6.3: Resolver ecuaciones cuadráticas en forma

Objetivos de aprendizaje

• Desarrollar una estrategia general para resolver ecuaciones cuadráticas.
• Resolver ecuaciones que son cuadráticas en forma.

Utilice los coeficientes de una ecuación cuadrática para ayudar a decidir qué método es el más adecuado para resolverlo. Si bien la fórmula cuadrática siempre funciona, a veces no es el método más eficiente. Si se le da alguna ecuación cuadrática en forma estándar,

\(a x^{2}+b x+c=0\)

donde\(c=0\), entonces lo mejor es factorizar el GCF y resolverlo factorizando.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Resolver:\(12 x^{2}-3 x=0\)

Solución

En este caso,\(c=0\) y podemos resolver factorizando el GCF\(3x\).

\(12 x^{2}-3 x=0 \)
\(3 x(4 x-1)=0 \)

Luego aplique la propiedad zero product y establezca cada factor igual a cero.

\(\begin{aligned}&3 x=0\quad \text { or }& 4 x-1=0 \\ &x=0 &4 x=1 \\&& x=\frac{1}{4}\end{aligned}\)

Contestar

Las soluciones son\(0\) y\(\frac{1}{4}\).

Si\(b=0\), entonces podemos resolver extrayendo las raíces.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Resolver\(5 x^{2}+8=0\)

Solución

En este caso,\(b = 0\) y podemos resolver extrayendo las raíces. Comience aislando el cuadrado.

\(\begin{aligned} 5 x^{2}+8 &=0 \\ 5 x^{2} &=-8 \\ x^{2} &=-\frac{8}{5} \end{aligned}\)

A continuación, aplicar la propiedad de raíz cuadrada. Recuerda incluir el\(±\).

\(\begin{aligned} x &=\pm \sqrt{-\frac{8}{5}}\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Rationalize\:the\:denominator.} \\ &=\pm \frac{\sqrt{-4 \cdot 2}}{\sqrt{5}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\pm \frac{2 i \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{5} \\ &=\pm \frac{2 i \sqrt{10}}{5} \end{aligned}\)

Contestar

Las soluciones son\(\pm \frac{2 i \sqrt{10}}{5}\).

Cómo: Directrices generales para resolver ecuaciones cuadráticas

Cuando se le da una ecuación cuadrática en forma estándar donde\(a\)\(b\), y\(c\) son todos distintos de cero, determinar el valor para el discriminante usando la fórmula\(b^{2} − 4ac\).

1. Si el discriminante es un cuadrado perfecto, entonces resuelva factorizando.
2. Si el discriminante no es un cuadrado perfecto, entonces resuelve usando la fórmula cuadrática.

Recordemos que si el discriminante no es un cuadrado perfecto y positivo, la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones irracionales. Y si el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones conjugadas complejas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Resolver\((3 x+5)(3 x+7)=6 x+10\).

Solución

Comience por reescribir la ecuación cuadrática en forma estándar.

\(\begin{aligned}(3 x+5)(3 x+7) &=6 x+10 \\ 9 x^{2}+21 x+15 x+35 &=6 x+10 \\ 9 x^{2}+36 x+35 &=6 x+10 \\ 9 x^{2}+30 x+25 &=0 \end{aligned}\)

Sustituir\(a=9, b=30\),, y\(c=25\) en la fórmula discriminante.

\(\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(30)^{2}-4(9)(25) \\ &=900-900 \\ &=0 \end{aligned}\)

Ya que el discriminante es\(0\), resolver factorizando y esperar una solución real, una doble raíz.

\(\begin{aligned} 9 x^{2}+30 x+25 &=0 \\(3 x+5)(3 x+5) &=0 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}3 x+5&=0 \quad \text { or } \quad3 x+5=0\\ 3 x&=-5 \quad\quad\quad\quad\: 3 x=-5 \\ x&=-\frac{5}{3} \quad\quad\quad\quad\:\: x=-\frac{5}{3}\end{aligned}\)

Contestar

La solución es\(-\frac{5}{3}\).

Es bueno saber que la fórmula cuadrática funcionará para encontrar las soluciones a todos los ejemplos de esta sección. No obstante, no siempre es la mejor solución. Si la ecuación se puede resolver factorizando o extrayendo las raíces, debes usar ese método.

Resolver ecuaciones cuadráticas en forma

En esta sección esbozamos una técnica algebraica que se utiliza ampliamente en matemáticas para transformar ecuaciones en formas familiares. Comenzamos definiendo la forma cuadrática ⁷,

\(a u^{2}+b u+c=0\)

Aquí\(u\) representa una expresión algebraica. A continuación se presentan algunos ejemplos:

\(\begin{aligned}\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}+8\left(\frac{t+2}{t}\right)+7&=0 \stackrel{u=\frac{t+2}{t}}{\color{Cerulean}{\Longrightarrow}} \color{black}{u^{2}}+8 u+7=0 \\ x^{2 / 3}-3 x^{1 / 3}-10&=0 \stackrel{u=x^{1 / 3}}{\color{Cerulean}{\Longrightarrow}}\color{black}{ u^{2}}-3 u-10=0 \\ 3 y^{-2}+7 y^{-1}-6&=0 \stackrel{u=y^{-1}}{\color{Cerulean}{\Longrightarrow}}\color{black}{ 3 u^{2}}+7 u-6=0\end{aligned}\)

Si podemos expresar una ecuación en forma cuadrática, entonces podemos usar cualquiera de las técnicas utilizadas para resolver ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación polinómica de cuarto grado,

\(x^{4}-4 x^{2}-32=0\)

Si lo dejamos\(u = x^{2}\) entonces\(u^{2} = \left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}\) y podemos escribir

\(\begin{array}{r}{x^{4}-4 x^{2}-32=0 \color{Cerulean}{\Rightarrow}\left(\color{Cerulean}{x^{2}}\right)^{\color{black}{2}}-4\left(\color{Cerulean}{x^{2}}\right)\color{black}{-}32=0} \\ \color{Cerulean}{\downarrow\quad\quad\:\:\: \downarrow\quad\quad\quad\quad\:\:} \\ {u^{2}\quad-\:\:4 u\:\:-32=0}\end{array}\)

Esta sustitución transforma la ecuación en una ecuación cuadrática familiar en términos de la\(u\) cual, en este caso, se puede resolver factorizando.

\(\begin{aligned} u^{2}-4 u-32 &=0 \\(u-8)(u+4) &=0 \\ u=8 \quad \text { or } \quad u &=-4 \end{aligned}\)

Ya que\(u=x^{2}\) podemos volver a sustituir y luego resolver para\(x\).

\(\begin{aligned} &u=8 \quad \text{or} &u=-4 \\ & \color{Cerulean}{\downarrow}&\color{Cerulean}{ \downarrow} \\ &x^{2}=8 & x^{2}=-4\\ &x=\pm \sqrt{8} &x=\pm\sqrt{-4} \\ &x=\pm 2 \sqrt{2} &x=\pm2i\end{aligned}\)

Por lo tanto, la ecuación\(x^{4}-4 x^{2}-32=0\) tiene cuatro soluciones\(\{\pm 2 \sqrt{2}, \pm 2 i\}\), dos reales y dos complejas. Esta técnica, a menudo llamada sustitución u ⁸, también se puede utilizar para resolver algunas ecuaciones no polinómicas.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Resolver:\(x-2 \sqrt{x}-8=0\).

Solución

Esta es una ecuación radical que se puede escribir en forma cuadrática. Si lo dejamos\(u=\sqrt{x}\) entonces\(u^{2}=(\sqrt{x})^{2}=x\) y podemos escribir

\(\begin{aligned}x-2 \sqrt{x}-8&=0\\ \color{Cerulean}{\downarrow\:\:\quad \downarrow\quad\:\:\:\:} \\ u^{2}\:\:-2 u-8&=0\end{aligned}\)

Resolver para\(u\).

\(u^{2}-2 u-8=0 \)
\((u-4)(u+2)=0 \)
\(u=4\)o\(u=-2 \)

Volver sustituir\(u=\sqrt{x}\) y resolver para\(x\).

\(\begin{array}{c}{\sqrt{x}=4 \quad \text { or } \quad \sqrt{x}=-2} \\ {(\sqrt{x})^{2}=(4)^{2} \quad(\sqrt{x})^{2}=(-2)^{2}} \\ {x=16} \quad\quad\quad\quad {x=4}\end{array}\)

Recordemos que al cuadrar ambos lados de una ecuación se introduce la posibilidad de soluciones extrañas. Por lo tanto, debemos verificar nuestras posibles soluciones.

\(\begin{array}{r | l} {\color{OliveGreen}{Check} \:\color{black}{x=16}} & {\color{OliveGreen}{Check}\:\color{black}{x}=4}\\ {x-2\sqrt{x}-8=0} & {x-2\sqrt{x}-8=0} \\ {\color{OliveGreen}{16}\color{black}{-} 2\sqrt{\color{OliveGreen}{16}}\color{black}{-}18=0} & {\color{OliveGreen}{4}\color{black}{-} 2\sqrt{\color{OliveGreen}{4}}\color{black}{-}8=0} \\{16-2 \cdot 4-8=0} & {4-2 \cdot 2-8=0} \\ {16-8-8=0} & {\quad\:4-4-8=0} \\ {0=0 \color{Cerulean}{✓}} & {\quad\quad\quad\:\:-8=0 \color{red}{✗}}\end{array}\)

Porque\(x=4\) es ajeno, sólo hay una solución,\(x=16\).

Contestar

La solución es\(16\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Resolver:\(x^{2 / 3}-3 x^{1 / 3}-10=0\).

Solución

Si lo dejamos\(u=x^{1 / 3}\) entonces\(u^{2}=\left(x^{1 / 3}\right)^{2}=x^{2 / 3}\) y podemos escribir

\(\begin{array}{c}{x^{2 / 3}-3 x^{1 / 3}-10=0} \\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\quad\downarrow\:\:\quad\quad\quad\quad\:} \\ {u^{2}\:\:\:-\:3 u-10=0}\end{array}\)

Resolver para\(u\).

\(u^{2}-3 u-10=0 \)
\((u-5)(u+2)=0 \)
\(u=5 \quad\)o\(\quad u=-2 \)

Volver sustituir\(u=x^{1 / 3}\) y resolver para\(x\).

\(\begin{aligned} x^{1 / 3} &=5 \quad \text { or } \quad x^{1 / 3}=-2 \\\left(x^{1 / 3}\right)^{3} &=(5)^{3} \quad\left(x^{1 / 3}\right)^{3}=(-2)^{3} \\ x &=125 \quad\quad\quad\:\:\: x=-8 \end{aligned}\)

Cheque

\(\begin{array} {r|r} {\color{OliveGreen}{Check}\:\color{black}{x}=125}&{\color{OliveGreen}{Check}\:\color{black}{x}=-8}\\{x^{2/3} - 3x^{1/3} -10=0 }&{x^{2/3}-3x^{1/3}-10=0} \\{(\color{OliveGreen}{125}\color{black}{)}^{2 / 3}-3(\color{OliveGreen}{125}\color{black}{)}^{1 / 3}-10=0} & {(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}^{2 / 3}-3(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}^{1 / 3}-10=0} \\ {\left(5^{3}\right)^{2 / 3}-3\left(5^{3}\right)^{1 / 3}-10=0} &{\left[(-2)^{3}\right]^{2 / 3}-3\left[(-2)^{3}\right]^{1 / 3}-10=0} \\ {5^{2}-3 \cdot 5-10=0} &{(-2)^{2}-3 \cdot(-2)-10=0}\\ {25-15-10=0}&{\quad\quad\quad\quad\:\:\:4+6-10=0} \\ {0=0 \color{Cerulean}{✓}}&{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:0=0\color{Cerulean}{✓}} \end{array}\)

Contestar

Las soluciones son\(-8,125\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Resolver:\(3 y^{-2}+7 y^{-1}-6=0\)

Solución

Si lo dejamos\(u=y^{-1}\), entonces\(u^{2}=\left(y^{-1}\right)^{2}=y^{-2}\) y podemos escribir

\(\begin{array}{c}{3 y^{-2}+7 y^{-1}-6=0} \\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\:\:\:\:\:\downarrow\quad\quad\:\:\:\;\:} \\ {3 u^{2}+7 u-6=0}\end{array}\)

Resolver para\(u\).

\(3 u^{2}+7 u-6=0 \)
\((3 u-2)(u+3)=0 \)
\(u=\frac{2}{3} \quad\)o\(\quad u=-3 \)

Volver sustituir\(u=y^{-1}\) y resolver para\(y\).

\(\begin{aligned} y^{-1} &=\frac{2}{3} \text { or } y^{-1}=-3 \\ \frac{1}{y} &=\frac{2}{3} \quad \quad\frac{1}{y}=-3 \\ y &=\frac{3}{2} \quad\quad y=-\frac{1}{3} \end{aligned}\)

La ecuación original es en realidad una ecuación racional donde\(y ≠ 0\). En este caso, las soluciones no son restricciones; resuelven la ecuación original.

Contestar

Las soluciones son\(-\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Resolver:\(\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}+8\left(\frac{t+2}{t}\right)+7=0\)

Solución

Si lo dejamos\(u=\frac{t+2}{t}\), entonces\(u^{2}=\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}\) y podemos escribir

\(\begin{array}{c}{\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}+8\left(\frac{t+2}{t}\right)+7=0}\\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\quad\:\:\;\:\downarrow\quad\quad\quad\quad} \\ {u^{2}+\quad 8 u \quad+7=0}\end{array}\)

Resolver para\(u\).

\(u^{2}+8 u+7=0 \)
\((u+1)(u+7)=0 \)
\(u=-1 \quad\)o\(\quad u=-7 \)

Volver sustituir\(u=\frac{t+2}{t}\), y resolver para\(t\).

\(\begin{array}{rl}{\frac{t+2}{t}} & {=-1 \text { or } \frac{t+2}{t}=-7} \\ {t+2} & {=-t \quad t+2=-7 t} \\ {2 t} & {=-2 \quad \quad 8 t=-2} \\ {t} & {=-1} & {t=-\frac{1}{4}}\end{array}\)

Contestar

Las soluciones son\(-1, -\frac{1}{4}\). El cheque se deja al lector.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver:\(12 x^{-2}-16 x^{-1}+5=0\)

Contestar

Las soluciones son\(\frac{6}{5}, 2 \).

www.youtube.com/V/PAUR53NLNDO

Hasta el momento todos los ejemplos eran de ecuaciones que factorizan. Como sabemos, no todas las ecuaciones cuadráticas factor. Si este es el caso, utilizamos la fórmula cuadrática.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Resolver\(x^{4}-10 x^{2}+23=0\). Aproximado a la centésima más cercana.

Solución

Si lo dejamos\(u=x^{2}\), entonces\(u^{2}=\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}\) y podemos escribir

\(\begin{array}{l}{x^{4}-10 x^{2}+23=0}\\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\:\:\: \downarrow} \\ {u^{2}-10 u+23=0}\end{array}\)

Esta ecuación no factoriza; por lo tanto, usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones para\(u\). Aquí\(a = 1, b = −10\), y\(c = 23\).

\(\begin{aligned} u &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4(1)(23)}}{2(1)} \\ &=\frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \\ &=5 \pm \sqrt{2} \end{aligned}\)

Por lo tanto,\(u=5\pm\sqrt{2}\). Ahora vuelve a sustituir\(u=x^{2}\) y resolver para\(x\).

\(\begin{array}{c}{u=5-\sqrt{2} \quad \text { or } \quad u=5+\sqrt{2}}\\\color{Cerulean}{\downarrow\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\quad} \\ {x^{2}=5-\sqrt{2} \quad\quad\:\:\: x^{2}=5+\sqrt{2}} \\ {x=\pm \sqrt{5-\sqrt{2}} \quad\quad\: x=\pm \sqrt{5+\sqrt{2}}}\end{array}\)

Redondear las cuatro soluciones de la siguiente manera.

\(x=-\sqrt{5-\sqrt{2}} \approx-1.89 x=-\sqrt{5+\sqrt{2}} \approx-2.53 \)
\(x=\sqrt{5-\sqrt{2}} \approx 1.89 \quad x=\sqrt{5+\sqrt{2}} \approx 2.53 \)

Contestar

Las soluciones son aproximadamente\(\pm 1.89, \pm 2.53\).

Si se cuentan múltiples raíces y raíces complejas, entonces el teorema fundamental del álgebra ⁹ implica que cada polinomio con una variable tendrá tantas raíces como su grado. Por ejemplo, esperamos\(f (x) = x^{3} − 8\) tener tres raíces. En otras palabras, la ecuación

\(x^{3}-8=0\)

debe tener tres soluciones. Para encontrarlos uno podría pensar primero en tratar de extraer las raíces cubicas tal como lo hicimos con las raíces cuadradas,

\(\begin{aligned} x^{3}-8 &=0 \\ x^{3} &=8 \\ x &=\sqrt[3]{8} \\ x &=2 \end{aligned}\)

Como puede ver, esto lleva a una solución, la verdadera raíz cubo. Deberían haber otros dos; tratemos de encontrarlos.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Encuentra el conjunto de todas las raíces:\(f(x)=x^{3}-8\).

Solución

Observe que la expresión\(x^{3}-8\) es una diferencia de cubos y recuérdalo\(a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\). Aquí\(a=x\)\(b=2\) y y podemos escribir

\(\begin{aligned} x^{3}-8 &=0 \\(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right) &=0 \end{aligned}\)

A continuación, aplique la propiedad de producto cero y establezca cada factor igual a cero. Después de establecer los factores iguales a cero podemos entonces resolver la ecuación resultante utilizando los métodos apropiados.

\(\begin {array}{l r}{ x-2=0}&{ \:\text{or}\quad\:x^{2}+2x+4=0}\\ {x=2}&{\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(2) \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} \\ &=\frac{-2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2} \\ &=-1 \pm i \sqrt{3} \end{aligned}} \end{array}\)

Mediante este método, pudimos obtener el conjunto de las tres raíces\(\{2,-1 \pm i \sqrt{3}\}\), una real y dos complejas.

Contestar

\(\{2,-1 \pm i \sqrt{3}\}\)

A veces las raíces de una función ocurrirán varias veces. Por ejemplo,\(g (x) = (x − 2)^{3}\) tiene grado tres donde las raíces se pueden encontrar de la siguiente manera:

\((x-2)^{3}=0 \)
\((x-2)(x-2)(x-2)=0 \)

\(\begin{array}{c}{x-2=0 \text { or } x-2=0 \text { or } x-2=0} \\ {\quad\quad x=2\quad\quad\quad x=2 \quad\quad\quad x=2}\end{array}\)

A pesar de\(g\) que es de grado sólo\(3\) hay una raíz real\(\{2\}\); ocurre\(3\) veces.

Claves para llevar

• La fórmula cuadrática puede resolver cualquier ecuación cuadrática. Sin embargo, a veces no es el método más eficiente.
• Si una ecuación cuadrática puede resolverse factorizando o extrayendo raíces cuadradas deberías usar ese método.
• A veces podemos transformar ecuaciones en ecuaciones que son de forma cuadrática haciendo una\(u\) sustitución apropiada. Después de resolver la ecuación equivalente, volver a sustituir y resolver la variable original.
• Contando raíces múltiples y complejas, el teorema fundamental del álgebra garantiza tantas raíces como el grado de una ecuación polinómica con una variable.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver

1. \(x^{2}-9 x=0\)
2. \(x^{2}+10 x=0\)
3. \(15 x^{2}+6 x=0\)
4. \(36 x^{2}-18 x=0\)
5. \(x^{2}-90=0\)
6. \(x^{2}+48=0\)
7. \(2 x^{2}+1=0\)
8. \(7 x^{2}-1=0\)
9. \(6 x^{2}-11 x+4=0\)
10. \(9 x^{2}+12 x-5=0\)
11. \(x^{2}+x+6=0\)
12. \(x^{2}+2 x+8=0\)
13. \(4 t^{2}+28 t+49=0\)
14. \(25 t^{2}-20 t+4=0\)
15. \(u^{2}-4 u-1=0\)
16. \(u^{2}-2 u-11=0\)
17. \(2(x+2)^{2}=11+4 x-2 x^{2}\)
18. \((2 x+1)(x-3)+2 x^{2}=3(x-1)\)
19. \((3 x+2)^{2}=6(2 x+1)\)
20. \((2 x-3)^{2}+5 x^{2}=4(2-3 x)\)
21. \(4(3 x-1)^{2}-5=0\)
22. \(9(2 x+3)^{2}-2=0\)

Contestar

1. \(0,9\)

3. \(-\frac{2}{5}, 0\)

5. \(\pm 3 \sqrt{10}\)

7. \(\pm \frac{\sqrt{2}}{2} i\)

9. \(\frac{1}{2}, \frac{4}{3}\)

11. \(-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{23}}{2} i\)

13. \(-\frac{7}{2}\)

15. \(2\pm \sqrt{5}\)

17. \(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\)

19. \(\pm \frac{\sqrt{2}}{3}\)

21. \(\frac{2 \pm \sqrt{5}}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra todas las soluciones.

1. \(x^{4}+x^{2}-72=0\)
2. \(x^{4}-17 x^{2}-18=0\)
3. \(x^{4}-13 x^{2}+36=0\)
4. \(4 x^{4}-17 x^{2}+4=0\)
5. \(x+2 \sqrt{x}-3=0\)
6. \(x-\sqrt{x}-2=0\)
7. \(x-5 \sqrt{x}+6=0\)
8. \(x-6 \sqrt{x}+5=0\)
9. \(x^{2 / 3}+5 x^{1 / 3}+6=0\)
10. \(x^{2 / 3}-2 x^{1 / 3}-35=0\)
11. \(4 x^{2 / 3}-4 x^{1 / 3}+1=0\)
12. \(3 x^{2 / 3}-2 x^{1 / 3}-1=0\)
13. \(5 x^{-2}+9 x^{-1}-2=0\)
14. \(3 x^{-2}+8 x^{-1}-3=0\)
15. \(8 x^{-2}+14 x^{-1}-15=0\)
16. \(9 x^{-2}-24 x^{-1}+16=0\)
17. \(\left(\frac{x-3}{x}\right)^{2}-2\left(\frac{x-3}{x}\right)-24=0\)
18. \(\left(\frac{2 x+1}{x}\right)^{2}+9\left(\frac{2 x+1}{x}\right)-36=0\)
19. \(2\left(\frac{x}{x+1}\right)^{2}-5\left(\frac{x}{x+1}\right)-3=0\)
20. \(3\left(\frac{x}{3 x-1}\right)^{2}+13\left(\frac{x}{3 x-1}\right)-10=0\)
21. \(4 y^{-2}-9=0\)
22. \(16 y^{-2}+4 y^{-1}=0\)
23. \(30 y^{2 / 3}-15 y^{1 / 3}=0\)
24. \(y^{2 / 3}-9=0\)
25. \(81 y^{4}-1=0\)
26. \(5\left(\frac{1}{x+2}\right)^{2}-3\left(\frac{1}{x+2}\right)-2=0\)
27. \(12\left(\frac{x}{2 x-3}\right)^{2}-11\left(\frac{x}{2 x-3}\right)+2=0\)
28. \(10 x^{-2}-19 x^{-1}-2=0\)
29. \(x^{1 / 2}-3 x^{1 / 4}+2=0\)
30. \(x+5 \sqrt{x}-50=0\)
31. \(8 x^{2 / 3}+7 x^{1 / 3}-1=0\)
32. \(x^{4 / 3}-13 x^{2 / 3}+36=0\)
33. \(y^{4}-14 y^{2}+46=0\)
34. \(x^{4 / 3}-2 x^{2 / 3}+1=0\)
35. \(2 y^{-2}-y^{-1}-1=0\)
36. \(2 x^{-2 / 3}-3 x^{-1 / 3}-2=0\)
37. \(4 x^{-1}-17 x^{-1 / 2}+4=0\)
38. \(3 x^{-1}-8 x^{-1 / 2}+4=0\)
39. \(2 x^{1 / 3}-3 x^{1 / 6}+1=0\)
40. \(x^{1 / 3}-x^{1 / 6}-2=0\)

Contestar

1. \(\pm 2 \sqrt{2}, \pm 3 i\)

3. \(\pm 2, \pm 3\)

5. \(1\)

7. \(4,9\)

9. \(-27, -8\)

11. \(\frac{1}{8}\)

13. \(-\frac{1}{2}, 5\)

15. \(-\frac{2}{5}, \frac{4}{3}\)

17. \(\pm \frac{3}{5}\)

19. \(-\frac{3}{2},-\frac{1}{3}\)

21. \(\pm \frac{2}{3}\)

23. \(0, \frac{1}{8}\)

25. \(\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{i}{3}\)

27. \(-\frac{3}{2}, 6\)

29. \(1, 16\)

31. \(-1, \frac{1}{512}\)

33. \(\pm \sqrt{7-\sqrt{3}}, \pm \sqrt{7+\sqrt{3}}\)

35. \(-2,1\)

37. \(\frac{1}{16}, 16\)

39. \(\frac{1}{64}, 1\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra todas las soluciones. Redondee sus respuestas a la centésima más cercana.

1. \(x^{4}-6 x^{2}+7=0\)
2. \(x^{4}-6 x^{2}+6=0\)
3. \(x^{4}-8 x^{2}+14=0\)
4. \(x^{4}-12 x^{2}+31=0\)
5. \(4 x^{4}-16 x^{2}+13=0\)
6. \(9 x^{4}-30 x^{2}+1=0\)

Contestar

1. \(\pm 1.26, \pm 2.10\)

3. \(\pm 1.61, \pm 2.33\)

5. \(\pm 1.06, \pm 1.69\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el conjunto de todas las raíces.

1. \(f(x)=x^{3}-1\)
2. \(g(x)=x^{3}+1\)
3. \(f(x)=x^{3}-27\)
4. \(g(x)=x^{4}-16\)
5. \(h(x)=x^{4}-1\)
6. \(h(x)=x^{6}-1\)
7. \(f(x)=(2 x-1)^{3}\)
8. \(g(x)=x^{2}(x-4)^{2}\)
9. \(f(x)=x^{3}-q^{3}, q>0\)
10. \(f(x)=x^{3}+q^{3}, q>0\)

Contestar

1. \(\left\{1,-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i\right\}\)

3. \(\left\{3,-\frac{3}{2} \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2} i\right\}\)

5. \(\{\pm 1, \pm i\}\)

7. \(\left\{\frac{1}{2}\right\}\)

9. \(\left\{q,-\frac{q}{2} \pm \frac{q \sqrt{3}}{2} i\right\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra todas las soluciones.

1. \(x^{6}+7 x^{3}-8=0\)
2. \(x^{6}-7 x^{3}-8=0\)
3. \(x^{6}+28 x^{3}+27=0\)
4. \(x^{6}+16 x^{3}+64=0\)
5. \(\left|x^{2}+2 x-5\right|=1\)
6. \(\left|x^{2}-2 x-3\right|=3\)
7. \(\left|2 x^{2}-5\right|=4\)
8. \(\left|3 x^{2}-9 x\right|=6\)

Contestar

1. \(-2,1,1 \pm i \sqrt{3},-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i\)

3. \(-3,-1, \frac{3}{2} \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i\)

5. \(-1 \pm \sqrt{7},-1 \pm \sqrt{5}\)

7. \(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra una función cuadrática con coeficientes enteros y el conjunto dado de raíces. (Pista: si\(r_{1}\) y\(r_{2}\) son raíces, entonces\(\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right)=0 \).)

1. \(\{\pm 3 i\}\)
2. \(\{\pm i \sqrt{5}\}\)
3. \(\{\pm \sqrt{3}\}\)
4. \(\{\pm 2 \sqrt{6}\}\)
5. \(\{1 \pm \sqrt{3}\}\)
6. \(\{2 \pm 3 \sqrt{2}\}\)
7. \(\{1 \pm 6 i\}\)
8. \(\{2 \pm 3 i\}\)

Contestar

1. \(f(x)=x^{2}+9\)

3. \(f(x)=x^{2}-3\)

5. \(f(x)=x^{2}-2 x-2\)

7. \(f(x)=x^{2}-2 x+37\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

1. En una tarjeta de notas, escribe tu estrategia para resolver una ecuación cuadrática. Comparte tu estrategia en el panel de discusión.
2. Configura tu propia ecuación que sea cuadrática en forma. Compártelo y la solución en el panel de discusión

Contestar

1. La respuesta puede variar

Notas al pie

⁷ Una ecuación de la forma\(au^{2} + bu + c = 0\) donde\(a, b\) y\(c\) son números reales y u representa una expresión algebraica.

⁸ Una técnica en álgebra que utiliza la sustitución para transformar ecuaciones en formas familiares.

⁹ Si se cuentan múltiples raíces y raíces complejas, entonces cada polinomio con una variable tendrá tantas raíces como su grado.