(a\) y ambos\(b\) son negativos el inmueble no es cierto.

\(\begin{aligned} \sqrt { - 4 } \cdot \sqrt { - 9 } & \stackrel{\color{Cerulean}{?}}{\color{black}{=}} \sqrt { 36 } \\ 2 i \cdot 3 i & = 6 \\ 6 i ^ { 2 } & = 6 \\ - 6 & = 6\:\:\color{red}{✗} \end{aligned}\)

Aquí\(\sqrt{−4}\) y\(\sqrt{−9}\) ambos no son números reales y la regla del producto para radicales no logra producir una declaración verdadera. Por lo tanto, para evitar algunos errores comunes asociados a este tecnicismo, asegurar que cualquier número complejo se escriba en términos de la unidad imaginaria\(i\) antes de realizar cualquier operación.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

Multiplicar\(\sqrt { - 6 } \cdot \sqrt { - 15 }\).

Solución

Comience por escribir los radicales en términos de la unidad imaginaria\(i\).

\(\sqrt { - 6 } \cdot \sqrt { - 15 } = i \sqrt { 6 } \cdot i \sqrt { 15 }\)

Ahora los radicandos son a la vez positivos y se aplica la regla del producto para los radicales.

\(\begin{aligned} \sqrt { - 6 } \cdot \sqrt { - 15 } & = i \sqrt { 6 } \cdot i \sqrt { 15 } \\ & = i \sqrt { 6 \cdot 15 } \\ & = ( - 1 ) \sqrt { 90 } \\ & = ( - 1 ) \sqrt { 9 \cdot 10 } \\ & = ( - 1 ) \cdot 3 \cdot \sqrt { 10 } \\ & = - 3 \sqrt { 10 } \end{aligned}\)

Responder

\(-3\sqrt{10}\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

Multiplicar:\(\sqrt { - 10 } ( \sqrt { - 6 } - \sqrt { 10 } )\).

Solución

Comience por escribir los radicales en términos de la unidad imaginaria i y luego distribuya.

\(\begin{aligned} \sqrt { - 10 } ( \sqrt { - 6 } - \sqrt { 10 } ) & = i \sqrt { 10 } ( i \sqrt { 6 } - \sqrt { 10 } ) \\ & = i ^ { 2 } \sqrt { 60 } - i \sqrt { 100 } \\ & = ( - 1 ) \sqrt { 4 \cdot 15 } - i \sqrt { 100 } \\ & = ( - 1 ) \cdot 2 \cdot \sqrt { 15 } - i \cdot 10 \\ & = - 2 \sqrt { 15 } - 10 i \end{aligned}\)

Respuesta:

\(- 2 \sqrt { 15 } - 10 i\)

En resumen, multiplicar y dividir números complejos da como resultado un número complejo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:\(( 2 i \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - ( 3 - i \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }\).

Responder

\(- 12 + 6 i \sqrt { 5 }\)

www.youtube.com/V/Tonii5oQTTG

Claves para llevar

• La unidad imaginaria\(i\) se define como la raíz cuadrada de la negativa. En otras palabras,\(i = \sqrt { - 1 }\) y\(i^{2} = −1\).
• Los números complejos tienen la forma\(a + bi\) donde\(a\) y\(b\) son números reales.
• El conjunto de números reales es un subconjunto de los números complejos.
• El resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos es un número complejo.
• El producto de conjugados complejos,\(a + bi\) y\(a − bi\), es un número real. Usa este hecho para dividir números complejos. Multiplique el numerador y denominador de una fracción por el complejo conjugado del denominador y luego simplifique.
• Asegúrese de que cualquier número complejo se escriba en términos de la unidad imaginaria\(i\) antes de realizar cualquier operación.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Reescribir en términos de unidad imaginaria\(i\).

1. \(\sqrt { - 81 }\)
2. \(\sqrt { - 64 }\)
3. \(-\sqrt { - 4 }\)
4. \(- \sqrt { - 36 }\)
5. \(\sqrt { - 20 }\)
6. \(\sqrt { - 18 }\)
7. \(\sqrt { - 50 }\)
8. \(\sqrt { - 48 }\)
9. \(- \sqrt { - 45 }\)
10. \(- \sqrt { - 8 }\)
11. \(\sqrt { - \frac { 1 } { 16 } }\)
12. \(\sqrt { - \frac { 2 } { 9 } }\)
13. \(\sqrt { - 0.25 }\)
14. \(\sqrt { - 1.44 }\)

Responder

1. \(9i\)

3. \(-2i\)

5. \(2 i \sqrt { 5 }\)

7. \(5 i \sqrt { 2 }\)

9. \(- 3 i \sqrt { 5 }\)

11. \(\frac { i } { 4 }\)

13. \(0.5i\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Escriba el número complejo en forma estándar\(a+bi\).

1. \(5 - 2 \sqrt { - 4 }\)
2. \(3 - 5 \sqrt { - 9 }\)
3. \(- 2 + 3 \sqrt { - 8 }\)
4. \(4 - 2 \sqrt { - 18 }\)
5. \(\frac { 3 - \sqrt { - 24 } } { 6 }\)
6. \(\frac { 2 + \sqrt { - 75 } } { 10 }\)
7. \(\frac { \sqrt { - 63 } - \sqrt { 5 } } { - 12 }\)
8. \(\frac { - \sqrt { - 72 } + \sqrt { 8 } } { - 24 }\)

Responder

1. \(5-4i\)

3. \(- 2 + 6 i \sqrt { 2 }\)

5. \(\frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } i\)

7. \(\frac { \sqrt { 5 } } { 12 } - \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } i\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dado que\(i^{12}=-1\) computar los siguientes poderes de\(i\).

1. \(i^{3}\)
2. \(i^{4}\)
3. \(i^{5}\)
4. \(i^{6}\)
5. \(i^{15}\)
6. \(i^{24}\)

Responder

1. \(-i\)

3. \(i\)

5. \(-i\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Realizar las operaciones.

1. \(( 3 + 5 i ) + ( 7 - 4 i )\)
2. \(( 6 - 7 i ) + ( - 5 - 2 i )\)
3. \(( - 8 - 3 i ) + ( 5 + 2 i )\)
4. \(( - 10 + 15 i ) + ( 15 - 20 i )\)
5. \(\left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 4 } i \right) + \left( \frac { 1 } { 6 } - \frac { 1 } { 8 } i \right)\)
6. \(\left( \frac { 2 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } i \right) + \left( \frac { 1 } { 10 } - \frac { 3 } { 2 } i \right)\)
7. \(( 5 + 2 i ) - ( 8 - 3 i )\)
8. \(( 7 - i ) - ( - 6 - 9 i )\)
9. \(( - 9 - 5 i ) - ( 8 + 12 i )\)
10. \(( - 11 + 2 i ) - ( 13 - 7 i )\)
11. \(\left( \frac { 1 } { 14 } + \frac { 3 } { 2 } i \right) - \left( \frac { 4 } { 7 } - \frac { 3 } { 4 } i \right)\)
12. \(\left( \frac { 3 } { 8 } - \frac { 1 } { 3 } i \right) - \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } i \right)\)
13. \(( 2 - i ) + ( 3 + 4 i ) - ( 6 - 5 i )\)
14. \(( 7 + 2 i ) - ( 6 - i ) - ( 3 - 4 i )\)
15. \(\left( \frac { 1 } { 3 } - i \right) - \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } i \right) - \left( \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } i \right)\)
16. \(\left( 1 - \frac { 3 } { 4 } i \right) + \left( \frac { 5 } { 2 } + i \right) - \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 5 } { 8 } i \right)\)
17. \(( 5 - 3 i ) - ( 2 + 7 i ) - ( 1 - 10 i )\)
18. \(( 6 - 11 i ) + ( 2 + 3 i ) - ( 8 - 4 i )\)
19. \(\sqrt { - 16 } - ( 3 - \sqrt { - 1 } )\)
20. \(\sqrt { - 100 } + ( \sqrt { - 9 } + 7 )\)
21. \(( 1 + \sqrt { - 1 } ) - ( 1 - \sqrt { - 1 } )\)
22. \(( 3 - \sqrt { - 81 } ) - ( 5 - 3 \sqrt { - 9 } )\)
23. \(( 5 - 2 \sqrt { - 25 } ) - ( - 3 + 4 \sqrt { - 1 } )\)
24. \(( - 12 - \sqrt { - 1 } ) - ( 3 - \sqrt { - 49 } )\)

Responder

1. \(10+i\)

3. \(-3-i\)

5. \(\frac { 2 } { 3 } + \frac { 5 } { 8 } i\)

7. \(-3+5i\)

9. \(-17-17i\)

11. \(- \frac { 1 } { 2 } + \frac { 9 } { 4 } i\)

13. \(-1+8i\)

15. \(- \frac { 5 } { 6 } - \frac { 2 } { 3 } i\)

17. \(2\)

19. \(-3+5i\)

21. \(2i\)

23. \(8-14i\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Realizar las operaciones.

1. \(i ( 1 - i )\)
2. \(i ( 1 + i )\)
3. \(2 i ( 7 - 4 i )\)
4. \(6 i ( 1 - 2 i )\)
5. \(- 2 i ( 3 - 4 i )\)
6. \(- 5 i ( 2 - i )\)
7. \(( 2 + i ) ( 2 - 3 i )\)
8. \(( 3 - 5 i ) ( 1 - 2 i )\)
9. \(( 1 - i ) ( 8 - 9 i )\)
10. \(( 1 + 5 i ) ( 5 + 2 i )\)
11. \(( 4 + 3 i ) ^ { 2 }\)
12. \(( - 1 + 2 i ) ^ { 2 }\)
13. \(( 2 - 5 i ) ^ { 2 }\)
14. \(( 5 - i ) ^ { 2 }\)
15. \(( 1 + i ) ( 1 - i )\)
16. \(( 2 - i ) ( 2 + i )\)
17. \(( 4 - 2 i ) ( 4 + 2 i )\)
18. \(( 6 + 5 i ) ( 6 - 5 i )\)
19. \(\left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 3 } i \right) \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 2 } i \right)\)
20. \(\left( \frac { 2 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } i \right) \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } i \right)\)
21. \(( 2 - i ) ^ { 3 }\)
22. \(( 1 - 3 i ) ^ { 3 }\)
23. \(\sqrt { - 2 } ( \sqrt { - 2 } - \sqrt { 6 } )\)
24. \(\sqrt { - 1 } ( \sqrt { - 1 } + \sqrt { 8 } )\)
25. \(\sqrt { - 6 } ( \sqrt { 10 } - \sqrt { - 6 } )\)
26. \(\sqrt { - 15 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { - 10 } )\)
27. \(( 2 - 3 \sqrt { - 2 } ) ( 2 + 3 \sqrt { - 2 } )\)
28. \(( 1 + \sqrt { - 5 } ) ( 1 - \sqrt { - 5 } )\)
29. \(( 1 - 3 \sqrt { - 4 } ) ( 2 + \sqrt { - 9 } )\)
30. \(( 2 - 3 \sqrt { - 1 } ) ( 1 + 2 \sqrt { - 16 } )\)
31. \(( 2 - 3 i \sqrt { 2 } ) ( 3 + i \sqrt { 2 } )\)
32. \(( - 1 + i \sqrt { 3 } ) ( 2 - 2 i \sqrt { 3 } )\)
33. \(\frac { - 3 } { i }\)
34. \(\frac { 5 } { i }\)
35. \(\frac { 1 } { 5 + 4 i }\)
36. \(\frac { 1 } { 3 - 4 i }\)
37. \(\frac { 15 } { 1 - 2 i }\)
38. \(\frac { 29 } { 5 + 2 i }\)
39. \(\frac { 20 i } { 1 - 3 i }\)
40. \(\frac { 10 i } { 1 + 2 i }\)
41. \(\frac { 10 - 5 i } { 3 - i }\)
42. \(\frac { 5 - 2 i } { 1 - 2 i }\)
43. \(\frac { 5 + 10 i } { 3 + 4 i }\)
44. \(\frac { 2 - 4 i } { 5 + 3 i }\)
45. \(\frac { 26 + 13 i } { 2 - 3 i }\)
46. \(\frac { \overline { 4 } + 2 i } { 1 + i }\)
47. \(\frac { 3 - i } { 2 i }\)
48. \(\frac { - 5 + 2 i } { 4 i }\)
49. \(\frac { 1 } { a - b i }\)
50. \(\frac { 1 } { a + b i }\)
51. \(\frac { 1 - \sqrt { - 1 } } { 1 + \sqrt { - 1 } }\)
52. \(\frac { 1 + \sqrt { - 9 } } { 1 - \sqrt { - 9 } }\)
53. \(\frac { - \sqrt { - 6 } } { \sqrt { 18 } + \sqrt { - 4 } }\)
54. \(\frac { \sqrt { - 12 } } { \sqrt { 2 } - \sqrt { - 27 } }\)

Responder

1. \(1 + i\)

3. \(8 + 14 i\)

5. \(- 8 - 6 i\)

7. \(7 - 4 i\)

9. \(- 1 - 17 i\)

11. \(7 + 24 i\)

13. \(- 21 - 20 i\)

15. \(2\)

17. \(20\)

19. \(\frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 36 } i\)

21. \(2-11i\)

23. \(- 2 - 2 i \sqrt { 3 }\)

25. \(6 + 2 i \sqrt { 15 }\)

27. \(22\)

29. \(20-9i\)

31. \(12 - 7 i \sqrt { 2 }\)

33. \(3i\)

35. \(\frac { 5 } { 41 } - \frac { 4 } { 41 } i\)

37. \(3+6i\)

39. \(-6+2i\)

41. \(\frac { 7 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } i\)

43. \(\frac { 11 } { 5 } - \frac { 2 } { 5 } i\)

45. \(1 + 8 i\)

47. \(- \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } i\)

49. \(\frac { a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \frac { b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } i\)

51. \(- i\)

53. \(- \frac { \sqrt { 6 } } { 11 } - \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 11 } i\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dado que\(i ^ { - n } = \frac { 1 } { i ^ { n } }\) computar los siguientes poderes de\(i\).

1. \(i ^ { - 1 }\)
2. \(i ^ { - 2 }\)
3. \(i ^ { - 3 }\)
4. \(i ^ { - 4 }\)

Responder

1. \(-i\)

3. \(i\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Realizar las operaciones y simplificar.

1. \(2 i ( 2 - i ) - i ( 3 - 4 i )\)
2. \(i ( 5 - i ) - 3 i ( 1 - 6 i )\)
3. \(5 - 3 ( 1 - i ) ^ { 2 }\)
4. \(2 ( 1 - 2 i ) ^ { 2 } + 3 i\)
5. \(( 1 - i ) ^ { 2 } - 2 ( 1 - i ) + 2\)
6. \(( 1 + i ) ^ { 2 } - 2 ( 1 + i ) + 2\)
7. \(( 2 i \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 5\)
8. \(( 3 i \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( i \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }\)
9. \(( \sqrt { 2 } - i ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } + i ) ^ { 2 }\)
10. \(( i \sqrt { 3 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 4 i \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
11. \(\left( \frac { 1 } { 1 + i } \right) ^ { 2 }\)
12. \(\left( \frac { 1 } { 1 + i } \right) ^ { 3 }\)
13. \(( a - b i ) ^ { 2 } - ( a + b i ) ^ { 2 }\)
14. \(\left( a ^ { 2 } + a i + 1 \right) \left( a ^ { 2 } - a i + 1 \right)\)
15. Demuestre que ambos\(-2i\) y\(2i\) satisfaga\(x ^ { 2 } + 4 = 0\).
16. Demuestre que ambos\(-i\) y\(i\) satisfaga\(x^{2}+1=0\).
17. Demuestre que ambos\(3-2i\) y\(3+2i\) satisfaga\(x^{2}-6x+13=0\).
18. Demuestre que ambos\(5-i\) y\(5+i\) satisfaga\(x^{2}-10x+26=0\).
19. \(3 , - 2 i\)Demuéstralo, y\(2i\) son todas las soluciones para\(x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 4 x - 12 = 0\).
20. \(-2, 1, -i\)Demuéstralo, y\(1+i\) son todas las soluciones para\(x ^ { 3 } - 2 x + 4 = 0\).

Responder

1. \(-2+i\)

3. \(5+6i\)

5. \(0\)

7. \(-3\)

9. \(- 4 i \sqrt { 2 }\)

11. \(- \frac {i } { 2 }\)

13. \(-4abi\)

15. Prueba

17. Prueba

19. Prueba

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

1. Investigar y discutir la historia de la unidad imaginaria y los números complejos.
2. ¿Cómo definirías\(i^{0}\) y por qué?
3. Investigar lo que significa calcular el valor absoluto de un número complejo\(| a + b i |\). Ilustra tu hallazgo con un ejemplo.
4. Explora los poderes de\(i\). Busca un patrón y comparte tus hallazgos.

Responder

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

²⁶ Definido como\(i = \sqrt { - 1 }\) donde\(i^{2} = −1\).

²⁷ Una raíz cuadrada de cualquier número real negativo.

²⁸ Un número de la forma\(a + bi\), donde\(a\) y\(b\) son números reales.

²⁹ El número real\(a\) de un número complejo\(a + bi\).

³⁰ El número real\(b\) de un número complejo\(a + bi\).

³¹ Dos números complejos cuyas partes reales son iguales y las partes imaginarias son opuestas. Si se da\(a + bi\), entonces su conjugado complejo es\(a − bi\).

³² El número real que resulta de multiplicar conjugados complejos:\((a + bi) (a − bi) = a^{2} + b^{2}\).