7.1: Mayor factor común y factor por agrupación
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Al final de esta sección, podrás:
- Encuentra el mayor factor común de dos o más expresiones
- Factor el mayor factor común de un polinomio
- Facturar por agrupación
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Factor 56 en primos.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.2.19. - Encuentra el mínimo común múltiplo de 18 y 24.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.2.28. - Simplificar\(−3(6a+11)\).
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.10.40.
Encuentra el factor común más grande de dos o más expresiones
Antes multiplicamos factores juntos para obtener un producto. Ahora, vamos a estar invirtiendo este proceso; comenzaremos con un producto y luego lo descompondremos en sus factores. La división de un producto en factores se llama factorización.
Hemos aprendido a factorizar números para encontrar el múltiplo menos común (MCM) de dos o más números. Ahora vamos a factorizar expresiones y encontrar el mayor factor común de dos o más expresiones. El método que utilizamos es similar al que usamos para encontrar el LCM.
El mayor factor común (GCF) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.
Primero encontraremos el GCF de dos números.
Encuentra el GCF de 54 y 36.
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-
Observe que, debido a que el GCF es un factor de ambos números, 54 y 36 pueden escribirse como múltiplos de 18.
\[\begin{array}{l}{54=18 \cdot 3} \\ {36=18 \cdot 2}\end{array}\]
Encuentra el GCF de 48 y 80.
- Contestar
-
16
Encuentra el GCF de 18 y 40.
- Contestar
-
2
Resumimos los pasos que utilizamos para encontrar el GCF a continuación.
Encuentra el factor común más grande (GCF) de dos expresiones.
- Paso 1. Factorizar cada coeficiente en primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.
- Paso 2. Enumere todos los factores: coincidan con los factores comunes en una columna. En cada columna, circule los factores comunes.
- Paso 3. Derribar los factores comunes que comparten todas las expresiones.
- Paso 4. Multiplicar los factores.
En el primer ejemplo, el GCF fue una constante. En los dos siguientes ejemplos, obtendremos variables en el mayor factor común.
Encuentra el mayor factor común de\(27x^3\) y\(18x^4\).
- Contestar
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Factorizar cada coeficiente en primos y escribir las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. Multiplicar los factores. El GCF de 27\(x^{3}\) y
18\(x^{4}\) es 9\(x^{3}\).
Encuentra el GCF:\(12 x^{2}, 18 x^{3}\)
- Contestar
-
\(6x^2\)
Encuentra el GCF:\(16 y^{2}, 24 y^{3}\)
- Contestar
-
\(8y^2\)
Encuentra el GCF de\(4 x^{2} y, 6 x y^{3}\)
- Contestar
-
Factorizar cada coeficiente en primos y escribir las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. Multiplicar los factores. El GCF de 4\(x^{2} y\) y
6\(x y^{3}\) es 2\(x y .\)
Encuentra el GCF:\(6 a b^{4}, 8 a^{2} b\)
- Contestar
-
\(2ab\)
Encuentra el GCF:\(9 m^{5} n^{2}, 12 m^{3} n\)
- Contestar
-
\(3m^3 n\)
Encuentre el GCF de:\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\)
- Contestar
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Factorizar cada coeficiente en primos y escribir las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. Multiplicar los factores. El GCF de\(21 x^{3}, 9 x^{2}\)
y 15\(x\) es 3\(x\)
Encuentra el mayor factor común:\(25 m^{4}, 35 m^{3}, 20 m^{2}\)
- Contestar
-
\(5m^2\)
Encuentra el mayor factor común:\(14 x^{3}, 70 x^{2}, 105 x\)
- Contestar
-
\(7x\)
Factor el mayor factor común de un polinomio
Al igual que en la aritmética, donde a veces es útil representar un número en forma factorizada (por ejemplo, 12 como 2·6or3·4) ,2·6or3·4), en álgebra, puede ser útil representar un polinomio en forma factorizada. Una forma de hacerlo es encontrando el GCF de todos los términos. Recuerde, multiplicamos un polinomio por un monomio de la siguiente manera:
\[\begin{array}{cc}{2(x+7)} & {\text { factors }} \\ {2 \cdot x+2 \cdot 7} & { } \\ {2 x+14} & {\text { product }}\end{array}\]
Ahora comenzaremos con un producto, como\(2 x+14\), y terminaremos con sus factores, 2\((x+7)\). Para ello aplicamos la Propiedad Distributiva “a la inversa”.
Aquí señalamos la Propiedad Distributiva tal como la viste en capítulos anteriores y “a la inversa”.
Si\(a,b,c\) son números reales, entonces
\[a(b+c)=a b+a c \quad\text{ and }\quad a b+a c=a(b+c)\]
El formulario de la izquierda se utiliza para multiplicar. El formulario de la derecha se utiliza para factorizar.
Entonces, ¿cómo se utiliza la Propiedad Distributiva para factorizar un polinomio? ¡Simplemente encuentra el GCF de todos los términos y escribe el polinomio como producto!
Factor:\(4 x+12\)
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Factor:\(6 a+24\)
- Contestar
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\(6(a+4)\)
Factor:\(2 b+14\)
- Contestar
-
\(2(b+7)\)
Factorizar el mayor factor común de un polinomio.
Paso 1. Encuentra el GCF de todos los términos del polinomio.
Paso 2. Reescribe cada término como un producto usando el GCF.
Paso 3. Utilice la Propiedad Distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
Paso 4. Verificar multiplicando los factores.
Usamos “factor” tanto como sustantivo como verbo.
Factor:\(5 a+5\)
- Contestar
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Encuentra el GCF de 5 a y 5. Reescribe cada término como un producto usando el GCF. Utilice la Propiedad Distributiva “a la inversa” para factorizar el GCF. Verifica multiplicando los factores para obtener el polinomio original. 5\((a+1)\) \(5 \cdot a+5 \cdot 1\) \(5 a+5 \checkmark\)
Factor:\(14 x+14\)
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\(14(x+1)\)
Factor:\(12 p+12\)
- Contestar
-
\(12(p+1)\)
Las expresiones en el siguiente ejemplo tienen varios factores en común. Recuerda escribir el GCF como producto de todos los factores comunes.
Factor:\(12 x-60\)
- Contestar
-
Encuentra el GCF de 12 x y 60. Reescribe cada término como un producto usando el GCF. Facturar el GCF. Verificar multiplicando los factores. 12 (x−5) \(12 \cdot x-12 \cdot 5\) \(12 x-60 \checkmark\)
Factor:\(18 u-36\)
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\(8(u-2)\)
Factor:\(30 y-60\)
- Contestar
-
\(30(y-2)\)
Ahora vamos a factorizar el mayor factor común a partir de un trinomio. Comenzamos por encontrar el GCF de los tres términos.
Factor:\(4 y^{2}+24 y+28\)
- Contestar
-
Comenzamos por encontrar el GCF de los tres términos.
Encuentra el GCF de\(4 y^{2}, 24 y\) y 28 Reescribe cada término como un producto usando el GCF. Facturar el GCF. Verificar multiplicando. 4\(\left(y^{2}+6 y+7\right)\) \(4 \cdot y^{2}+4 \cdot 6 y+4 \cdot 7\) \(4 y^{2}+24 y+28 \checkmark\)
Factor:\(5 x^{2}-25 x+15\)
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\(5\left(x^{2}-5 x+3\right)\)
Factor:\(3 y^{2}-12 y+27\)
- Contestar
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\(3\left(y^{2}-4 y+9\right)\)
Factor:\(5 x^{3}-25 x^{2}\)
- Contestar
-
Encuentra el GCF de 5\(x^{3}\) y 25\(x^{2}\) Reescribir cada término. Facturar el GCF. Cheque. 5\(x^{2}(x-5)\) \(5 x^{2} \cdot x-5 x^{2} \cdot 5\) \(5 x^{3}-25 x^{2}\checkmark\)
Factor:\(2 x^{3}+12 x^{2}\)
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\(2x^2(x+6)\)
Factor:\(6 y^{3}-15 y^{2}\)
- Contestar
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\(3y^2(2y-5)\)
Factor:\(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\)
- Contestar
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En un ejemplo anterior encontramos que el GCF de\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\) ser 3\(x\).
Reescribe cada término usando el GCF, 3 x. Facturar el GCF. Cheque. 3\(x\left(7 x^{2}-3 x+5\right)\) \(3 x \cdot 7 x^{2}-3 x \cdot 3 x+3 x \cdot 5\) \(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\checkmark\)
Factor:\(20 x^{3}-10 x^{2}+14 x\)
- Contestar
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\(2x(10x^2-5x+7)\)
Factor:\(24 y^{3}-12 y^{2}-20 y\)
- Contestar
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\(4y(6y^2-3y-5)\)
Factor:\(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\)
- Contestar
-
Encuentra el GCF de\(8 m^{3}, 12 m^{2} n, 20 m n^{2}\) Reescribir cada término. Facturar el GCF. Cheque. 4\(m\left(2 m^{2}-3 m n+5 n^{2}\right)\) \(4 m \cdot 2 m^{2}-4 m \cdot 3 m n+4 m \cdot 5 n^{2}\) \(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\checkmark\)
Factor:\(9 x y^{2}+6 x^{2} y^{2}+21 y^{3}\)
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\(3y^2(3x+2x^2+7y)\)
Factor:\(3 p^{3}-6 p^{2} q+9 p q^{3}\)
- Contestar
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\(3p(p^2-2pq+3q^2\)
Cuando el coeficiente principal es negativo, factorizamos lo negativo como parte del GCF.
Factor:\(-8 y-24\)
- Contestar
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Cuando el coeficiente principal es negativo, el GCF será negativo.
Ignorando los signos de los términos, primero encontramos el GCF de 8 y y 24 es 8. Dado que la expresión −8 y − 24 tiene un coeficiente inicial negativo, utilizamos −8 como el GCF. Reescribe cada término usando el GCF.
Facturar el GCF. Cheque. \(-8(y+3)\) \(-8 \cdot y+(-8) \cdot 3\) \(-8 y-24 \checkmark\)
Factor:\(-16 z-64\)
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\(-16(z+4)\)
Factor:\(-9 y-27\)
- Contestar
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\(-9(y+3)\)
Factor:\(-6 a^{2}+36 a\)
- Contestar
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El coeficiente principal es negativo, por lo que el GCF será negativo.?
Dado que el coeficiente inicial es negativo, el GCF es negativo, −6 a.
Reescribe cada término usando el GCF. Facturar el GCF. Cheque. \(-6 a(a-6)\) \(-6 a \cdot a+(-6 a)(-6)\) \(-6 a^{2}+36 a v\)
Factor:\(-4 b^{2}+16 b\)
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\(-4b(b-4)\)
Factor:\(-7 a^{2}+21 a\)
- Contestar
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\(-7a(a-3)\)
Factor:\(5 q(q+7)-6(q+7)\)
- Contestar
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El GCF es el binomio q+7.
Factorizar el GCF, (q + 7). Verifica por tu cuenta multiplicando.
Factor:\(4 m(m+3)-7(m+3)\)
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\( (m+3)(4m-7) \)
Factor:\(8 n(n-4)+5(n-4)\)
- Contestar
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\( (n-4)(8n+5) \)
Factor por Agrupación
Cuando no haya un factor común de todos los términos de un polinomio, busque un factor común en solo algunos de los términos. Cuando hay cuatro términos, una buena manera de comenzar es separando el polinomio en dos partes con dos términos en cada parte. Entonces busca el GCF en cada parte. Si el polinomio puede ser factorizado, encontrarás un factor común que emerge de ambas partes.
(No todos los polinomios pueden ser factorizados. Al igual que algunos números son primos, algunos polinomios son primos.)
Factor:\(x y+3 y+2 x+6\)
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Factor:\(x y+8 y+3 x+24\)
- Contestar
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\( (x+8)(y+3) \)
Factor:\(a b+7 b+8 a+56\)
- Contestar
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\( (a+7)(b+8) \)
Facturar por agrupación.
Paso 1. Términos de grupo con factores comunes.
Paso 2. Factorizar el factor común en cada grupo.
Paso 3. Factorizar el factor común a partir de la expresión.
Paso 4. Verificar multiplicando los factores.
Factor:\(x^{2}+3 x-2 x-6\)
- Contestar
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\(\begin{array}{ll}{\text { There is no GCF in all four terms. }} & x^{2}+3 x-2 x-6\\ {\text { Separate into two parts. }} & \underbrace{x^{2}+3 x}\underbrace{-2 x-6} \\ \\ {\text { Factor the GCF from both parts. Be careful }} \\ {\text { with the signs when factoring the GCF from }}& \begin{array}{c}{x(x+3)-2(x+3)} \\ {(x+3)(x-2)}\end{array} \\ {\text { the last two terms. }} \\ \\ \text { Check on your own by multinlying. }\end{array}\)
Factor:\(x^{2}+2 x-5 x-10\)
- Contestar
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\( (x-5)(x+2) \)
Factor:\(y^{2}+4 y-7 y-28\)
- Contestar
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\( (y+4)(y-7) \)
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con mayores factores comunes (GFC) y factorización por agrupación.
- Factor común más grande (GCF)
- Factorización del GCF de un Binomial
- Factor Común Mayor (GCF) de Polinomios
Glosario
- factorización
- Factorizar es dividir un producto en factores; en otras palabras, es el proceso inverso de multiplicar.
- mayor factor común
- El mayor factor común es la expresión más grande que es un factor de dos o más expresiones es el factor común más grande (GCF).