5.5: Resolver aplicaciones de mezcla con sistemas de ecuaciones
- Page ID
- 110170
Al final de esta sección, podrás:
- Resolver aplicaciones de mezcla
- Resolver aplicaciones de interés
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Multiplicar 4.025 (1,562).
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.8.22. - Escribe 8.2% como decimal.
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.8.46. - La factura de la cena de Earl llegó a 32.50 dólares y quería dejar una propina del 18%. ¿Cuánto debería ser la propina?
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 3.2.10.
Resolver aplicaciones de mezcla
Cuando antes resolvimos aplicaciones de mezcla con monedas y boletos, comenzamos creando una tabla para que pudiéramos organizar la información. Para un ejemplo de moneda con monedas de cinco centavos y diez centavos, la mesa se veía así:
El uso de una variable significó que teníamos que relacionar el número de monedas de cinco centavos y el número de monedas de diez centavos. Tuvimos que decidir si íbamos a dejar que n fuera el número de nickels y luego escribir el número de dimes en términos de n, o si dejaríamos que d fuera el número de dimes y escribiéramos el número de nickels en términos de d.
Ahora que sabemos resolver sistemas de ecuaciones con dos variables, simplemente dejaremos que n sea el número de monedas de cinco centavos y d sea el número de diez centavos. Escribiremos una ecuación basada en la columna de valor total, como hicimos antes, y la otra ecuación vendrá de la columna numérica.
Para el primer ejemplo, haremos un problema de boletos donde los precios de los boletos están en dólares enteros, así que todavía no necesitaremos usar decimales.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
En la taquilla de una sala de cine se vendieron 147 boletos para el espectáculo vespertino, y los recibos sumaron $1,302. ¿Cuántos boletos de $11 adultos y cuántos $8 niños se vendieron?
- Contestar
-
Paso 1. Lee el problema. Crearemos una tabla para organizar la información. Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando el número de boletos para adultos
y el número de boletos infantiles vendidos.Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Dejar a= el número de boletos para adultos.
c= el número de boletos infantilesUna tabla nos ayudará a organizar los datos.
Tenemos dos tipos de boletos: adulto y niño.Escriba a y c para el número de boletos. Escribe el número total de boletos vendidos en la
parte inferior de la columna Número.En total se vendieron 147. Escribe el valor de cada tipo de ticket en la columna
Valor.El valor de cada boleto de adulto es de $11.
El valor de cada boleto infantil es de $8.El número de veces que el valor da el
valor total, por lo que el valor total de los boletos para adultos es
\(a\cdot 11=11a\), y el valor total de los
boletos infantiles es\(c\cdot 8=8c\).
En total, el valor total de los boletos fue de
1.302 dólares.Rellene la columna Valor Total. Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. La columna Número y la
columna Valor Total nos dan el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el método de eliminación para resolver
este sistema.
Multiplica la primera ecuación por −8. 
Simplifique y agregue, luego resuelva para un. 
Sustituye a = 42 en la primera ecuación,
luego resuelve por c.
Paso 5. Consulta la respuesta en el problema.
42 boletos adultos a $11 por boleto hace $462
105 boletos infantiles a $8 por boleto hace $840.
Los recibos totales son $1,302. ✓Paso 6. Contesta la pregunta. El cine vendió 42 boletos para adultos y 105 boletos para niños.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
La taquilla del zoológico vendió 553 boletos un día. Los recibos sumaron $3,936. ¿Cuántos boletos de adulto de $9 y cuántos boletos infantiles de $6 se vendieron?
- Contestar
-
Se vendieron 206 boletos para adultos y 347 boletos para niños vendidos.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Un centro de ciencias vendió 1,363 boletos en un fin de semana ocupado. Los recibos sumaron $12,146. ¿Cuántos boletos de adulto de $12 y cuántos boletos infantiles de $7 se vendieron?
- Contestar
-
Se vendieron 521 boletos para adultos y 842 boletos para niños vendidos.
En Ejercicio\(\PageIndex{4}\) resolveremos un problema de monedas. Ahora que sabemos trabajar con sistemas de dos variables, será fácil nombrar las variables en la columna 'número'.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Priam cuenta con una colección de monedas de níquel y cuartos, con un valor total de $7.30. El número de monedas de cinco centavos es seis menos que tres veces el número de cuartos. ¿Cuántas monedas y cuántos cuartos tiene?
- Contestar
-
Paso 1. Lee el problema. Crearemos una tabla para organizar la información. Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando el número de monedas de cinco centavos
y el número de cuartos.Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Dejar n= el número de cinco centavos.
q= el número de trimestresUna tabla nos ayudará a organizar los datos.
Tenemos dos tipos de monedas, nickels
y cuartos.Escribe n y q para el número de cada tipo de moneda. Rellene la columna Valor con el valor de cada
tipo de moneda.El valor de cada níquel es de $0.05.
El valor de cada trimestre es de $0.25.El número veces que el valor da el
valor total, así, el valor total de las níqueles es
n (0.05) = 0.05 n y el valor total de
cuartos es q (0.25) = 0.25 q.
En total el valor total de las monedas
es de $7.30.
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. La columna Valor total da una ecuación. 
También sabemos que el número de monedas de cinco centavos es seis
menos que tres veces el número de cuartos.
Traducir para obtener la segunda ecuación.
Ahora tenemos el sistema a resolver. 
Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones
Utilizaremos el método de sustitución.
Sustituye n = 3 q − 6 en la primera ecuación.
Simplificar y resolver para q.
Para encontrar el número de monedas de cinco centavos, sustituya
q = 19 en la segunda ecuación.
Paso 6. Consulta la respuesta en el problema.
\(\begin{aligned} 19 \text { quarters at } \$ 0.25 &=\$ 4.75 \\ 51 \text { ickels at } \$ 0.05 &=\$ 2.55 \\ \text { Total } &=\$ 7.30 \checkmark \\ 3 \cdot 19-16 &=51 \checkmark\end{aligned}\)Paso 7. Contesta la pregunta. Priam tiene 19 cuartos y 51 monedas de cinco centavos.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Matilda tiene un puñado de cuartos y diez centavos, con un valor total de 8.55 dólares. El número de trimestres es 3 más del doble del número de dimes. ¿Cuántas monedas y cuántos cuartos tiene?
- Contestar
-
Matilda tiene 13 dimes y 29 trimestres.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Juan tiene un bolsillo lleno de monedas de cinco centavos y diez centavos. El valor total de las monedas es de 8.10 dólares. El número de monedas de dimes es de 9 menos del doble del número de monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos y cuántas monedas tiene Juan?
- Contestar
-
Juan tiene 36 nickels y 63 dimes.
Algunas aplicaciones de mezcla implican combinar alimentos o bebidas. Las situaciones de ejemplo pueden incluir combinar pasas y nueces para hacer una mezcla de trail o usar dos tipos de granos de café para hacer una mezcla.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Carson quiere hacer 20 libras de mezcla de trail usando nueces y chispas de chocolate. Su presupuesto requiere que el trail mix le cueste $7.60 por libra. Las nueces cuestan $9.00 por libra y las chispas de chocolate cuestan $2.00 por libra. ¿Cuántas libras de nueces y cuántas libras de chispas de chocolate debería usar?
- Contestar
-
Paso 1. Lee el problema. Crearemos una tabla para organizar la información. Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando el número de libras de frutos secos
y el número de libras de chispas de chocolate.Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Dejar n= el número de libra de nueces.
c= el número de libras de patatas fritasCarson mezclará nueces y chispas de chocolate
para obtener una mezcla de trail.
Escribe en n y c para el número de libras
de nueces y chispas de chocolate.
Habrá 20 libras de mezcla de trail.
Pon el precio por libra de cada artículo en
la columna Valor.
Rellene la última columna usando
Número · Valor = Valor total Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones.
Obtenemos las ecuaciones de las columnas Número
y Valor Total.
Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones
Utilizaremos la eliminación para resolver el sistema.Multiplica la primera ecuación por −2 para eliminar c. 
Simplificar y agregar. Resolver para n. 
Para encontrar el número de libras de
chispas de chocolate, sustituya n = 16 en
la primera ecuación, luego resuelva por c.
c=4 Paso 6. Consulta la respuesta en el problema.
\(\begin{aligned} 16+4 &=20 \checkmark \\ 9 \cdot 16+2 \cdot 4 &=152 \checkmark \end{aligned}\)Paso 7. Contesta la pregunta. Carson debe mezclar 16 libras de nueces con
4 libras de chispas de chocolate para crear la mezcla de trail.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Greta quiere hacer 5 libras de una mezcla de nueces usando maní y anacardos. Su presupuesto requiere que la mezcla le cueste $6 por libra. Los cacahuetes cuestan $4 por libra y los anacardos cuestan $9 por libra. ¿Cuántas libras de maní y cuántas libras de anacardos debe usar?
- Contestar
-
Greta debe usar 3 libras de maní y 2 libras de anacardos.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Sammy tiene la mayoría de los ingredientes que necesita para hacer un lote grande de chile. Los únicos artículos que le faltan son los frijoles y la carne molida. Necesita un total de 20 libras combinadas de frijol y carne molida y tiene un presupuesto de $3 por libra. El precio del frijol es de $1 por libra y el precio de la carne molida es de $5 por libra. ¿Cuántas libras de frijol y cuántas libras de carne molida debe comprar?
- Contestar
-
Sammy debe comprar 10 libras de frijoles y 10 libras de carne molida.
Otra aplicación de problemas de mezcla se relaciona con suministros de limpieza concentrados, otros productos químicos y bebidas mixtas. La concentración se da como un porcentaje. Por ejemplo, un limpiador doméstico concentrado al 20% significa que el 20% de la cantidad total es limpiador, y el resto es agua. Para hacer 35 onzas de una concentración del 20%, mezclas 7 onzas (20% de 35) del limpiador con 28 onzas de agua.
Para este tipo de problemas de mezcla, usaremos porcentaje en lugar de valor para una de las columnas de nuestra tabla.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Sasheena es asistente de laboratorio en su colegio comunitario. Necesita hacer 200 mililitros de una solución al 40% de ácido sulfúrico para un experimento de laboratorio. El laboratorio tiene solo 25% y 50% de soluciones en el almacén. ¿Cuánto debe mezclar de las soluciones del 25% y del 50% para hacer la solución del 40%?
- Contestar
-
Paso 1. Lee el problema. Una figura puede ayudarnos a visualizar la situación, entonces
crearemos una tabla para organizar la información.Sasheena debe mezclar parte de la
solución al 25% y parte de la solución
al 50% para obtener 200 ml de la solución al 40%.
Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando la cantidad de cada solución
que necesita.Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Dejar x= número de ml de solución al 25%.
y= número de ml de solución al 50%Una tabla nos ayudará a organizar los datos.
Ella mezclará x ml de 25% con y ml de
50% para obtener 200 ml de solución al 40%.
Escribimos los porcentajes como decimales en
el gráfico.
Multiplicamos el número de unidades por
la concentración para obtener la
cantidad total de ácido sulfúrico en cada solución.
Paso 4. Traducir en un sistema de
ecuaciones. Obtenemos las ecuaciones de
la columna Número y la
columna Cantidad.Ahora tenemos el sistema. 
Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones.
Vamos a resolver el sistema por eliminación.
Multiplica la primera ecuación por −0.5 para
eliminar y.
Simplificar y agregar para resolver para x. 
Para resolver para y, sustituya x = 80 en la
primera ecuación.
Paso 6. Consulta la respuesta en el problema.
\(\begin{array}{rll} 80+120 &=&120 \checkmark\\ 0.25(80)+0.50(120) &=&80 \checkmark \\ &&\text{Yes!} \end{array}\)Paso 7. Contesta la pregunta. Sasheena debe mezclar 80 ml de la solución al 25%
con 120 ml de la solución al 50% para obtener los 200 ml
de la solución al 40%.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
LeBron necesita 150 mililitros de una solución al 30% de ácido sulfúrico para un experimento de laboratorio pero solo tiene acceso a una solución de 25% y 50%. ¿Cuánto del 25% y cuánto de la solución al 50% debe mezclar para hacer la solución al 30%?
- Contestar
-
LeBron necesita 120 ml de la solución al 25% y 30 ml de la solución al 50%.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Anatole necesita hacer 250 mililitros de una solución al 25% de ácido clorhídrico para un experimento de laboratorio. El laboratorio solo tiene una solución al 10% y una solución al 40% en el almacén. ¿Cuánto del 10% y cuánto de las soluciones del 40% debe mezclar para hacer la solución del 25%?
- Contestar
-
Anatole debe mezclar 125 ml de la solución al 10% y 125 ml de la solución al 40%.
Resolver aplicaciones de interés
La fórmula para modelar aplicaciones de interés es I = Prt. El interés, I, es producto del principal, P, la tasa, r, y el tiempo, t. En nuestro trabajo aquí, calcularemos los intereses devengados en un año, por lo que t será 1.
Modificamos los títulos de las columnas en la tabla de mezclas para mostrar la fórmula de interés, como verás en Ejercicio\(\PageIndex{13}\).
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Adnan tiene 40,000 dólares para invertir y espera ganar 7.1% de interés por año. Pondrá parte del dinero en un fondo de acciones que gana 8% anual y el resto en bonos que gana 3% anual. ¿Cuánto dinero debería poner en cada fondo?
- Contestar
-
2,000 en stock y $7,200 en bonos.”” >
¿Notó que la columna Principal representa la cantidad total de dinero invertido mientras que la columna Intereses representa solo los intereses devengados? Asimismo, la primera ecuación de nuestro sistema, s + b = 40,000, representa la cantidad total de dinero invertido y la segunda ecuación, 0.08 s + 0.03 b = 0.071 (40,000), representa los intereses devengados.Paso 1. Lee el problema. Un gráfico nos ayudará a organizar la información. Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando la cantidad para invertir en cada fondo. Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Dejar s= la cantidad invertida en acciones.
b= la cantidad invertida en bonos.Escribe la tasa de interés como decimal para
cada fondo.
Multiplicar:
Principal · Tasa · Tiempo
para obtener el Interés.
Paso 4. Traducir en un sistema de
ecuaciones.
Obtenemos nuestro sistema de ecuaciones de
la columna Principal y la columna de
Interés.
Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones
Resolver por eliminación.
Multiplica la ecuación superior por −0.03.
Simplificar y agregar para resolver para s. 
Para encontrar b, sustituya s = 32,800 en la primera ecuación. 
Paso 6. Consulta la respuesta en el problema. Te dejamos el cheque a ti. Paso 7. Contesta la pregunta. Adnan debería invertir $32,800 en acciones y
$7,200 en bonos.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
León tenía 50 mil dólares para invertir y espera ganar 6.2% de interés anual. Pondrá parte del dinero en un fondo de acciones que gana 7% anual y el resto en una cuenta de ahorro que gana 2% anual. ¿Cuánto dinero debería poner en cada fondo?
- Contestar
-
León debería poner $42,000 en el fondo de acciones y $8000 en la cuenta de ahorro.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Julius invirtió $7,000 en dos inversiones en acciones. Una acción pagó 11% de interés y la otra acción pagó 13% de interés. Obtuvo 12.5% de interés sobre la inversión total. ¿Cuánto dinero puso en cada acción?
- Contestar
-
Julius invirtió $1,750 al 11% y $5,250 al 13%.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Rosie debe 21,540 dólares por sus dos préstamos estudiantiles. La tasa de interés de su préstamo bancario es de 10.5% y la tasa de interés del préstamo federal es de 5.9%. El monto total de intereses que pagó el año pasado fue de $1,669.68. ¿Cuál era el principal de cada préstamo?
- Contestar
-
Paso 1. Lee el problema. Un gráfico nos ayudará a organizar la información. Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando el principal de cada préstamo. Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Dejar b= el principal para el préstamo bancario.
f= el principal del préstamo federalEl total de los préstamos son de 21.540 dólares. Registrar las tasas de interés como decimales
en el gráfico.
Multiplicar usando la fórmula l = Pr t para
obtener el Interés.Paso 4. Traducir en un sistema de
ecuaciones.
El sistema de ecuaciones proviene de
la columna Principal y la
columna de Interés.
Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones
Utilizaremos la sustitución para resolver.
Resuelve la primera ecuación para b.
Sustituye b = − f + 21,540 en la
segunda ecuación.
Simplificar y resolver para f. 
Para encontrar b, sustituya f = 12,870 en
la primera ecuación.
Paso 6. Consulta la respuesta en el
problema.Te dejamos el cheque a ti. Paso 7. Contesta la pregunta. El principal del préstamo bancario es de $12,870 y
el principal del préstamo federal es de $8,670.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Laura debe 18.000 dólares por sus préstamos estudiantiles. La tasa de interés del préstamo bancario es de 2.5% y la tasa de interés del préstamo federal es de 6.9%. El monto total de intereses que pagó el año pasado fue de $1,066. ¿Cuál era el principal de cada préstamo?
- Contestar
-
El monto principal del préstamo bancario fue de $4,000. El monto principal del préstamo federal fue de $14,000.
Traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva:
Jill's Sandwich Shoppe debe $65,200 en dos préstamos comerciales, uno con 4.5% de interés y el otro con 7.2% de interés. El monto total de intereses adeudados el año pasado fue de $3,582. ¿Cuál era el principal de cada préstamo?
- Contestar
-
El monto principal para fue de $41,200 a 4.5%. El monto principal fue, $24,000 a 7.2%.
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales.
- Problemas de palabras de costo y mezcla
- Problemas de mezcla
Conceptos clave
- Mesa para aplicaciones de monedas y mezclas
- Tabla para aplicaciones de concentración
- Tabla para aplicaciones de interés
