4.2: Gráfica ecuaciones lineales en dos variables

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Reconocer la relación entre las soluciones de una ecuación y su gráfica.
Grafique una ecuación lineal trazando puntos.
Grafica líneas verticales y horizontales.

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Evaluar$3x+2$ cuándo$x=−1$.
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.5.34.
Resolver$3x+2y=12$ por y en general.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.6.16.

Reconocer la relación entre las soluciones de una ecuación y su gráfica

En la sección anterior, encontramos varias soluciones a la ecuación$3x+2y=6$. Se listan en la Tabla$\PageIndex{1}$. Entonces, los pares ordenados (0,3), (2,0), y$(1,\frac{3}{2})$ son algunas soluciones a la ecuación$3x+2y=6$. Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la Figura$\PageIndex{1}$.

Mesa$\PageIndex{1}$
3x+2y=6
x	y	(x, y)
0	3	(0,3)
2	0	(2,0)
1	$\frac{3}{2}$	$(1, \frac{3}{2})$

La figura muestra cuatro puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los cuatro puntos en (0, 3), (1, tres mitades), (2, 0) y (4, negativo 3). Los cuatro puntos parecen alinearse a lo largo de una línea recta. — Figura$\PageIndex{1}$

¿Observa cómo se alinean perfectamente los puntos? Conectamos los puntos con una línea para obtener la gráfica de la ecuación 3x+2y=6. Ver Figura$\PageIndex{2}$. Observe las flechas en los extremos de cada lado de la línea. Estas flechas indican que la línea continúa.

La figura muestra una línea recta dibujada a través de cuatro puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los cuatro puntos en (0, 3), (1, tres mitades), (2, 0) y (4, negativo 3). Una línea recta con pendiente negativa pasa por los cuatro puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando al borde de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación 3x más 2y es igual a 6. — Figura$\PageIndex{2}$

Cada punto de la línea es una solución de la ecuación. Además, cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea. Los puntos que no están en la línea no son soluciones.

Observe que el punto cuyas coordenadas son (−2,6) está en la línea que se muestra en la Figura$\PageIndex{3}$. Si sustituye x=−2 e y=6 en la ecuación, encuentra que es una solución a la ecuación.

La figura muestra una línea recta y dos puntos y en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los dos puntos y son etiquetados por las coordenadas “(negativo 2, 6)” y “(4, 1)”. La recta pasa por el punto (negativo 2, 6) pero no pasa por el punto (4, 1). — Figura$\PageIndex{3}$

$La figura muestra una serie de ecuaciones para verificar si el par ordenado (negativo 2, 6) es una solución a la ecuación 3x más 2y es igual a 6. La primera línea indica “Test (negativo 2, 6)”. El negativo 2 es de color azul y el 6 es de color rojo. La segunda línea establece la ecuación de dos variables 3x más 2y es igual a 6. La tercera línea muestra el par ordenado sustituido en la ecuación de dos variables dando como resultado 3 (negativo 2) más 2 (6) es igual a 6 donde el negativo 2 es de color azul para mostrar que es el primer componente en el par ordenado y el 6 es rojo para mostrar que es el segundo componente en el par ordenado. La cuarta línea es la ecuación simplificada negativa 6 más 12 es igual a 6. La quinta línea es la ecuación más simplificada 6iguales6. Se escribe una marca de verificación junto a la última ecuación para indicar que es una declaración verdadera y mostrar que (negativo 2, 6) es una solución a la ecuación 3x más 2y es igual a 6.$

Entonces el punto (−2,6) es una solución a la ecuación$3x+2y=6$. (La frase “el punto cuyas coordenadas son (−2,6)” a menudo se acorta a “el punto (−2,6)”).

La figura muestra una serie de ecuaciones para verificar si el par ordenado (4, 1) es una solución a la ecuación 3x más 2y es igual a 6. La primera línea dice “¿Qué pasa con (4, 1)?”. El 4 es de color azul y el 1 es de color rojo. La segunda línea establece la ecuación de dos variables 3x más 2y es igual a 6. La tercera línea muestra el par ordenado sustituido en la ecuación de dos variables dando como resultado 3 (4) más 2 (1) es igual a 6 donde el 4 es de color azul para mostrar que es el primer componente en el par ordenado y el 1 es rojo para mostrar que es el segundo componente en el par ordenado. La cuarta línea es la ecuación simplificada 12 más 2 es igual a 6. Se coloca un signo de interrogación encima del signo igual para indicar que no se sabe si la ecuación es verdadera o falsa. El quinto renglón es el enunciado simplificado adicional 14 no igual a 6. Un signo de “no es igual” se escribe entre los dos números y parece un signo de igual con una barra hacia adelante a través de él. — Figura$\PageIndex{3}$. Este es un ejemplo del dicho: “Una imagen vale más que mil palabras”. La línea te muestra *todas* las soluciones a la ecuación. Cada punto de la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama la *gráfica* de la ecuación$3x+2y=6$.

GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN

La gráfica de una ecuación lineal Ax+By=C es una línea.

Cada punto de la línea es una solución de la ecuación.
Toda solución de esta ecuación es un punto en esta línea.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Se muestra la gráfica de y=2x−3.

$La figura muestra una línea recta en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. La línea recta tiene una pendiente positiva y pasa por el eje y en el (0, negativo 3). La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a 2x negativo 3.$

Por cada par ordenado, decida:

¿El par ordenado es una solución a la ecuación?
¿Está el punto en la línea?

A (0, −3) B (3,3) C (2, −3) D (−1, −5)

Contestar

Sustituir los valores x - e y - en la ecuación para verificar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

1.
$La figura muestra una serie de ecuaciones para verificar si los pares ordenados (0, negativo 3), (3, 3), (2, negativo 3), y (negativo 1, negativo 5) son soluciones a la ecuación y es igual a 2x negativo 3. La primera línea establece los pares ordenados con las etiquetas A: (0, negativo 3), B: (3, 3), C: (2, negativo 3) y D: (negativo 1, negativo 5). Los primeros componentes son de color azul y los segundos componentes son de color rojo. La segunda línea establece que la ecuación de dos variables y es igual a 2x menos 3. La tercera línea muestra los cuatro pares ordenados sustituidos en la ecuación de dos variables dando como resultado cuatro ecuaciones. La primera ecuación es negativa 3 es igual a 2 (0) menos 3 donde el 0 es de color pista y el negativo 3 en el lado izquierdo de la ecuación es de color rojo. La segunda ecuación es 3 es igual a 2 (3) menos 3 donde el 3 entre paréntesis es de color de pista y el 3 en el lado izquierdo de la ecuación es de color rojo. La tercera ecuación es negativa 3 es igual a 2 (2) menos 3 donde el 2 entre paréntesis es de color de pista y el negativo 3 en el lado izquierdo de la ecuación es de color rojo. La cuarta ecuación es negativa 5 es igual a 2 (negativo 1) menos 3 donde el negativo 1 es de color pista y el negativo 5 es de color rojo. Los signos de interrogación se colocan sobre todo los signos iguales para indicar que no se sabe si las ecuaciones son verdaderas o falsas. La cuarta línea muestra las versiones simplificadas de las cuatro ecuaciones. El primero es negativo 3 es igual a negativo 3 con una marca de verificación que indica (0, negativo 3) es una solución. El segundo es 3 es igual a 3 con una marca de verificación que indica que (3, 3) es una solución. El tercero es negativo 3 no es igual a 1 indicando (2, negativo 3) no es una solución. El cuarto es negativo 5 es igual a negativo 5 con una marca de verificación que indica (negativo 1, negativo 5) es una solución.$

2. Trazar los puntos A (0,3), B (3,3), C (2, −3) y D (−1, −5).

$La figura muestra una línea recta y cuatro puntos y en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los dos puntos y son etiquetados por las coordenadas (negativo 1, negativo 5), (0, negativo 3), (2, negativo 3) y (3, 3). La recta, etiquetada con la ecuación y es igual a 2x negativo 3 pasa por los tres puntos (negativo 1, negativo 5), (0, negativo 3), y (3, 3) pero no pasa por el punto (2, negativo 3).$

Los puntos que son soluciones a y=2x−3 están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

Los puntos (0,3), (3,3) y (−1, −5) están en la línea y=2x−3, y el punto (2, −3) no está en la línea.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Usa la gráfica de y=3x−1 para decidir si cada par ordenado es:

una solución a la ecuación.
en la línea.

(0, −1)
(2,5)

$La figura muestra una línea recta en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. La recta pasa por el punto (negativo 2, negativo 7) y por cada 3 unidades sube, va una unidad a la derecha. La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a 3x menos 1.$

Contestar

si, si
si, si

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Usa la gráfica de y=3x−1 para decidir si cada par ordenado es:

una solución a la ecuación
en la línea

(3, −1)
(−1, −4)

Contestar

no, no
si, si

Graficar una ecuación lineal trazando puntos

Existen varios métodos que se pueden utilizar para graficar una ecuación lineal. El método que usamos para graficar 3x+2y=6 se llama puntos de trazado, o el Método Punto-Trazado.

Ejercicio$\PageIndex{4}$: How To Graph an Equation By Plotting Points

Grafica la ecuación y=2x+1 trazando puntos.

Contestar: $La figura muestra el procedimiento de tres pasos para graficar una línea de la ecuación usando la ecuación de ejemplo y es igual a 2x menos 1. El primer paso es “Encontrar tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Organizar las soluciones en una mesa”. Se hace el comentario que “Se puede elegir cualquier valor para x o y En este caso, ya que y está aislado en el lado izquierdo de la ecuación, es más fácil elegir valores para x”. El trabajo para el primer paso del ejemplo se muestra a través de una serie de ecuaciones alineadas verticalmente. De arriba hacia abajo, las ecuaciones son y es igual a 2x más 1, x es igual a 0 (donde el 0 es azul), y es igual a 2x más 1, y es igual a 2 (0) más 1 (donde el 0 es azul), y es igual a 0 más 1, y es igual a 1, x es igual a 1 (donde el 1 es azul), y es igual a 2x más 1, y es igual a 2 (1) más 1 (donde el 1 es azul), y es igual a 2 más 1, y es igual a 3, x es igual a negativo 2 (donde el negativo 2 es azul), y es igual a 2x más 1, y es igual a 2 (negativo 2) más 1 (donde el negativo 2 es azul), y es igual a negativo 4 más 1, y es igual a negativo 3. El trabajo se organiza entonces en una mesa. La tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación y es igual a 2x más 1. La segunda fila es una fila de encabezado y etiqueta cada columna. El encabezado de la primera columna es “x”, el segundo es “y” y el tercero es “(x, y)”. Debajo de la primera columna están los números 0, 1 y negativo 2. Debajo de la segunda columna están los números 1, 3, y negativo 3. Debajo de la tercera columna están los pares ordenados (0, 1), (1, 3) y (negativo 2, negativo 3).$ $El segundo paso es “Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. Comprueba que los puntos se alineen. Si no lo hacen, ¡revisa cuidadosamente tu trabajo!” Para el ejemplo los puntos son (0, 1), (1, 3), y (negativo 2, negativo 3). Una gráfica muestra los tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos en (0, 1), (1, 3) y (negativo 2, negativo 3). La pregunta “¿Se alinean los puntos?” se afirma y se le sigue con la respuesta “Sí, los puntos se alinean”.$ $El tercer paso del procedimiento es “Dibujar la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la cuadrícula y coloca flechas en ambos extremos de la línea”. Una gráfica muestra una línea recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos en (0, 1), (1, 3) y (negativo 2, negativo 3). Una línea recta pasa por los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando al borde de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a 2x más 1. Al lado de la gráfica se incluye el enunciado “Esta línea es la gráfica de y es igual a 2x más 1”.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Grafica la ecuación trazando puntos: y=2x−3.

Contestar: $La figura muestra una línea recta en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. La recta pasa por los puntos (negativo 2, negativo 7), (negativo 1, negativo 5), (0, negativo 3), (1, negativo 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) y (5, 7). Hay flechas en los extremos de la línea que apuntan hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Grafica la ecuación trazando puntos: y=−2x+4.

Contestar: $La figura muestra una línea recta en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. La recta pasa por los puntos (negativo 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, negativo 2), (4, negativo 4), y (5, negativo 6). Hay flechas en los extremos de la línea que apuntan hacia el exterior de la figura.$

Los pasos a seguir al graficar una ecuación lineal trazando puntos se resumen a continuación.

GRAPAR UNA Ecuación Lineal Trazando Puntos

Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organizarlos en una mesa.
Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. Comprueba que los puntos se alineen. Si no lo hacen, revisa cuidadosamente tu trabajo.
Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la cuadrícula y coloca flechas en ambos extremos de la línea.

Es cierto que sólo se necesitan dos puntos para determinar una línea, pero es un buen hábito usar tres puntos. Si solo trazas dos puntos y uno de ellos es incorrecto, aún puedes dibujar una línea pero no representará las soluciones a la ecuación. Será la línea equivocada.

Si usas tres puntos, y uno es incorrecto, los puntos no se alinearán. Esto te dice que algo anda mal y necesitas revisar tu trabajo. Observe la diferencia entre la parte (a) y la parte (b) en la Figura$\PageIndex{4}$.

La figura a muestra tres puntos con una línea recta que los atraviesa. La figura b muestra tres puntos que no se encuentran en la misma línea. — Figura$\PageIndex{4}$

Hagamos otro ejemplo. Esta vez, mostraremos los dos últimos pasos todos en una grilla.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Grafica la ecuación y=−3x.

Contestar

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Aquí, nuevamente, es más fácil elegir valores para x. ¿Ves por qué?

$La figura muestra tres conjuntos de ecuaciones utilizadas para determinar pares ordenados a partir de la ecuación y es igual a negativo 3x. El primer conjunto tiene las ecuaciones: x es igual a 0 (donde el 0 es azul), y es igual a negativo 3x, y es igual a negativo 3 (0) (donde el 0 es azul), y es igual a 0. El segundo conjunto tiene las ecuaciones: x es igual a 1 (donde el 1 es azul), y es igual a negativo 3x, y es igual a negativo 3 (1) (donde el 1 es azul), y es igual a negativo 3. El tercer conjunto tiene las ecuaciones: x es igual a negativo 2 (donde el negativo 2 es azul), y es igual a negativo 3x, y es igual a negativo 3 (negativo 2) (donde el negativo 2 es azul), y es igual a 6.$

Enlistamos los puntos en la Tabla$\PageIndex{2}$.

Mesa$\PageIndex{2}$
y=−3x
x	y	(x, y)
0	0	(0,0)
1	−3	(1, −3)
−2	6	(−2,6)

Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

$La figura muestra una línea recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (negativo 2, 6), (0, 0) y (1, negativo 3). Una línea recta pasa por los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a 3x negativo.$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Grafica la ecuación trazando puntos: y=−4x.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 2, 8), (0, 0) y (2, negativo 8). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Grafica la ecuación trazando puntos: y=x.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 8, negativo 8), (negativo 6, negativo 6), (negativo 4, negativo 4), (negativo 2, negativo 2), (0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6) y (8, 8). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Cuando una ecuación incluye una fracción como coeficiente de x, todavía podemos sustituir cualquier número por x. Pero la matemática es más fácil si hacemos “buenas” elecciones para los valores de x. De esta manera evitaremos respuestas de fracciones, que son difíciles de graficar con precisión.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Grafica la ecuación$y = \frac{1}{2}x + 3$.

Contestar

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Dado que esta ecuación tiene la fracción$\frac{1}{2}$ como un coeficiente de x, elegiremos valores de x cuidadosamente. Usaremos cero como una opción y múltiplos de 2 para las otras opciones. ¿Por qué los múltiplos de 2 son una buena opción para valores de x?

$La figura muestra tres conjuntos de ecuaciones utilizadas para determinar pares ordenados a partir de la ecuación y es igual a (una mitad) x más 3. El primer conjunto tiene las ecuaciones: x es igual a 0 (donde el 0 es azul), y es igual a (una mitad) x más 3, y es igual a (una mitad) (0) más 3 (donde el 0 es azul), y es igual a 0 más 3, y es igual a 3. El segundo conjunto tiene las ecuaciones: x es igual a 2 (donde el 2 es azul), y es igual a (una mitad) x más 3, y es igual a (una mitad) (2) más 3 (donde el 2 es azul), y es igual a 1 más 3, y es igual a 4. El tercer conjunto tiene las ecuaciones: x es igual a 4 (donde el 4 es azul), y es igual a (una mitad) x más 3, y es igual a (una mitad) (4) más 3 (donde el 4 es azul), y es igual a 2 más 3, y es igual a 5.$

Los puntos se muestran en la Tabla$\PageIndex{3}$.

Mesa$\PageIndex{3}$
y=12x+3
x	y	(x, y)
0	3	(0,3)
2	4	(2,4)
4	5	(4,5)

Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

$La figura muestra una línea recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (0, 3), (2, 4) y (4, 5). Una línea recta pasa por los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a (una mitad) x más 3.$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Grafica la ecuación$y = \frac{1}{3}x - 1$.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 9, negativo 4), (negativo 6, negativo 3), (negativo 3, negativo 2), (0, negativo 1), (3, 0), (6, 1) y (9, 2). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Grafica la ecuación$y = \frac{1}{4}x + 2$.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 12, negativo 1), (negativo 8, 0), (negativo 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) y (12, 5). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Hasta ahora, todas las ecuaciones que graficamos tenían y dadas en términos de x Ahora vamos a graficar una ecuación con x e y en el mismo lado. Veamos qué pasa en la ecuación 2x+y=3. Si y=0 ¿cuál es el valor de x?

$La figura muestra un conjunto de ecuaciones utilizadas para determinar un par ordenado a partir de la ecuación 2x más y es igual a 3. La primera ecuación es y es igual a 0 (donde el 0 es rojo). La segunda ecuación es la ecuación de dos variables 2x más y es igual a 3. La tercera ecuación es la ecuación de la variable onenegativa 2x más 0 es igual a 3 (donde el 0 es rojo). La cuarta ecuación es 2x es igual a 3. La quinta ecuación es x equivale a tres mitades. La última línea es el par ordenado (tres mitades, 0).$

Este punto tiene una fracción para la coordenada x y, si bien podríamos graficar este punto, es difícil ser precisos graficando fracciones. Recuerda en el ejemplo y=12x+3, elegimos cuidadosamente los valores para x para no graficar fracciones en absoluto. Si resolvemos la ecuación 2x+y=3 para y, será más fácil encontrar tres soluciones a la ecuación.

\[\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\ y &=-2 x+3 \end{aligned}\]

Las soluciones para x=0, x=1 y x=−1 se muestran en la Tabla$\PageIndex{4}$. La gráfica se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$.

Mesa$\PageIndex{4}$
2x+y=3
x	y	(x, y)
0	3	(0,3)
1	1	(1,1)
−1−1	5	(−1,5)

La figura muestra una línea recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (negativo 1, 5), (0, 3) y (1, 1). Una línea recta pasa por los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación 2x más y es igual a 3. — Figura$\PageIndex{5}$

¿Puedes localizar el punto$(\frac{3}{2}, 0)$ que encontramos dejando y=0, en la línea?

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Grafica la ecuación 3x+y=−1.

Contestar

$\begin{array}{lrll} { \text { Find three points that are solutions to the equation. } } & {3 x+y} &{=} &{-1} \\ {\text { First solve the equation for } y.} &{y} &{=} &{-3 x-1} \end{array}$

Dejaremos que x sea 0, 1 y −1 para encontrar 3 puntos. Los pares ordenados se muestran en la Tabla$\PageIndex{5}$. Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea. Ver Figura$\PageIndex{6}$.

Mesa$\PageIndex{5}$
3x+y=−1
x	y	(x, y)
0	−1	(0, −1)
1	−4	(1, −4)
−1	2	(−1,2)

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Grafica la ecuación 2x+y=2.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 4, 10), (negativo 2, 6), (0, 2), (2, negativo 2), (4, negativo 6), y (6, negativo 10). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Grafica la ecuación 4x+y=−3.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 3, 9), (negativo 2, 5), (negativo 1, 1), (0, negativo 3), (1, negativo 7), y (2, negativo 10). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Si puedes elegir tres puntos para graficar una línea, ¿cómo sabrás si tu gráfica coincide con la que se muestra en las respuestas del libro? Si los puntos donde las gráficas cruzan los ejes x e y son iguales, ¡las gráficas coinciden!

La ecuación en Ejercicio$\PageIndex{13}$ se escribió en forma estándar, con tanto x como y en el mismo lado. Resolvimos esa ecuación para y en un solo paso. Pero para otras ecuaciones en forma estándar no es tan fácil de resolver para y, por lo que las dejaremos en forma estándar. Todavía podemos encontrar un primer punto para trazar dejando x=0 y resolviendo para y. Podemos trazar un segundo punto dejando y=0 y luego resolviendo para x. Luego trazaremos un tercer punto usando algún otro valor para x o y.

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Grafica la ecuación$2x−3y=6$.

Contestar

$\begin{array}{lrll} \text { Find three points that are solutions to the } & 2 x-3 y &= &6 \\ \text { equation. } & 2 x-3 y&=&6 \\ \text { First let } x=0 . & 2(0)-3 y&=&6 \\ \text { Solve for } y . &-3 y&=&6 \\ & y&=&-2 \\\\ \text { Now let } y=0 . & 2 x-3(0)&=&6 \\ \text { Solve for } x . & 2 x&=&6 \\ & x&=& 3 \\ \\ \text{ We need a third point. Remember, we can}&2(6)-3 y &=&6 \\ \text{ choose any value for x or y. We’ll let x = 6.}&12-3 y &=&6 \\ \text{ Solve fory.}&-3 y &=&-6 \\ &y &=&2\end{array}$

Enlistamos los pares ordenados en Tabla$\PageIndex{6}$. Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea. Ver Figura$\PageIndex{7}$.

Mesa$\PageIndex{6}$
2x−3y=6
x	yT	(x, y)
0	−2	(0, −2)
3	0	(3,0)
6	2	(6,2)

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Grafica la ecuación$4x+2y=8$.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. La recta pasa por los puntos (negativo 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, negativo 2), y (4, negativo 4). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Grafica la ecuación$2x−4y=8$.

Contestar: $La figura muestra una línea recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. La recta pasa por los puntos (negativo 6, negativo 5), (negativo 4, negativo 4), (negativo 2, negativo 3), (0, negativo 2), (2, negativo 1), (4, 0) y (6, 1). La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Gráfica Líneas Verticales y Horizontales

¿Podemos graficar una ecuación con una sola variable? Sólo x y no y, o simplemente y sin una x? ¿Cómo haremos una tabla de valores para obtener los puntos para trazar?

Consideremos la ecuación x=−3. Esta ecuación tiene sólo una variable, x. La ecuación dice que x siempre es igual a −3, por lo que su valor no depende de y. No importa lo que sea y, el valor de x es siempre −3.

Entonces, para hacer una tabla de valores, escriba −3 en para todos los valores x. Después elige cualquier valor para y. ya que x no depende de y, puedes elegir cualquier número que te guste. Pero para ajustar los puntos en nuestra gráfica de coordenadas, usaremos 1, 2 y 3 para las coordenadas y. Ver Tabla$\PageIndex{7}$

Mesa$\PageIndex{7}$
x=−3
x	y	(x, y)
−3	1	(−3,1)
−3	2	(−3,2)
−3	3	(−3,3)

Traza los puntos de la Tabla$\PageIndex{7}$ y conéctelos con una línea recta. Observe en Figura$\PageIndex{8}$ que hemos graficado una línea vertical.

La figura muestra una línea recta vertical dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (negativo 3, 1), (negativo 3, 2) y (negativo 3, 3). Una línea recta vertical atraviesa los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación x es igual a negativo 3. — Figura$\PageIndex{8}$

LÍNEA VERTICAL

Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma x=a.

La línea pasa a través del eje x en (a,0).

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Grafica la ecuación x=2.

Contestar

La ecuación tiene solo una variable, x, y x siempre es igual a 2. Creamos Tabla$\PageIndex{8}$ donde x es siempre 2 y luego ponemos cualquier valor para y. La gráfica es una línea vertical que pasa por el eje x en 2. Ver Figura$\PageIndex{9}$.

Mesa$\PageIndex{8}$
x=2
x	y	(x, y)
2	1	(2,1)
2	2	(2,2)
2	3	(2,3)

La figura muestra una línea vertical recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (2, 1), (2, 2) y (2, 3). Una línea recta vertical atraviesa los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación x es igual a 2. — Figura$\PageIndex{9}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Grafica la ecuación x=5.

Contestar: $La figura muestra una línea vertical recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (5, 1), (5, 2), (5, 3), y todos los demás puntos con la primera coordenada 5. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Grafica la ecuación x=−2.

Contestar: $La figura muestra una línea vertical recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 2, 1), (negativo 2, 2), (negativo 2, 3), y todos los demás puntos con la primera coordenada negativa 2. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

¿Y si la ecuación tiene y pero no x? Vamos a graficar la ecuación y=4. Esta vez el valor y - es una constante, por lo que en esta ecuación, y no depende de xx. Rellene 4 para todas las y en Tabla$\PageIndex{9}$ y luego elija cualquier valor para x. Usaremos 0, 2 y 4 para las coordenadas x.

Mesa$\PageIndex{9}$
y=4
x	y	(x, y)
0	4	(0,4)
2	4	(2,4)
4	4	(4,4)

La gráfica es una línea horizontal que pasa por el eje y en 4. Ver Figura$\PageIndex{10}$.

La figura muestra una línea horizontal recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (0, 4), (2, 4) y (4, 4). Una línea recta horizontal atraviesa los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a 4. — Figura$\PageIndex{10}$

LINE HORIZONTAL

Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma y=b.

La línea pasa por el eje y en (0, b).

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Grafica la ecuación y=−1.

Contestar

La ecuación y=−1y=−1 tiene solo una variable, y. El valor de y es constante. Todos los pares ordenados en Tabla$\PageIndex{10}$ tienen la misma coordenada y. La gráfica es una línea horizontal que pasa por el eje y en −1−1, como se muestra en la Figura$\PageIndex{11}$.

Mesa$\PageIndex{10}$
y=−1
x	y	(x, y)
	Ta−1	(0, −1)
	−1	(3, −1)
−3	−1	(−3, −1)

$La figura muestra una línea horizontal recta dibujada a través de tres puntos en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Los puntos marcan los tres puntos que están etiquetados por sus pares ordenados (negativo 3, negativo 1), (0, negativo 1) y (3, negativo 1). Una línea recta horizontal atraviesa los tres puntos. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura. La línea se etiqueta con la ecuación y es igual a negativo 1.$

Figura$\PageIndex{11}$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Grafica la ecuación y=−4.

Contestar: $La figura muestra una línea horizontal recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 4, negativo 4), (0, negativo 4), (4, negativo 4), y todos los demás puntos con segunda coordenada negativa 4. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Grafica la ecuación y=3.

Contestar: $La figura muestra una línea horizontal recta dibujada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 4, 3), (0, 3), (4, 3), y todos los demás puntos con segunda coordenada 3. La línea tiene flechas en ambos extremos apuntando hacia el exterior de la figura.$

Las ecuaciones para líneas verticales y horizontales se ven muy similares a ecuaciones como y=4x. ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones y=4x e y=4?

La ecuación y=4x tiene tanto x como y. El valor de y depende del valor de x. La coordenada y cambia según el valor de x. La ecuación y=4 tiene sólo una variable. El valor de y es constante. La coordenada y es siempre 4. No depende del valor de x. Ver Tabla$\PageIndex{11}$.

Mesa$\PageIndex{11}$
y=4x			y=4
x	y	(x, y)	x	y	(x, y)
0	0	(0,0)	0	4	(0,4)
1	4	(1,4)	1	4	(1,4)
2	8	(2,8)	2	4	(2,4)

La figura muestra dos líneas rectas dibujadas en el mismo plano de coordenadas x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Una línea es una línea horizontal recta etiquetada con la ecuación y es igual a 4. La otra línea es una línea inclinada etiquetada con la ecuación y es igual a 4x. — Figura$\PageIndex{12}$

Observe, en la Figura$\PageIndex{12}$, la ecuación y=4x da una línea inclinada, mientras que y=4 da una línea horizontal.

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Gráfica y=−3x e y=−3 en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

Contestar

Observe que la primera ecuación tiene la variable x, mientras que la segunda no. Ver Tabla$\PageIndex{12}$. Las dos gráficas se muestran en la Figura$\PageIndex{13}$.

Mesa$\PageIndex{12}$
y=−3x			y=−3
x	y	(x, y)	x	y	(x, y)
		(0,0)		−3	(0, −3)
	−3	(1, −3)		−3	(1, −3)
	−6	(2, −6)		−3	(2, −3)

$La figura muestra dos líneas rectas dibujadas en el mismo plano de coordenadas x y. El eje x del plano va del negativo 7 al 7. El eje y del plano va de negativo 7 a 7. Una línea es una línea horizontal recta etiquetada con la ecuación y es igual a negativo 3. La otra línea es una línea inclinada etiquetada con la ecuación y es igual a 3x negativo.$

Figura$\PageIndex{13}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Gráfica y=−4x e y=−4 en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

Contestar: $La figura muestra dos líneas rectas dibujadas en el mismo plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. Una línea es una recta horizontal que atraviesa los puntos (negativo 4, negativo 4), (0, negativo 4), (4, negativo 4), y todos los demás puntos con segunda coordenada negativa 4. La otra línea es una línea inclinada que atraviesa los puntos (negativo 2, 8), (negativo 1, 4), (0, 0), (1, negativo 4) y (2, negativo 8).$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

Gráfica y=3 e y=3x en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

Contestar: $La figura muestra dos líneas rectas dibujadas en el mismo plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de negativo 12 a 12. El eje y del plano va de negativo 12 a 12. Una línea es una recta horizontal que atraviesa los puntos (negativo 4, 3) (0, 3), (4, 3), y todos los demás puntos con la segunda coordenada 3. La otra línea es una línea inclinada que atraviesa los puntos (negativo 2, negativo 6), (negativo 1, negativo 3), (0, 0), (1, 3) y (2, 6).$

Conceptos clave

Graficar una ecuación lineal trazando puntos
1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organizarlos en una mesa.
2. Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. Comprueba que los puntos se alineen. Si no lo hacen, ¡revisa cuidadosamente tu trabajo!
3. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la cuadrícula y coloca flechas en ambos extremos de la línea.

Glosario

gráfico de una ecuación lineal: La gráfica de una ecuación lineal Ax+By=C es una línea recta. Cada punto de la línea es una solución de la ecuación. Toda solución de esta ecuación es un punto en esta línea.

línea horizontal: Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma y=b La línea pasa por el eje y en (0, b).

línea vertical: Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma x=a. La línea pasa por el eje x en (a,0).

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GRAPAR UNA Ecuación Lineal Trazando Puntos

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