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# 7.4: Factor Productos Especiales

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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Sumas de factores y diferencias de cubos
• Elegir método para factorizar un polinomio por completo
##### Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$$(12 x)^{2}$$
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.2.22.
2. Multiplicar:$$(m+4)^{2}$$
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.4.1.
3. Multiplicar:$$(p-9)^{2}$$
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.4.4.
4. Multiplicar:$$(k+3)(k-3)$$
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.4.16.

La estrategia de factorización que desarrollamos en la última sección te guiará a medida que factorizas la mayoría de binomios, trinomios y polinomios con más de tres términos. Hemos visto que algunos binomios y trinomios resultan de productos especiales: binomios al cuadrado y multiplicación de conjugados. Si aprendes a reconocer este tipo de polinomios, puedes usar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.

Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Puedes cuadrar un binomio usando FOIL, pero usando el patrón Cuadrados Binomiales que viste en un capítulo anterior te ahorra un paso. Revisemos el patrón de Cuadrados Binomiales al cuadrar un binomio usando FOIL.

El primer término es el cuadrado del primer término del binomio y el último término es el cuadrado del último. El término medio es el doble del producto de los dos términos del binomio.

$\begin{array}{c}{(3 x)^{2}+2(3 x \cdot 4)+4^{2}} \\ {9 x^{2}+24 x+16}\end{array}$

Al trinomio$$9 x^{2}+24+16$$ se le llama trinomio cuadrado perfecto. Es el cuadrado del binomio 3 x +4.

Repetiremos aquí el Patrón de Cuadrados Binomiales para usarlo como referencia en la factorización.

Si a y b son números reales,

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \qquad(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$

Cuando cuadras un binomio, el producto es un trinomio cuadrado perfecto. En este capítulo, estás aprendiendo a factorizar, ahora, comenzarás con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizarás en sus factores primos.

Se podría factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en la última sección, ya que es de la forma$$ax^{2}+bx+c$$. Pero si reconoces que el primer y último término son cuadrados y el trinomio se ajusta al patrón perfecto de trinomios cuadrados, te ahorrarás mucho trabajo.

##### PATRÓN PERFECTO TRINOMIOS

Si a y b son números reales,

$a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} \qquad a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$

Para hacer uso de este patrón, hay que reconocer que un trinomio dado le encaja. Verifique primero para ver si el coeficiente inicial es un cuadrado perfecto,$$a^2$$. Siguiente comprobar que el último término es un cuadrado perfecto,$$b^2$$. Luego revise el término medio, ¿es el doble del producto$$2ab$$? Si todo lo comprueba, puedes escribir fácilmente los factores.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$: How to Factor Perfect Square Trinomials

Factor:$$9 x^{2}+12 x+4$$

Contestar

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Factor:$$4 x^{2}+12 x+9$$

Contestar

$$(2 x+3)^{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Factor:$$9 y^{2}+24 y+16$$

Contestar

$$(3 y+4)^{2}$$

El signo del término medio determina qué patrón usaremos. Cuando el término medio es negativo, usamos el patrón$$a^{2}-2 a b+b^{2}$$, que factores a$$(a-b)^{2}$$.

Aquí se resumen los pasos.

##### FACTOR PERFECTO TRINOMIALIOS

$$\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}$$

Trabajaremos uno ahora donde el término medio sea negativo.

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Factor:$$81 y^{2}-72 y+16$$

Contestar

El primer y último término son cuadrados. Ver si el término medio se ajusta al patrón de un trinomio cuadrado perfecto. El término medio es negativo, por lo que el cuadrado binomial lo sería$$(a-b)^{2}$$.

 ¿Los primeros y últimos términos son cuadrados perfectos? Consulta el término medio. ¿Coincide$$(a-b)^{2}$$? Sí. Escribe el cuadrado de un binomio. Verificar multiplicando. $$(9 y-4)^{2}$$ $$(9 y)^{2}-2 \cdot 9 y \cdot 4+4^{2}$$ $$81 y^{2}-72 y+16 \checkmark$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Factor:$$64 y^{2}-80 y+25$$

Contestar

$$(8 y-5)^{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Factor:$$16 z^{2}-72 z+81$$

Contestar

$$(4 z-9)^{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Factor:$$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}$$

Contestar
 Pruebe cada término para verificar el patrón. Factor. Verificar multiplicando. $$(6 x+7 y)^{2}$$ $$(6 x)^{2}+2 \cdot 6 x \cdot 7 y+(7 y)^{2}$$ $$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2} \checkmark$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Factor:$$49 x^{2}+84 x y+36 y^{2}$$

Contestar

$$(7 x+6 y)^{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Factor:$$64 m^{2}+112 m n+49 n^{2}$$

Contestar

$$(8 m+7 n)^{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Factor:$$9 x^{2}+50 x+25$$

Contestar

$$\begin{array}{lc} & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \text { Are the first and last terms perfect squares? } & (3 x)^{2} \qquad\quad (5)^2 \\ \text { Check the middle term-is it 2ab? } & (3 x)^{2} \searrow_{2(3 x)(5) }\swarrow (5)^{2}. \\ & \tiny{30x} \\ \text { No! } 30 x \neq 50 x & \text { This does not fit the pattern! } \\ \text { Factor using the "ac" method. } & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \begin{array}{c}{\text { ac }} \\ {\text { Notice: } 9 \cdot 25 \text { and } 5 \cdot 45=225} \\ {225}\end{array} \\ {\text { Split the middle term. }} & \begin{array}{c}{9 x^{2}+5 x+45 x+25} \\ {x(9 x+5)+5(9 x+5)} \\ {(9 x+5)(x+5)}\end{array}\\ {\text { Factor by grouping. }} \\ \text { Check. } & \\ \begin{array}{l}{(9 x+5)(x+5)} \\ {9 x^{2}+45 x+5 x+25} \\ {9 x^{2}+50 x+25}\checkmark\end{array}\end{array}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Factor:$$16 r^{2}+30 r s+9 s^{2}$$

Responder

$$(8 r+3 s)(2 r+3 s)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Factor:$$9 u^{2}+87 u+100$$

Responder

$$(3 u+4)(3 u+25)$$

¿Recuerdas el primer paso en nuestra Estrategia para Factorizar Polinomios? Era para preguntar “¿hay un factor común más grande?” y, si lo hubiera, factorizar el GCF antes de ir más lejos. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un GCF en los tres términos y debe tenerse en cuenta primero. Y, a veces, una vez factorizado el GCF, reconocerás un trinomio cuadrado perfecto.

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Factor:$$36 x^{2} y-48 x y+16 y$$

Responder
 $$36 x^{2} y-48 x y+16 y$$ ¿Existe un GCF? Sí, 4 y, así factorizarlo. 4$$y\left(9 x^{2}-12 x+4\right)$$ ¿Es este un trinomio cuadrado perfecto? Verificar el patrón. Factor. 4$$y(3 x-2)^{2}$$ Recuerde: Mantener el factor 4 y en el producto final. Cheque. $$4y(3 x-2)^{2}$$ $$4y[(3 x)^{2}-2 \cdot 3 x \cdot 2+2^{2}]$$ $$4 y(9 x)^{2}-12 x+4$$ $$36 x^{2} y-48 x y+16 y\checkmark$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Factor:$$8 x^{2} y-24 x y+18 y$$

Responder

2$$y(2 x-3)^{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Factor:$$27 p^{2} q+90 p q+75 q$$

Responder

3$$q(3 p+5)^{2}$$

El otro producto especial que viste en la anterior fue el patrón Producto de Conjugados. Se utilizó esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí hay un ejemplo:

$\begin{array}{c}{(3 x-4)(3 x+4)} \\ {9 x^{2}-16}\end{array}$

Recuerda, cuando multiplicas binomios conjugados, los términos medios del producto se suman a 0. Todo lo que te queda es un binomio, la diferencia de cuadrados.

Multiplicar conjugados es la única manera de obtener un binomio a partir del producto de dos binomios.

Si a y b son números reales

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Si a y b son números reales,

Recuerde, “diferencia” se refiere a la resta. Entonces, para usar este patrón debes asegurarte de tener un binomio en el que se están restando dos cuadrados.

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$: How to Factor Differences of Squares

Factor:$$x^{2}-4$$

Responder

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Factor:$$h^{2}-81$$

Responder

$$(h-9)(h+9)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Factor:$$k^{2}-121$$

Responder

$$(k-11)(k+11)$$

##### DIFERENCIAS FACTACIALES DE

$$\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}$$

Es importante recordar que las sumas de cuadrados no factorizan en un producto de binomios. No hay factores binomiales que se multipliquen juntos para obtener una suma de cuadrados. Después de eliminar cualquier GCF, ¡la expresión$$a^{2}+b^{2}$$ es prime!

No olvides que 1 es un cuadrado perfecto. Tendremos que usar ese hecho en el siguiente ejemplo.

##### Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Factor:$$64 y^{2}-1$$

Responder
 ¿Esto es una diferencia? Sí. ¿Los primeros y últimos términos son cuadrados perfectos? Sí - escríbelos como cuadrados. Factor como producto de conjugados. Verificar multiplicando. $$(8 y-1)(8 y+1)$$ $$64 y^{2}-1 \checkmark$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

Factor:$$m^{2}-1$$

Responder

$$(m-1)(m+1)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

Factor:$$81 y^{2}-1$$

Responder

$$(9 y-1)(9 y+1)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

Factor:$$121 x^{2}-49 y^{2}$$

Responder

$$\begin{array}{lc} & 121 x^{2}-49 y^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (11 x)^{2}-(7 y)^{2} \\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (11 x-7 y)(11 x+7 y) \\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(11 x-7 y)(11 x+7 y)} \\ {121 x^{2}-49 y^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

Factor:$$196 m^{2}-25 n^{2}$$

Responder

$$(16 m-5 n)(16 m+5 n)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

Factor:$$144 p^{2}-9 q^{2}$$

Responder

$$(12 p-3 q)(12 p+3 q)$$

El binomio en el siguiente ejemplo puede mirar “hacia atrás”, pero sigue siendo la diferencia de cuadrados.

##### Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

Factor:$$100-h^{2}$$

Responder

$$\begin{array}{lc} & 100-h^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (10)^{2}-(h)^{2}\\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (10-h)(10+h)\\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(10-h)(10+h)} \\ {100-h^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}$$

Tenga cuidado de no reescribir la expresión original como$$h^{2}-100$$.

Factorizar$$h^{2}-100$$ por su cuenta y luego notar en qué se diferencia el resultado$$(10-h)(10+h)$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

Factor:$$144-x^{2}$$

Responder

$$(12-x)(12+x)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

Factor:$$169-p^{2}$$

Responder

$$(13-p)(13+p)$$

Para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, ¡factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces!

##### Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

Factor:$$x^{4}-y^{4}$$

Responder

$$\begin{array}{lc}\text { Is this a difference of squares? Yes. } & {x^{4}-y^{4}} \\\text { Factor it as the product of conjugates. } & {\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}} \\ \text { Notice the first binomial is also a difference of squares! } & {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { Factor it as the product of conjugates. The last }& {(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { factor, the sum of squares, cannot be factored. } \\ \\ \text { Check by multiplying. } & \\\begin{array}{l}{(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {[(x-y)(x+y)]\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {x^{4}-y^{4}} \checkmark \end{array} \end{array}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

Factor:$$a^{4}-b^{4}$$

Responder

$$\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)(a-b)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

Factor:$$x^{4}-16$$

Responder

$$\left(x^{2}+4\right)(x+2)(x-2)$$

Como siempre, primero debes buscar un factor común cada vez que tengas una expresión a factor. A veces un factor común puede “disfrazar” la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factorices el GCF.

##### Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

Factor:$$8 x^{2} y-98 y$$

Responder

$$\begin{array}{lc}& 8 x^{2} y-98 y \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 2 y-\text { factor it out! } & 2 y\left(4 x^{2}-49\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? Yes. } & 2 y\left((2 x)^{2}-(7)^{2}\right) \\ \text { Factor as a product of conjugates. } & 2 y(2 x-7)(2 x+7) \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{2 y(2 x-7)(2 x+7)} \\ {2 y[(2 x-7)(2 x+7)]} \\ {2 y\left(4 x^{2}-49\right)} \\ {8 x^{2} y-98 y} \checkmark \end{array} \end{array}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

Factor:$$7 x y^{2}-175 x$$

Responder

7$$x(y-5)(y+5)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

Factor:$$45 a^{2} b-80 b$$

Responder

5$$b(3 a-4)(3 a+4)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

Factor:$$6 x^{2}+96$$

Responder

$$\begin{array}{lc}&6 x^{2}+96 \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 6-\text { factor it out! } & 6\left(x^{2}+16\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? No, it } & \\ \text { is a sum of squares. Sums of squares do not factor! } & \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{6\left(x^{2}+16\right)} \\ {6 x^{2}+96 }\checkmark \end{array} \end{array}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

Factor:$$8 a^{2}+200$$

Responder

8$$\left(a^{2}+25\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

Factor:$$36 y^{2}+81$$

Responder

9$$\left(4 y^{2}+9\right)$$

## Sumas de factores y diferencias de cubos

Hay otro patrón especial para factorizar, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y diferencia de cubos. Primero escribiremos estas fórmulas y luego las revisaremos por multiplicación.

\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}

Comprobaremos el primer patrón y te dejaremos el segundo a ti.

 Distribuir. Multiplicar. $$a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}$$ Combina términos similares. $$a^{3}+b^{3}$$
##### SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

$\begin{array}{l}{a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)} \\ {a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}\end{array}$

Los dos patrones se ven muy similares, ¿no? Pero fíjense las señales en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo en el binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomio es lo opuesto al signo en el binomio original. Si reconoces el patrón de los signos, puede ayudarte a memorizar los patrones.

El factor trinomio en el patrón de suma y diferencia de cubos no se puede factorizar.

Puede ser muy útil si aprendes a reconocer los cubos de los enteros del 1 al 10, igual que has aprendido a reconocer cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los enteros del 1 al 10 en la Figura$$\PageIndex{1}$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{36}$$: How to Factor the Sum or Difference of Cubes

Factor:$$x^{3}+64$$

Responder
##### Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

Factor:$$x^{3}+27$$

Responder

$$(x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

Factor:$$y^{3}+8$$

Responder

$$(y+2)\left(y^{2}-2 y+4\right)$$

##### FACTORIZAR LA SUMA O DIFERENCIA DE CU

Para factorizar la suma o diferencia de cubos:

1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?
• ¿Es una suma o diferencia?
• ¿Los primeros y últimos términos son los cubos perfectos?
2. Escríbelos como cubos.
3. Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
4. Simplificar dentro de los paréntesis
5. Verificar multiplicando los factores.
##### Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

Factor:$$: x^{3}-1000$$

Responder
 Este binomio es una diferencia. El primer y último término son cubos perfectos. Escribe los términos como cubos. Usa la diferencia de patrón de cubos. Simplificar. Verificar multiplicando.
##### Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

Factor:$$u^{3}-125$$

Responder

$$(u-5)\left(u^{2}+5 u+25\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

Factor:$$v^{3}-343$$

Responder

$$(v-7)\left(v^{2}+7 v+49\right)$$

Tenga cuidado de usar los signos correctos en los factores de la suma y diferencia de cubos.

##### Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

Factor:$$512-125 p^{3}$$

Responder
 Este binomio es una diferencia. El primer y último término son cubos perfectos. Escribe los términos como cubos. Usa la diferencia de patrón de cubos. Simplificar. Verificar multiplicando. Te dejaremos el cheque a ti.
##### Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

Factor:$$64-27 x^{3}$$

Responder

$$(4-3 x)\left(16+12 x+9 x^{2}\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

Factor:$$27-8 y^{3}$$

Responder

$$(3-2 y)\left(9+6 y+4 y^{2}\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{45}$$

Factor:$$27 u^{3}-125 v^{3}$$

Responder
 Este binomio es una diferencia. El primer y último término son cubos perfectos. Escribe los términos como cubos. Usa la diferencia de patrón de cubos. Simplificar. Verificar multiplicando. Te dejaremos el cheque a ti.
##### Ejercicio$$\PageIndex{46}$$

Factor:$$8 x^{3}-27 y^{3}$$

Responder

$$(2 x-3 y)\left(4 x^{2}+6 x y+9 y^{2}\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{47}$$

Factor:$$1000 m^{3}-125 n^{3}$$

Responder

$$(10 m-5 n)\left(100 m^{2}+50 m n+25 n^{2}\right)$$

En el siguiente ejemplo, primero factorizamos el GCF. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.

##### Ejercicio$$\PageIndex{48}$$

Factor:$$5 m^{3}+40 n^{3}$$

Responder
 Facturar el factor común. Este binomio es una suma. El primer y último término son cubos perfectos. Escribe los términos como cubos. Usa el patrón de suma de cubos. Simplificar.
Cheque. Para verificar, puede que le resulte más fácil multiplicar primero la suma de factores de cubos, luego multiplicar ese producto por 5. Te dejaremos la multiplicación.
5$$(m+2 n)\left(m^{2}-2 m n+4 n^{2}\right)$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{49}$$

Factor:$$500 p^{3}+4 q^{3}$$

Responder

4$$(5 p+q)\left(25 p^{2}-5 p q+q^{2}\right)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{50}$$

Factor:$$432 c^{3}+686 d^{3}$$

Responder

2$$(6 c+7 d)\left(36 c^{2}-42 c d+49 d^{2}\right)$$

##### Nota

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con productos especiales de factorización.

## Conceptos clave

• Trinomios cuadrados perfectos de factor Ver Ejemplo. $$\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}$$
• Diferencias factoriales de cuadrados Ver Ejemplo. $$\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}$$
• Factor suma y diferencia de cubos Para factorizar la suma o diferencia de cubos: Ver Ejemplo.
1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos? ¿Es una suma o diferencia? ¿Los primeros y últimos términos son los cubos perfectos?
2. Escríbelos como cubos.
3. Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
4. Simplificar dentro de los paréntesis
5. Verificar multiplicando los factores.

## Glosario

$\begin{array}{cc} {a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}&{a^2−2ab+b^2=(a−b)^2}\\ \nonumber \end{array}$
$\begin{array}{cc} {a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)}&{a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)}\\ \nonumber \end{array}$