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5.6: Resolver ecuaciones radicales

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

  • Resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas.
  • Resuelve ecuaciones que involucran raíces cúbicas.

Ecuaciones Radales

Una ecuación radical 22 es cualquier ecuación que contiene uno o más radicales con una variable en el radicando. A continuación se presentan algunos ejemplos de ecuaciones radicales, todas las cuales se resolverán en esta sección:

2x1=3 34x2+72=0 x+2x=1
Mesa5.6.1

Comenzamos con la propiedad de cuadratura de igualdad 23; dados números realesa yb, tenemos los siguientes:

Ifa=b, then a2=b2

En otras palabras, la igualdad se mantiene si cuadramos ambos lados de una ecuación.

3=3(3)2=(3)29=9

Lo contrario, en cambio, no es necesariamente cierto,

9=9(3)2=(3)233

Esto es importante porque usaremos esta propiedad para resolver ecuaciones radicales. Consideremos una ecuación radical muy simple que pueda resolverse mediante inspección,

x=5

Aquí podemos ver quex=25 es una solución. Para resolver esta ecuación algebraicamente, hacer uso de la propiedad de cuadratura de igualdad y el hecho de que(a)2=a2=a cuandoa es no negativo. Elimine la raíz cuadrada al cuadrar ambos lados de la ecuación de la siguiente manera:

(x)2=(5)2x=25

Como cheque, podemos ver eso25=5 como se esperaba. Debido a que lo contrario de la propiedad cuadrangular de la igualdad no es necesariamente cierto, las soluciones a la ecuación cuadrada pueden no ser soluciones a la original. De ahí que al cuadrar ambos lados de una ecuación se introduce la posibilidad de soluciones extrañas 24, que son soluciones que no resuelven la ecuación original. Por ejemplo,

x=5

Esta ecuación claramente no tiene una solución numérica real. Sin embargo, cuadrar ambos lados nos da una solución:

(x)2=(5)2x=25

Como cheque, podemos ver eso255. Por esta razón, debemos verificar las respuestas que resultan de cuadrar ambos lados de una ecuación.

Ejemplo5.6.1:

Resolver:3x+1=4.

Solución

Podemos eliminar la raíz cuadrada aplicando la propiedad de cuadratura de igualdad.

3x+1=4(3x+1)2=(4)2Squarebothsides.3x+1=16Solve.3x=15x=5

A continuación, debemos verificar.

3(5)+1=415+1=416=44=4

Respuesta:

La solución es5.

Hay una interpretación geométrica al ejemplo anterior. Grafica la función definida porf(x)=3x+1 y determina dónde se cruza con la gráfica definida porg(x)=4.

Figura5.6.1

Como se ilustra,f(x)=g(x) dóndex=5.

Ejemplo5.6.2:

Resolver:x3=x5.

Solución

Comience por cuadrar ambos lados de la ecuación.

x3=x5(x3)2=(x5)2Squarebothsides.x3=x210x+25

La ecuación cuadrática resultante se puede resolver factorizando.

x3=x210x+250=x211x+280=(x4)(x7)

x4=0 or x7=0x=4x=7

Verificar las soluciones después de cuadrar ambos lados de una ecuación no es opcional. Utilice la ecuación original al realizar la comprobación.

Mesa5.6.2
Checkx=4 Checkx=7
x3=x543=451=11=1 x3=x573=754=22=2

Después de verificar, se puede ver quex=4 es una solución extraña; no resuelve la ecuación radical original. No tenga en cuenta esa respuesta. Esto dejax=7 como única solución.

Respuesta:

La solución es7.

Geométricamente podemos ver quef(x)=x+3 es igual ag(x)=x5 dondex=7.

Figura5.6.2

En los dos ejemplos anteriores, observe que el radical está aislado en un lado de la ecuación. Por lo general, este no es el caso. Los pasos para resolver ecuaciones radicales que involucran raíces cuadradas se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo5.6.3:

Resolver:2x1+2=x.

Solución

Paso 1: Aislar la raíz cuadrada. Comience restando 2 de ambos lados de la ecuación.

2x1+2=x2x1=x2

Paso 2: Cuadrar ambos lados. Al cuadrar ambos lados se elimina la raíz cuadrada.

(2x1)2=(x2)22x1=x24x+4

Paso 3: Resolver la ecuación resultante. Aquí nos quedamos con una ecuación cuadrática que se puede resolver factorizando.

2x1=x24x+40=x26x+50=(x1)(x5)

x1=0 or x5=0x=1x=5

Paso 4: Verifique las soluciones en la ecuación original. Al cuadrar ambos lados se introduce la posibilidad de soluciones extrañas; de ahí que se requiera la verificación.

Mesa5.6.3
Checkx=1 Checkx=5
2x1+2=x2(1)1+2=11+2=11+2=13=1 2x1+2=x2(5)1+2=59+2=53+2=55=5

Después de verificar, podemos ver quex=1 es una solución extraña; no resuelve la ecuación radical original. Esto dejax=5 como única solución.

Respuesta:

La solución es5.

A veces hay más de una solución a una ecuación radical.

Ejemplo5.6.4:

Resolver:22x+5x=4.

Solución

Comience aislando el término con el radical.

22x+5x=4Addxtobothsides.22x+5=x+4

A pesar de que el término del lado izquierdo tiene un coeficiente, seguimos considerándolo aislado. Recordemos que los términos están separados por operadores de suma o resta.

22x+5=x+4(22x+5)2=(x+4)2Squarebothsides.4(2x+5)=x2+8x+16

Resolver la ecuación cuadrática resultante.

4(2x+5)=x2+8x+168x+20=x2+8x+160=x240=(x+2)(x2)

x+2=0 or x2=0x=2x=2

Ya que cuadramos ambos lados, debemos verificar nuestras soluciones.

Mesa5.6.4
Checkx=2 Checkx=2
22x+5x=422(2)+5(2)=424+5+2=421+2=42+2=44=4 22x+5x=422(2)+5(2)=424+52=4292=462=44=4

Después de verificar, podemos ver que ambas son soluciones a la ecuación original.

Respuesta:

Las soluciones son±2.

A veces ambas soluciones posibles son extrañas.

Ejemplo5.6.5:

Resolver:411xx+2=0.

Solución

Comience aislando al radical.

411xx+2=0Isolatetheradical.411x=x2(411x)2=(x2)2Squarebothsides.411x=x24x+4Solve.0=x2+7x0=x(x+7)

x=0 or x+7=0x=7

Ya que cuadramos ambos lados, debemos verificar nuestras soluciones.

Mesa5.6.5
Checkx=0 Checkx=7
411xx+2=0411(0)0+2=04+2=02+2=04=0 411xx+2=0411(7)(7)+2=04+77+7+2=081+9=09+9=018=0

Dado que ambas soluciones posibles son extrañas, la ecuación no tiene solución.

Respuesta:

Sin solución,

La propiedad de cuadratura de igualdad se extiende a cualquier potencia entera positivan. Dados los números realesa yb, tenemos los siguientes:

Ifa=b, then an=bn

A esto se le suele referir como la propiedad de poder de la igualdad 25. Utilice esta propiedad, junto con el hecho de que(na)n=nan=a, cuando noa es negativo, para resolver ecuaciones radicales con índices mayores que2.

Ejemplo5.6.6:

Resolver34x2+72=0.

Solución

Aísle el radical, y luego cubo ambos lados de la ecuación.

34x2+72=0Isolatetheradical.34x2+7=2(34x2+7)3=(2)3Cubebothsides.4x2+7=8Solve.4x21=0(2x+1)(2x1)=0

2x+1=0 or 2x1=02x=12x=1x=12x=12

Cheque.

Mesa5.6.6
Checkx=12 Checkx=12
34x2+72=034(12)2+72=03414+72=0382=022=00=0 34x2+72=034(12)2+72=03414+72=031+72=0382=022=00=0

Respuesta:

Las soluciones son±12.

Ejercicio5.6.1

x33x+1=3

Contestar

La solución es33.

www.youtube.com/v/kr6x0qjbtbs

Puede darse el caso de que la ecuación tenga más de un término que consiste en expresiones radicales.

Ejemplo5.6.7:

Resolver:5x3=4x1.

Solución

Ambos radicales se consideran aislados en lados separados de la ecuación.

5x3=4x1(5x3)2=(4x1)2Squarebothsides.5x3=4x1Solve.x=2

Chequex=2.

5x3=4x15(2)3=4(2)1103=817=7

Respuesta:

La solución es2.

Ejemplo5.6.8:

Resolver:3x2+x14=3x+50.

Solución

Elimina los radicales al cubicar ambos lados.

3x2+x14=3x+50(3x2+x14)3=(3x+50)3Cubebothsides.x2+x14=x+50Solve.x264=0(x+8)(x8)=0

x+8=0 or x8=0x=8x=8

Cheque.

Mesa5.6.7
Checkx=8 Checkx=8
\boldsymbol{\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + x - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { x + 50 } \\ \sqrt [ 3 ] { ( \color{Cerulean}{- 8}\color{black}{ )} ^ { 2 } + ( \color{Cerulean}{- 8}\color{black}{ )} - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { ( \color{Cerulean}{- 8}\color{black}{ )} + 50 } \\ \sqrt [ 3 ] { 64 - 8 - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { 42 } \\ \sqrt [ 3 ] { 42 } & = \sqrt [ 3 ] { 42 Table \(\PageIndex{7}}}\:\:\ color {cerúleo} {✓}\ final {alineado}\) \ (\ begin {alineado}\ sqrt [3] {x ^ {2} + x - 14} & =\ sqrt [3] {x + 50}\\\ sqrt [3] {(\ color {cerúleo} {8}\ color {negro} {)} ^ {2} + (\ color {cerúleo} {8}\ color {negro} {)} - 14} & =\ sqrt [3] {(\ color {cerúleo} {8}\ color {negro} {)} + 50}\\\ sqrt [3] {64 + 8 - 14} & =\ sqrt [3] ] {58}\\\ sqrt [3] {58} & =\ sqrt [3] {58}\:\ color {cerúleo} {✓}\ final {alineado}\

Respuesta:

Las soluciones son±8.

Puede que no sea posible aislar un radical en ambos lados de la ecuación. Cuando este es el caso, aísle los radicales, uno a la vez, y aplique la propiedad de cuadratura de igualdad varias veces hasta que solo quede un polinomio.

Ejemplo5.6.9:

Resolver:x+2x=1

Solución

Comience aislando uno de los radicales. En este caso,x sumar a ambos lados de la ecuación.

x+2x=1x+2=x+1

A continuación, cuadrar ambos lados. Tenga cuidado de aplicar la propiedad distributiva al lado derecho.

(x+2)2=(x+1)2x+2=(x+1)(x+1)x+2=x2+x+x+1x+2=x+2x+1

En este punto tenemos un término que contiene un radical. Aíslalo y vuelve a cuadrar ambos lados.

x+2=x+2x+11=2x(1)2=(2x)21=4x14=x

Verifica six=14 satisface la ecuación originalx+2x=1

14+214=19412=13212=122=11=1

Contestar

La solución es14.

Porque(A+B)2A2+B2, no podemos simplemente cuadrar cada término. Por ejemplo, es incorrecto cuadrar cada término de la siguiente manera.

(x+2)2(x)2=(1)2Incorrect!

Este es un error común y lleva a un resultado incorrecto. Al cuadrar ambos lados de una ecuación con múltiples términos, debemos tener cuidado de aplicar la propiedad distributiva.

Ejemplo5.6.10:

Resolver:2x+10x+6=1

Solución

Comience aislando uno de los radicales. En este caso,x+6 sumar a ambos lados de la ecuación.

2x+10x+6=12x+10=x+6+1

A continuación, cuadrar ambos lados. Tenga cuidado de aplicar la propiedad distributiva al lado derecho.

(2x+10)2=(x+6+1)22x+10=x+6+2x+6+12x+10=x+7+2x+6

En este punto tenemos un término que contiene un radical. Aíslalo y vuelve a cuadrar ambos lados.

2x+10=x+7+2x+6x+3=2x+6(x+3)2=(2x+6)2x2+6x+9=4(x+6)x2+6x+9=4x+24x2+2x15=0(x3)(x+5)=0

x3=0 or x+5=0x=3x=5

Cheque.

Mesa5.6.8
Checkx=3 Checkx=5
2x+10x+6=12(3)+103+6=1169=143=11=1 2x+10x+6=12(5)+105+6=101=101=11=1

Contestar

La solución es3.

Ejercicio5.6.2

Resolver:4x+212x+22=1

Contestar

La solución es7.

www.youtube.com/v/btmeqwpsmayo

Claves para llevar

  • Resuelve ecuaciones que involucran raíces cuadradas aislando primero el radical y luego cuadrando ambos lados. Al cuadrar una raíz cuadrada se elimina el radical, dejándonos con una ecuación que se puede resolver utilizando las técnicas aprendidas anteriormente en nuestro estudio del álgebra.
  • Al cuadrar ambos lados de una ecuación se introduce la posibilidad de soluciones extrañas. Por ello, debes verificar tus soluciones en la ecuación original.
  • Resolver ecuaciones que involucran las raícesn th aislando primero el radical y luego elevando ambos lados aln th poder. Esto elimina el radical y da como resultado una ecuación que puede resolverse con técnicas que ya hayas dominado.
  • Cuando más de un término radical esté presente en una ecuación, aislarlos uno a la vez, y aplique la propiedad de poder de la igualdad varias veces hasta que solo quede un polinomio.

Ejercicio5.6.3

Resolver

  1. x=7
  2. x=4
  3. x+8=9
  4. x4=5
  5. x+7=4
  6. x+3=1
  7. 5x1=0
  8. 3x2=0
  9. 3x+1=2
  10. 5x4=4
  11. 7x+4+6=11
  12. 3x5+9=14
  13. 2x13=0
  14. 3x+12=0
  15. x+1=x+1
  16. 2x1=2x1
  17. 4x1=2x1
  18. 4x11=2x1
  19. x+8=x4
  20. 25x1=5x+1
  21. 3x=3
  22. 3x=4
  23. 32x+9=3
  24. 34x11=1
  25. 35x+7+3=1
  26. 33x6+5=2
  27. 423x+2=0
  28. 6332x3=0
  29. 53(x+10)=2
  30. 54x+3+5=4
  31. 8x+11=3x+1
  32. 23x4=2(3x+1)
  33. 2(x+10)=7x15
  34. 5(x4)=x+4
  35. 35x2=34x
  36. 39(x1)=33(x+7)
  37. 33x+1=32(x1)
  38. 39x=33(x6)
  39. 53x5=52x+8
  40. 5x+3=52x+5
  41. 4x+21=x
  42. 8x+9=x
  43. 4(2x3)=x
  44. 3(4x9)=x
  45. 2x1=x
  46. 32x9=x
  47. 9x+9=x+1
  48. 3x+10=x+4
  49. x1=x3
  50. 2x5=x4
  51. 163x=x6
  52. 73x=x3
  53. 32x+10=x+9
  54. 22x+5=x+4
  55. 3x11=x
  56. 22x+21=x
  57. 10x+415=x
  58. 6(x+3)3=x
  59. 8x24x+1=2x
  60. 18x26x+1=3x
  61. 5x+2=x+8
  62. 42(x+1)=x+7
  63. x225=x
  64. x2+9=x
  65. 3+6x11=x
  66. 2+9x8=x
  67. 4x+25x=7
  68. 8x+73x=10
  69. 24x+33=2x
  70. 26x+33=3x
  71. 2x4=1410x
  72. 3x6=3324x
  73. 3x224=1
  74. 3x254=3
  75. 3x2+6x+1=4
  76. 3x2+2x+5=7
  77. 325x210x7=2
  78. 39x212x23=3
  79. 34x212=0
  80. 43x21=0
  81. 5x(2x+1)1=0
  82. 53x220x2=0
  83. \sqrt { 2 x ^ { 2 } - 15 x + 25 } = \sqrt { ( x + 5 ) ( x - 5 ) }
  84. \sqrt { x ^ { 2 } - 4 x + 4 } = \sqrt { x ( 5 - x ) }
  85. \sqrt [ 3 ] { 2 \left( x ^ { 2 } + 3 x - 20 \right) } = \sqrt [ 3 ] { ( x + 3 ) ^ { 2 } }
  86. \sqrt [ 3 ] { 3 x ^ { 2 } + 3 x + 40 } = \sqrt [ 3 ] { ( x - 5 ) ^ { 2 } }
  87. \sqrt { 2 x - 5 } + \sqrt { 2 x } = 5
  88. \sqrt { 4 x + 13 } - 2 \sqrt { x } = 3
  89. \sqrt { 8 x + 17 } - 2 \sqrt { 2 - x } = 3
  90. \sqrt { 3 x - 6 } - \sqrt { 2 x - 3 } = 1
  91. \sqrt { 2 ( x - 2 ) } - \sqrt { x - 1 } = 1
  92. \sqrt { 2 x + 5 } - \sqrt { x + 3 } = 2
  93. \sqrt { 2 ( x + 1 ) } - \sqrt { 3 x + 4 } - 1 = 0
  94. \sqrt { 6 - 5 x } + \sqrt { 3 - 3 x } - 1 = 0
  95. \sqrt { x - 2 } - 1 = \sqrt { 2 ( x - 3 ) }
  96. \sqrt { 14 - 11 x } + \sqrt { 7 - 9 x } = 1
  97. \sqrt { x + 1 } = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 - x }
  98. \sqrt { 2 x + 9 } - \sqrt { x + 1 } = 2
  99. x ^ { 1 / 2 } - 10 = 0
  100. x ^ { 1 / 2 } - 6 = 0
  101. x ^ { 1 / 3 } + 2 = 0
  102. x ^ { 1 / 3 } + 4 = 0
  103. ( x - 1 ) ^ { 1 / 2 } - 3 = 0
  104. ( x + 2 ) ^ { 1 / 2 } - 6 = 0
  105. ( 2 x - 1 ) ^ { 1 / 3 } + 3 = 0
  106. ( 3 x - 1 ) ^ { 1 / 3 } - 2 = 0
  107. ( 4 x + 15 ) ^ { 1 / 2 } - 2 x = 0
  108. ( 3 x + 2 ) ^ { 1 / 2 } - 3 x = 0
  109. ( 2 x + 12 ) ^ { 1 / 2 } - x = 6
  110. ( 4 x + 36 ) ^ { 1 / 2 } - x = 9
  111. 2 ( 5 x + 26 ) ^ { 1 / 2 } = x + 10
  112. 3 ( x - 1 ) ^ { 1 / 2 } = x + 1
  113. x ^ { 1 / 2 } + ( 3 x - 2 ) ^ { 1 / 2 } = 2
  114. ( 6 x + 1 ) ^ { 1 / 2 } - ( 3 x ) ^ { 1 / 2 } = 1
  115. ( 3 x + 7 ) ^ { 1 / 2 } + ( x + 3 ) ^ { 1 / 2 } - 2 = 0
  116. ( 3 x ) ^ { 1 / 2 } + ( x + 1 ) ^ { 1 / 2 } - 5 = 0
Contestar

1. 49

3. 1

5. Ø

7. \frac{1}{25}

9. 1

11. 3

13. \frac{13}{4}

15. 0

17. \frac{1}{4}

19. Ø

21. 27

23. 9

25. −3

27. 6

29. \frac{2}{3}

31. 2

33. 7

35. 2

37. −3

39. 13

41. 7

43. 2, 6

45. 2

47. −1, 8

49. 5

51. Ø

53. −3, 3

55. 2, 5

57. −4, 4

59. \frac{1}{2}

61. 2, 7

63. Ø

65. 10

67. −6, −4

69. −\frac{1}{2}, \frac{3}{2}

71. Ø

73. −5, 5

75. −9, 3

77. \frac{1}{5}

79. − \frac{3}{2} ,\frac{ 3}{2}

81. −1, \frac{1}{2}

83. 5, 10

85. −7, 7

87. \frac{9}{2}

89. 1

91. 10

93. Ø

95. 3

97. 1, 2

99. 100

101. −8

103. 10

105. −13

107. \frac{5}{2}

109. −6, −4

111. −2, 2

113. 1

115. −2

Ejercicio\PageIndex{4}

Determinar las raíces de las funciones dadas. Recordemos que una raíz es un valor en el dominio que resulta en cero. En otras palabras, encuentrax dóndef (x) = 0.

  1. f ( x ) = \sqrt { x + 5 } - 2
  2. f ( x ) = \sqrt { 2 x - 3 } - 1
  3. f ( x ) = 2 \sqrt { x + 2 } - 8
  4. f ( x ) = 3 \sqrt { x - 7 } - 6
  5. f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } + 2
  6. f ( x ) = 2 \sqrt [ 3 ] { x - 1 } + 6
Contestar

1. −1

3. 14

5. −9

Ejercicio\PageIndex{5}

Resolver para la variable indicada.

  1. Resolver para\mathrm { P } : r = \sqrt { P } - 1
  2. Resolver parax : y = \sqrt { x - h } + k
  3. Resolver paras : t = \sqrt { \frac { 2 s } { g } }
  4. Resolver para\mathrm { L } : T = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { 32 } }
  5. Resolver para\mathrm { R } : I = \sqrt { \frac { P } { R } }
  6. Resolver parah : r = \sqrt { \frac { 3 V } { \pi h } }
  7. Resolver paraV : r = \sqrt [ 3 ] { \frac { 3 V } { 4 \pi } }
  8. Resolver parac : a = \sqrt [ 3 ] { \frac { b ^ { 2 } \pi } { 2 c } }
  9. La raíz cuadrada de1 menos de dos veces un número es igual a2 menor que el número. Encuentra el número.
  10. La raíz cuadrada de4 menos de dos veces un número es igual a6 menor que el número. Encuentra el número.
  11. La raíz cuadrada de dos veces un número es igual a la mitad de ese número. Encuentra el número.
  12. La raíz cuadrada de dos veces un número es igual a un tercio de ese número. Encuentra el número.
  13. La distanciad en millas que una persona puede ver un objeto en el horizonte viene dada por la fórmulad = \frac { \sqrt { 6 h } } { 2 } dondeh representa la altura en pies de los ojos de la persona sobre el nivel del mar. ¿Qué tan altos deben estar los ojos de una persona para ver un objeto a5 kilómetros de distancia?
  14. La corrienteI medida en amperios viene dada por la fórmulaI = \sqrt { \frac { P } { R } } dondeP se mide el consumo de energía en vatios yR es la resistencia medida en ohmios. Si una bombilla requiere1/2 amperios de corriente y usa60 vatios de potencia, entonces ¿cuál es la resistencia a través de la bombilla?
Contestar

1. P = ( r + 1 ) ^ { 2 }

3. s = \frac { g t ^ { 2 } } { 2 }

5. R = \frac { P } { I ^ { 2 } }

7. V = \frac { 4 \pi r ^ { 3 } } { 3 }

9. 5

11. 0,8

13. 16 \frac { 2 } { 3 }pies

Ejercicio\PageIndex{6}

El período de un pénduloT en segundos viene dado por la fórmula

T = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { 32 } }

dondeL representa la longitud en pies. Calcular la longitud de un péndulo dado el periodo. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de pie más cercana.

  1. 1segundo
  2. 2segundos
  3. \frac{1}{2}segundo
  4. \frac{1}{3}segundo
Contestar

1. \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } }pies;0.8 pies

3. \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } }pies;0.2 pies

Ejercicio\PageIndex{7}

El tiempot en segundos, un objeto está en caída libre viene dado por la fórmula

t = \frac { \sqrt { s } } { 4 }

dondes representa la distancia que ha caído, en pies. Calcula la distancia que caerá un objeto dada la cantidad de tiempo.

  1. 1segundo
  2. 2segundos
  3. \frac{1}{2}segundo
  4. \frac{1}{4}segundo
Contestar

1. 16pies

3. 4pies

Ejercicio\PageIndex{9}

  1. Discutir razones por las que a veces obtenemos soluciones extrañas a la hora de resolver ecuaciones radicales. ¿Alguna vez hay alguna condición en la que no sea necesario verificar soluciones extrañas? ¿Por qué o por qué no?
  2. Si una ecuación tiene múltiples términos, explique por qué cuadrar todos ellos es incorrecto. Dé un ejemplo.
Contestar

1. La respuesta puede variar

Notas al pie

22 Cualquier ecuación que contenga uno o más radicales con una variable en el radicando.

23 Dados números realesa yb, dóndea = b, entoncesa^{2} = b^{2}.

24 Una solución debidamente encontrada que no resuelve la ecuación original. \

25 Dado cualquier número entero positivon y números realesa yb dóndea = b, entoncesa ^ { n } = b ^ { n }.


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