4.5: Usar la forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Reconocer la relación entre la gráfica y la forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea
• Identificar la pendiente y la forma de intersección y de una ecuación de una línea
• Graficar una línea usando su pendiente e intercepción
• Elija el método más conveniente para graficar una línea
• Graficar e interpretar aplicaciones de pendiente-intercepción
• Usar pendientes para identificar líneas paralelas
• Usar pendientes para identificar líneas perpendiculares

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Agregar:\(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.7.1.
2. Encuentra el recíproco de\(\frac{3}{7}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.6.19.
3. Resolver\(2x−3y=12\) para\(y\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.6.16.

Reconocer la relación entre la gráfica y la forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea

Hemos graficado ecuaciones lineales trazando puntos, usando intercepciones, reconociendo líneas horizontales y verticales, y usando el método punto-pendiente. Una vez que veamos cómo se relacionan una ecuación en forma pendiente-intercepción y su gráfica, tendremos un método más que podemos usar para graficar líneas.

En Gráfica ecuaciones lineales en dos variables, graficamos la línea de la ecuación\(y=12x+3\) trazando puntos. Ver Figura\(\PageIndex{1}\). Encontremos la pendiente de esta línea.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Las líneas rojas nos muestran que la subida es\(1\) y la carrera es\(2\). Sustituyendo en la fórmula de pendiente:

\[\begin{aligned} m &=\frac{\text { rise }}{\text { rise }} \\ m &=\frac{1}{2} \end{aligned}\]

¿Cuál es la\(y\) -intercepción de la línea? El\(y\) -intercept es donde la línea cruza el\(y\) eje -, entonces\(y\) -intercept es\((0,3)\). La ecuación de esta línea es:

Aviso, la línea tiene:

Cuando se resuelve una ecuación lineal para\(y\), el coeficiente del\(x\) término es la pendiente y el término constante es la\(y\) coordenada de la\(y\) -intercepción. Decimos que la ecuación\(y=\frac{1}{2}x+3\) está en forma pendiente-intercepción.

FORMA DE PENDIA-INTERCEPCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

La forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea con pendiente mm e\(y\) -intercepción,\((0,b)\) es,

\[y=mx+b\]

A veces la forma pendiente-intercepción se llama la “forma y”.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice la gráfica para encontrar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea,\(y=2x+1\).

Compara estos valores con la ecuación\(y=mx+b\).

Contestar

Para encontrar la pendiente de la línea, necesitamos elegir dos puntos en la línea. Usaremos los puntos\((0,1)\) y\((1,3)\).

Encuentra el ascenso y corre.
Encuentra la\(y\) -intercepción de la línea.	El\(y\) -intercepto es el punto\((0, 1)\).

La pendiente es la misma que el coeficiente de\(x\) y la\(y\) coordenada de la\(y\) -intercepción es la misma que el término constante.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Usa la gráfica para encontrar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(y=\frac{2}{3}x−1\). Compara estos valores con la ecuación\(y=mx+b\).

Contestar

pendiente\(m = \frac{2}{3}\) e\(y\) intercepción\((0,−1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usa la gráfica para encontrar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(y=\frac{1}{2}x+3\). Compara estos valores con la ecuación\(y=mx+b\).

Contestar

pendiente\(m = \frac{1}{2}\) e\(y\) intercepción\((0,3)\)

Identificar la pendiente y la\(y\) intersección a partir de una ecuación de una línea

En Comprender la[1] Pendiente de una Línea, graficamos una línea usando el talud y un punto. Cuando se nos da una ecuación en forma de pendiente-intercepción, podemos usar la\(y\) -intercepción como punto, y luego contar la pendiente a partir de ahí. Practicemos encontrar los valores de la pendiente e\(y\) -interceptar a partir de la ecuación de una línea.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Identificar la pendiente e\(y\) -intercepción de la línea con ecuación\(y=−3x+5\).

Contestar

Comparamos nuestra ecuación con la forma pendiente-intercepción de la ecuación.

Escribe la ecuación de la línea.
Identificar la pendiente.
Identificar la\(y\) -intercepción.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Identificar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(y=\frac{2}{5}x−1\).

Contestar

\(\frac{2}{5}\); (0, −1)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Identificar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(y=−\frac{4}{3}x+1\).

Contestar

\(-\frac{4}{3}\); (0,1)

Cuando una ecuación de una línea no se da en forma de pendiente-intercepción, nuestro primer paso será resolver la ecuación para\(y\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Identificar la pendiente e\(y\) -intercepción de la línea con ecuación\(x+2y=6\).

Contestar

Esta ecuación no está en forma de pendiente-intercepción. Para compararlo con la forma pendiente-intercepción primero debemos resolver la ecuación para\(y\).

Resolver para\(y\).	\(x+2y=6\)
Restar x de cada lado.
Divide ambos lados por\(2\).
Simplificar.
(Recuerda:\(\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}\))
Simplificar.
Escriba la forma pendiente-intercepción de la ecuación de la línea.
Escribe la ecuación de la línea.
Identificar la pendiente.
Identificar la\(y\) -intercepción.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Identificar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(x+4y=8\).

Contestar

\(-\frac{1}{4}\);( 0,2)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Identificar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(3x+2y=12\).

Contestar

\(-\frac{2}{3}\);( 0,6)

Graficar una línea usando su pendiente e intercepción

Ahora que sabemos encontrar la pendiente e\(y\) -intercepción de una línea a partir de su ecuación, podemos graficar la línea trazando la\(y\) -intercepción y luego usando la pendiente para encontrar otro punto.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\): How to Graph a Line Using its Slope and Intercept

Grafica la línea de la ecuación\(y=4x−2\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=4x+1\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=2x−3\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Contestar

GRAPAR UNA LÍNEA UTILIZANDO SU\(y\)-INTERCEPT.

1. Encuentra la forma pendiente-intercepción de la ecuación de la línea.
2. Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.
3. Trazar la\(y\) -intercepción.
4. Utilice la fórmula de pendiente\(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) para identificar la subida y la carrera.
5. A partir de la\(y\) -intercepción, cuente la subida y corra para marcar el segundo punto.
6. Conecta los puntos con una línea.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=−x+4\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Contestar

	\(y=mx+b\)
La ecuación está en forma de pendiente-intercepción.	\(y=−x+4\)
Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.	\(m=−1\)
	\(y\)-intercepción es\((0, 4)\)
Trazar la\(y\) -intercepción.	Ver gráfico a continuación.
Identificar la subida y la carrera.	\(m = \frac{-1}{1}\)
Cuenta la subida y corre para marcar el segundo punto.	subir\(−1\), correr\(1\)
Dibuja la línea.
Para verificar tu trabajo, puedes encontrar otro punto en la línea y asegurarte de que sea una solución de la ecuación. En la gráfica vemos que la línea pasa por\((4, 0)\).

chequear.

\(\begin{array}{l}{y=-x+4} \\ {0\stackrel{?}{=}-4+4} \\ {0=0\checkmark}\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=−x−3\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=−x−1\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=−\frac{2}{3}x−3\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

	\(y=mx+b\)
La ecuación está en forma de pendiente-intercepción.	\(y=−\frac{2}{3}x−3\)
Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.	\(m = -\frac{2}{3}\);\(y\) -intercepción es\((0, −3)\)
Trazar la\(y\) -intercepción.	Ver gráfico a continuación.
Identificar la subida y la carrera.
Cuenta la subida y corre para marcar el segundo punto.
Dibuja la línea.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=−\frac{5}{2}x+1\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=−\frac{3}{4}x−2\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Grafica la línea de la ecuación\(4x−3y=12\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

	\(4x−3y=12\)
Encuentra la forma pendiente-intercepción de la ecuación.	\(−3y=−4x+12\)
	\(−\frac{3y}{3}=\frac{−4x+12}{−3}\)
La ecuación se encuentra ahora en forma de pendiente-intercepción.	\(y=\frac{4}{3}x−4\)
Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.	\(m=\frac{4}{3}\)
	\(y\)-ntercept es\((0, −4)\)
Trazar la\(y\) -intercepción.	Ver gráfico a continuación.
Identificar la subida y la carrera; contar la subida y correr para marcar el segundo punto.
Dibuja la línea.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Grafica la línea de la ecuación\(2x−y=6\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Grafica la línea de la ecuación\(3x−2y=8\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Hemos utilizado una cuadrícula con\(x\) y\(y\) ambas van de aproximadamente\(−10\) a\(10\) para todas las ecuaciones que hemos graficado hasta ahora. No todas las ecuaciones lineales se pueden graficar en esta pequeña cuadrícula. A menudo, especialmente en aplicaciones con datos del mundo real, necesitaremos extender los ejes a números positivos más grandes o negativos más pequeños.

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=0.2x+45\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Usaremos una cuadrícula con los ejes yendo de aproximadamente\(−80\) a\(80\).

	\(y=mx+b\)
La ecuación está en forma de pendiente-intercepción.	\(y=0.2x+45\)
Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.	\(m=0.2\)
	La\(y\) -intercepción es\((0, 45)\)
Trazar la\(y\) -intercepción.	Ver gráfico a continuación.
Cuenta la subida y corre para marcar el segundo punto. La pendiente es\(m=0.2\); en forma de fracción esto significa\(m=\frac{2}{10}\). Dada la escala de nuestra gráfica, sería más fácil usar la fracción equivalente\(m=\frac{10}{50}\).
Dibuja la línea.

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=0.5x+25\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Grafica la línea de la ecuación\(y=0.1x−30\) usando su pendiente e\(y\) -intercepción.

Responder

Ahora que hemos graficado líneas usando la pendiente y\(y\) -interceptar, vamos a resumir todos los métodos que hemos utilizado para graficar líneas. Ver Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\)

Elija el método más conveniente para graficar una línea

Ahora que hemos visto varios métodos que podemos usar para graficar líneas, ¿cómo sabemos qué método usar para una ecuación dada?

Si bien podríamos trazar puntos, usar la forma pendiente-interceptar o encontrar las intercepciones para cualquier ecuación, si reconocemos la forma más conveniente de graficar un cierto tipo de ecuación, nuestro trabajo será más fácil. Generalmente, trazar puntos no es la forma más eficiente de graficar una línea. Vimos mejores métodos en las secciones 4.3, 4.4, y anteriormente en esta sección. Busquemos algunos patrones para ayudar a determinar el método más conveniente para graficar una línea.

Aquí hay seis ecuaciones que graficamos en este capítulo, y el método que usamos para graficar cada una de ellas.

\[\begin{array}{lll}{\text{#1}}&{\text {Equation }} & {\text { Method }} \\ {\text{#2}}&{x=2} & {\text { Vertical line }} \\ {\text{#3}}&{y=4} & {\text { Hortical line }} \\ {\text{#4}}&{-x+2 y=6} & {\text { Intercepts }} \\ {\text{#5}}&{4 x-3 y=12} & {\text { Intercepts }} \\ {\text{#6}}&{y=4 x-2} & {\text { Slope-intercept }} \\{\text{#7}}& {y=-x+4} & {\text { Slope-intercept }}\end{array}\]

Las ecuaciones #1 y #2 tienen cada una solo una variable. Recuerde, en ecuaciones de esta forma el valor de esa variable es constante; no depende del valor de la otra variable. Las ecuaciones de esta forma tienen gráficas que son líneas verticales u horizontales.

En las ecuaciones #3 y #4, ambas\(x\) y\(y\) están en el mismo lado de la ecuación. Estas dos ecuaciones son de la forma\(Ax+By=C\). Nosotros sustituimos\(y=0\) para encontrar la\(x\) -intercepción y\(x=0\) para encontrar la\(y\) -intercepción, y luego encontramos un tercer punto eligiendo otro valor para\(x\) o\(y\).

Las ecuaciones #5 y #6 están escritas en forma de pendiente-intercepción. Después de identificar la pendiente e\(y\) -interceptar a partir de la ecuación las usamos para graficar la línea.

Esto lleva a la siguiente estrategia.

Estrategia para elegir el método más conveniente para graficar una línea

Considera la forma de la ecuación.

• Si sólo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
  • \(x=a\)es una línea vertical que pasa por el\(x\) eje -en\(a\).
  • \(y=b\)es una línea horizontal que pasa a través del\(y\) eje -en\(b\).
• Si\(y\) se aísla en un lado de la ecuación, en la forma\(y=mx+b\), grafica usando la pendiente y\(y\) -interceptar.
  • Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar y luego graficar.
• Si la ecuación es de la forma\(Ax+By=C\), encuentra las intercepciones.
  • Encuentra las intercepciones\(x\) - y\(y\) -intercepciones, un tercer punto, y luego grafica.

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Determinar el método más conveniente para graficar cada línea.

1. \(y=−6\)
2. \(5x−3y=15\)
3. \(x=7\)
4. \(y=\frac{2}{5}x−1\).

Responder

1. \(y=−6\)
Esta ecuación tiene sólo una variable,\(y\). Su gráfica es una línea horizontal que cruza el\(y\) eje en\(−6\).

2. \(5x−3y=15\)
Esta ecuación es de la forma\(Ax+By=C\). La forma más fácil de graficarlo será encontrar las intercepciones y un punto más.

3. \(x=7\)
Sólo hay una variable,\(x\). La gráfica es una línea vertical que cruza el\(x\) eje en\(7\).

4. \(y=\frac{2}{5}x−1\)
Dado que esta ecuación está en\(y=mx+b\) forma, será más fácil graficar esta línea usando la pendiente y\(y\) -interceptar.

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Determine el método más conveniente para graficar cada línea:

1. \(3x+2y=12\)
2. \(y=4\)
3. \(y=\frac{1}{5}x−4\)
4. \(x=−7\)

Responder

1. intercepta
2. línea horizontal
3. pendiente—intercepción
4. línea vertical

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Determine el método más conveniente para graficar cada línea:

1. \(x=6\)
2. \(y=−\frac{3}{4}x+1\)
3. \(y=−8\)
4. \(4x−3y=−1\)

Responder

1. línea vertical
2. pendiente—intercepción
3. línea horizontal
4. intercepta

Graficar e interpretar aplicaciones de pendiente—Interceptar

Muchas aplicaciones del mundo real están modeladas por ecuaciones lineales. Echaremos un vistazo a algunas aplicaciones aquí para que pueda ver cómo las ecuaciones escritas en forma de pendiente-intercepción se relacionan con situaciones del mundo real.

Por lo general, cuando una ecuación lineal modela una situación del mundo real, se utilizan diferentes letras para las variables, en lugar de\(x\) y\(y\). Los nombres de las variables nos recuerdan qué cantidades se están midiendo.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

La ecuación\(F=\frac{9}{5}C+32\) se utiliza para convertir temperaturas\(C\), en la escala Celsius a temperaturas,\(F\), en la escala Fahrenheit.

1. Encuentra la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de\(0\).
2. Encuentra la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de\(20\).
3. Interpretar la pendiente y\(F\) -intercepción de la ecuación.
4. Grafica la ecuación.

Responder

1. \(\begin{array}{ll}{\text { Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of } 0 .} & {F=\frac{9}{5} C+32} \\ {\text { Find } F \text { when } C=0 .} & {F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text { Simplify. }} & {F=32}\end{array}\)

2. \ begin {array} {ll} {\ text {Encuentra la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de} 20.} & {F=\ frac {9} {5} C+32}\\ {\ text {Buscar} F\ texto {cuando} C=20.} & {F=\ frac {9} {5} (20) +32}\\ {\ text {Simplificar.}} & {F=36+32}\\ {\ text {Simplificar.}} & {F=68}\ end {array}

3. Interpretar la pendiente y\(F\) -intercepción de la ecuación.

A pesar de que esta ecuación usa\(F\) y\(C\), todavía está en forma de pendiente-intercepción.

La pendiente,\(\frac{9}{5}\), significa que la temperatura Fahrenheit (\(F\)) aumenta\(9\) grados cuando la temperatura Celsius (\(C\)) aumenta\(5\) grados.

El\(F\) -intercepto significa que cuando la temperatura está\(0°\) en la escala Celsius, está\(32°\) en la escala Fahrenheit.

4. Grafica la ecuación.

Tendremos que usar una escala mayor que la habitual. Comienza en la\(F\) -intercepción\((0,32)\) luego cuenta la subida de\(9\) y la carrera de\(5\) para conseguir un segundo punto. Ver Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

La ecuación\(h=2s+50\) se utiliza para estimar la altura de una mujer en pulgadas,\(h\), basado en su talla de zapato,\(s\).

1. Estimar la altura de un niño que usa talla de zapato de mujer\(0\).
2. Estimar la altura de una mujer con talla de zapato\(8\).
3. Interpretar la pendiente y\(h\) -intercepción de la ecuación.
4. Grafica la ecuación.

Responder

1. \(50\)pulgadas
2. \(66\)pulgadas
3. La pendiente,\(2\), significa que la altura,\(h\), aumenta en\(2\) pulgadas cuando la talla del zapato,\(s\), aumenta en\(1\). El\(h\) -intercepto significa que cuando la talla del zapato es\(0\), la altura es\(50\) pulgadas.

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

La ecuación\(T=\frac{1}{4}n+40\) se utiliza para estimar la temperatura en grados Fahrenheit,\(T\), con base en el número de chirps de grillo\(n\),, en un minuto.

1. Estimar la temperatura cuando no haya chirps.
2. Estimar la temperatura cuando sea el número de chirps en un minuto\(100\).
3. Interpretar la pendiente y\(T\) -intercepción de la ecuación.
4. Grafica la ecuación.

Responder

1. \(40\)grados
2. \(65\)grados
3. La pendiente,\(\frac{1}{4}\), significa que la temperatura Fahrenheit (\(F\)) aumenta\(1\) grado cuando el número de chirps,\(n\), aumenta en\(4\). El\(T\) -intercepto significa que cuando el número de chirps es\(0\), la temperatura es\(40°\).

El costo de ejecutar algunos tipos de negocios tiene dos componentes: un costo fijo y un costo variable. El costo fijo es siempre el mismo independientemente de cuántas unidades se produzcan. Este es el costo de renta, seguro, equipo, publicidad y otros artículos que deben pagarse regularmente. El costo variable depende del número de unidades producidas. Es para el material y mano de obra necesarios para producir cada artículo.

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

Stella tiene un negocio casero que vende pizzas gourmet. La ecuación\(C=4p+25\) modela la relación entre su costo semanal\(C\),, en dólares y el número de pizzas\(p\),, que vende.

1. Encuentra el costo de Stella por una semana cuando no vende pizzas.
2. Encuentra el costo por una semana cuando vende\(15\) pizzas.
3. Interpretar la pendiente y\(C\) -intercepción de la ecuación.
4. Grafica la ecuación.

Responder

1. Encuentra el costo de Stella por una semana cuando no vende pizzas.
Encuentra\(C\) cuándo\(p=0\).
Simplificar.
	El costo fijo de Stella es\($25\) cuando no vende pizzas.
2. Encuentra el costo por una semana cuando vende\(15\) pizzas.
Encuentra\(C\) cuándo\(p=15\).
Simplificar.
	Los costos de Stella son\($85\) cuando vende\(15\) pizzas.
3. Interpretar la pendiente y\(C\) -intercepción de la ecuación.
	La pendiente,\(4\), significa que el costo aumenta\($4\) por cada pizza que Stella vende. El\(C\) -intercepto significa que incluso cuando Stella no vende pizzas, sus costos para la semana son\($25\).
4. Grafica la ecuación. Tendremos que usar una escala mayor que la habitual. Comienza en la\(C\) -intercepción\((0, 25)\) luego cuenta la subida de\(4\) y la carrera de\(1\) para conseguir un segundo punto.

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Sam conduce una camioneta de reparto. La ecuación\(C=0.5m+60\) modela la relación entre su costo semanal\(C\),, en dólares y el número de millas\(m\),, que conduce.

1. Encuentra el costo de Sam por una semana cuando conduce\(0\) millas.
2. Encuentra el costo de una semana cuando conduce\(250\) millas.
3. Interpretar la pendiente y\(C\) -intercepción de la ecuación.
4. Grafica la ecuación.

Responder

1. \($60\)
2. \($185\)
3. La pendiente,\(0.5\), significa que el costo semanal,\(C\), aumenta\($0.50\) cuando el número de millas conducidas,\(n\), aumenta en\(1\). El\(C\) -intercepto significa que cuando el número de millas recorridas es\(0\), el costo semanal es\($60\).

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

Loreen tiene un negocio de caligrafía. La ecuación\(C=1.8n+35\) modela la relación entre su costo semanal\(C\),, en dólares y el número de invitaciones de boda\(n\),, que escribe.

1. Encuentra el costo de Loreen por una semana cuando no escribe invitaciones.
2. Encuentra el costo de una semana cuando escribe\(75\) invitaciones.
3. Interpretar la pendiente y\(C\) -intercepción de la ecuación.
4. Grafica la ecuación.

Responder

1. \($35\)
2. \($170\)
3. La pendiente,\(1.8\), significa que el costo semanal,\(C\), aumenta\($1.80\) cuando el número de invitaciones,\(n\), aumenta en\(1.80\). El\(C\) -intercepto significa que cuando el número de invitaciones es\(0\), el costo semanal es\($35\).

Uso de pendientes para identificar líneas paralelas

El desnivel de una línea indica qué tan empinada es la línea y si sube o baja a medida que la leemos de izquierda a derecha. Dos líneas que tienen la misma pendiente se denominan líneas paralelas. Las líneas paralelas nunca se cruzan.

Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Verifique que ambas líneas tengan la misma pendiente,\(m=\frac{2}{5}\), y diferentes\(y\) -intercepciones.

¿Qué pasa con las líneas verticales? La pendiente de una línea vertical es indefinida, por lo que las líneas verticales no encajan en la definición anterior. Decimos que las líneas verticales que tienen diferentes\(x\) -intercepciones son paralelas. Ver Figura\(\PageIndex{5}\).

Figura\(\PageIndex{5}\): Las líneas verticales con diferentes intercepciones x son paralelas.

Lineas paralelas

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.

• Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones.
• Si\(m_{1}\) y\(m_{2}\) son las pendientes de dos líneas paralelas entonces\(m_{1} = m_{2}\).
• Las líneas verticales paralelas tienen diferentes\(x\) intercepciones.

Vamos a graficar las ecuaciones\(y=−2x+3\) y\(2x+y=−1\) en la misma grilla. La primera ecuación ya está en forma pendiente-intercepción:\(y=−2x+3\). Resolvemos la segunda ecuación para\(y\):

\[\begin{aligned} 2x+y &=-1 \\ y &=-2x-1 \end{aligned}\]

Grafica las líneas.

Observe que las líneas se ven paralelas. ¿Cuál es la pendiente de cada línea? ¿Cuál es la\(y\) intersección de cada línea?

\[\begin{array}{lll} {y} & {=m x+b} & {y=m x+b} \\ {y} & {=-2 x+3} & {y=-2 x-1} \\ {m} & {=-2} & {m=-2}\\ {b} & {=3,(0,3)} & {b=-1,(0,-1)}\end{array}\]

Las pendientes de las líneas son las mismas y la\(y\) -intercepción de cada línea es diferente. Entonces sabemos que estas líneas son paralelas.

Dado que las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones, ahora podemos simplemente mirar la forma pendiente-interceptar de las ecuaciones de líneas y decidir si las líneas son paralelas.

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(3x−2y=6\) y\(y = \frac{3}{2}x + 1\) son paralelas.

Responder

\(\begin{array} {lrll} {\text { Solve the first equation for } y .} &{ 3 x-2 y} &{=} &{6}\\{} & {\frac{-2 y}{-2}} &{ =}&{-3 x+6 }\\ {} &{\frac{-2 y}{-2}}&{ =}&{\frac{-3 x+6}{-2}} \\ {} & {y }&{=}&{\frac{3}{2} x-3} \end{array}\)

La ecuación se encuentra ahora en forma de pendiente-intercepción.

La ecuación de la segunda línea ya está en forma de pendiente-intercepción.

Identificar la pendiente y\(y\) -intercepción de ambas líneas.

\(\begin{array}{lll}{y=\frac{3}{2} x+1} & {} & {y=\frac{3}{2} x-3} \\ {y=m x+b} & {} & {y=m x+b}\\ {m=\frac{3}{2}} & {} & {m=\frac{3}{2}} \\ {y\text{-intercept is }(0, 1)} & {} & {y\text{-intercept is }(0, −3)} \end{array}\)

Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones y por lo tanto son paralelas. Es posible que desee graficar las líneas para confirmar si son paralelas.

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(2x+5y=5\) y\(y=−\frac{2}{5}x−4\) son paralelas.

Responder

paralelo

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(4x−3y=6\) y\(y=\frac{4}{3}x−1\) son paralelas.

Responder

paralelo

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(y=−4\) y\(y=3\) son paralelas.

Responder

\(\begin{array}{llll}{\text{Write each equation in slope-intercept form.}} &{y=-4} & {\text { and }} &{ y=3} \\ {\text{Since there is no }x\text{ term we write }0x.} &{y=0 x-4} & {} &{y=0 x+3} \\ {\text{Identify the slope and }y\text{-intercept of both lines.}} &{y=m x+b} &{} & {y=m x+b} \\ {} &{m=0} &{} & {m=0} \\{} & {y\text {-intercept is }(0,4)} &{} & {y \text {-intercept is }(0,3)}\end{array}\)

Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones y por lo tanto son paralelas.

Hay otra manera de ver este ejemplo. Si reconoces de inmediato de las ecuaciones que estas son líneas horizontales, sabes que sus pendientes son ambas\(0\). Dado que las líneas horizontales cruzan el\(y\) eje en\(y=−4\) y en\(y=3\), sabemos que las\(y\) -intercepciones son\((0,−4)\) y\((0,3)\). Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones y por lo tanto son paralelas.

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(y=8\) y\(y=−6\) son paralelas.

Responder

paralelo

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(y=1\) y\(y=−5\) son paralelas.

Responder

paralelo

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(x=−2\) y\(x=−5\) son paralelas.

Responder

\[x=-2 \text { and } x=-5\]

Como no hay\(y\), las ecuaciones no se pueden poner en forma de pendiente-intercepción. Pero las reconocemos como ecuaciones de líneas verticales. Sus\(x\) -intercepciones son\(−2\) y\(−5\). Dado que sus\(x\) -intercepciones son diferentes, las líneas verticales son paralelas.

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(x=1\) y\(x=−5\) son paralelas.

Responder

paralelo

Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(x=8\) y\(x=−6\) son paralelas.

Responder

paralelo

Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(y=2x−3\) y\(−6x+3y=−9\) son paralelas. Quizás quieras graficar estas líneas, también, para ver cómo se ven.

Responder

\(\begin{array} {llll} {\text { The first equation is already in slope-intercept form. }} & {y=2x-3}&{}&{} \\ \\ {\text { Solve the second equation for } y} & {-6x+3y} &{=}&{-9} \\{} & {3y}&{=}&{6x-9} \\ {}&{\frac{3y}{3} }&{=}&{\frac{6x-9}{3}} \\{} & {y}&{=}&{2x-3}\end{array}\)

La segunda ecuación se encuentra ahora también en forma de pendiente-intercepción.

Identificar la pendiente y\(y\) -intercepción de ambas líneas.

\[\begin{array}{lll}{y=2x-3} &{} & {y=2x-3} \\ {y=mx+b} &{} & {y=mx+b} \\ {m=2} &{} & {m=2} \\ {\text{The }y\text{-intercept is }(0 ,−3)} &{} & {\text{The }y\text{-intercept is }(0 ,−3)} \end{array} \nonumber\]

Las líneas tienen la misma pendiente, pero también tienen las mismas\(y\) -intercepciones. Sus ecuaciones representan la misma línea. No son paralelos; son la misma línea.

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(y=−\frac{1}{2}x−1\) y\(x+2y=2\) son paralelas.

Responder

no paralelo; misma línea

Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

Utilice pendientes e\(y\) intercepciones para determinar si las líneas\(y=\frac{3}{4}x−3\) y\(3x−4y=12\) son paralelas.

Responder

no paralelo; misma línea

Uso de pendientes para identificar líneas perpendiculares

Veamos las líneas cuyas ecuaciones son\(y=\frac{1}{4}x−1\) y\(y=−4x+2\), mostradas en la Figura\(\PageIndex{5}\).

Figura\(\PageIndex{5}\)

Estas líneas se encuentran en el mismo plano y se cruzan en ángulos rectos. A estas líneas las llamamos perpendiculares.

¿Qué notas de las pendientes de estas dos líneas? Al leer de izquierda a derecha, la línea\(y=14x−1\) sube, por lo que su pendiente es positiva. La línea\(y=−4x+2\) baja de izquierda a derecha, por lo que tiene una pendiente negativa. ¿Tiene sentido para ti que las pendientes de dos líneas perpendiculares tengan signos opuestos?

Si miramos la pendiente de la primera línea,\(m_{1}=14\), y la pendiente de la segunda línea\(m_{2}=−4\),, podemos ver que son recíprocos negativos entre sí. Si los multiplicamos, su producto lo es\(−1\).

\[\begin{array}{c}{m_{1} \cdot m_{2}} \\ {\frac{1}{4}(-4)} \\ {-1}\end{array}\]

Esto siempre es cierto para las líneas perpendiculares y nos lleva a esta definición.

LÍNEAS PERP

Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.

Si m1 y m2 son las pendientes de dos líneas perpendiculares, entonces:

\[m_{1} \cdot m_{2}=-1 \text { and } m_{1}=\frac{-1}{m_{2}}\]

Las líneas verticales y horizontales son siempre perpendiculares entre sí.

Pudimos observar la forma pendiente-intercepción de las ecuaciones lineales y determinar si las líneas eran paralelas o no. Podemos hacer lo mismo para las líneas perpendiculares.

Encontramos la forma pendiente-intercepción de la ecuación, y luego vemos si las pendientes son recíprocas negativas. Si el producto de las pendientes es\(−1\), las líneas son perpendiculares. Las líneas perpendiculares pueden tener las mismas\(y\) intercepciones.

Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

Utilice pendientes para determinar si las líneas,\(y=−5x−4\) y\(x−5y=5\) son perpendiculares.

Responder

La primera ecuación ya está en forma de pendiente-intercepción:\(\quad y=−5x−4\)

\(\begin{array} {llll} {\text{Solve the second equation for }y.} &{x-5y} &{=} &{5} \\{} &{-5 y} &{=} &{-x+5} \\ {} & {\frac{-5 y}{-5}} &{=} &{\frac{-x+5}{-5}} \\ {} &{y} &{=} &{\frac{1}{5} x-1} \end{array}\)

La segunda ecuación se encuentra ahora también en forma de pendiente-intercepción.

\(\begin{array} {lrllllll} {\text{Identify the slope of each line.}} &{y} &{=} &{-5 x-4} & {} &{y} &{=} &{\frac{1}{5} x-1} \\ {} &{y} &{=} &{m x+b} & {} &{y} &{=} &{m x+b}\\ {} &{m_{1}} &{=}&{-5} & {} &{m_{2}} &{=}&{\frac{1}{5}}\end{array}\)

Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, por lo que las líneas son perpendiculares. Verificamos multiplicando las laderas,

\[\begin{array}{l}{m_{1} \cdot m_{2}} \\ {-5\left(\frac{1}{5}\right)} \\ {-1\checkmark}\end{array}\]

Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

Utilice pendientes para determinar si las líneas\(y=−3x+2\) y\(x−3y=4\) son perpendiculares.

Responder

perpendicular

Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

Utilice pendientes para determinar si las líneas\(y=2x−5\) y\(x+2y=−6\) son perpendiculares.

Responder

perpendicular

Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

Utilice pendientes para determinar si las líneas,\(7x+2y=3\) y\(2x+7y=5\) son perpendiculares.

Responder

\(\begin{array}{lrlrl}{\text{Solve the equations for y.}} &{7 x+2 y} & {=3} & {2 x+7 y}&{=}&{5} \\{} & {2 y} & {=-7 x+3} & {7 y}&{=}&{-2 x+5} \\ {} &{\frac{2 y}{2}} & {=\frac{-7 x+3}{2} \quad} & {\frac{7 y}{7}}&{=}&{\frac{-2 x+5}{7}} \\ {} &{y} & {=-\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}} &{y}&{=}&{\frac{-2}{7}x + \frac{5}{7}}\\ \\{\text{Identify the slope of each line.}} & {y}&{=m x+b} &{y}&{=}&{m x+b} \\{} & {m_{1}} & {=-\frac{7}{2} }&{ m_{2}}&{=}&{-\frac{2}{7}}\end{array}\)

Las pendientes son recíprocas entre sí, pero tienen el mismo signo. Al no ser recíprocos negativos, las líneas no son perpendiculares.

Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

Utilice pendientes para determinar si las líneas\(5x+4y=1\) y\(4x+5y=3\) son perpendiculares.

Responder

no perpendicular

Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

Utilice pendientes para determinar si las líneas\(2x−9y=3\) y\(9x−2y=1\) son perpendiculares.

Responder

no perpendicular

Nota

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con gráficas.

• Explorar la relación entre una gráfica y la forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea

Conceptos clave

• La forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea con pendiente mm e\(y\) -intercepción,\((0,b)\) es,\(y=mx+b\).
  
• Graficar una Línea Usando su Pendiente e\(y\) Intercepción
  1. Encuentra la forma pendiente-intercepción de la ecuación de la línea.
  2. Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.
  3. Trazar la\(y\) -intercepción.
  4. Utilice la fórmula de pendiente\(m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}\) para identificar la subida y la carrera.
  5. A partir de la\(y\) -intercepción, cuente la subida y corra para marcar el segundo punto.
  6. Conecta los puntos con una línea.
     
• Estrategia para Elegir el Método Más Conveniente para Graficar una Línea: Considere la forma de la ecuación.
  • Si sólo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
    \(x = a\)es una línea vertical que pasa a través del\(x\) eje -en a.
    \(y = b\) es una línea horizontal que pasa por el\(y\) eje -en\(b\).
  • Si\(y\) se aísla en un lado de la ecuación, en la forma\(y=mx+b\), grafica usando la pendiente y\(y\) -interceptar.
    Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar y luego graficar.
  • Si la ecuación es de la forma\(Ax+By=C\), encuentra las intercepciones.
    Encuentra las intercepciones\(x\) - y\(y\) -intercepciones, un tercer punto, y luego grafica.
    
• Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.
  • Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones.
  • Si\(m_1\) y\(m_2\) son las pendientes de dos líneas paralelas entonces\(m_1 = m_2\).
  • Las líneas verticales paralelas tienen diferentes\(x\) intercepciones.
    
• Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.
  • Si\(m_1\) y\(m_2\) son las pendientes de dos líneas perpendiculares, entonces\(m_1\cdot m_2=−1\) y\(m_1=\frac{−1}{m_2}\).
  • Las líneas verticales y horizontales son siempre perpendiculares entre sí.

Glosario

líneas paralelas

Líneas en el mismo plano que no se cruzan.

líneas perpendiculares

Líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.

forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea

La forma pendiente-intercepción de una ecuación de una línea con pendiente mm e\(y\) -intercepción,\((0,b)\) es,\(y=mx+b\).