8.6: Resolver ecuaciones racionales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Resolver ecuaciones racionales
• Resolver una ecuación racional para una variable específica

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Si pierdes algún problema, vuelve a la sección listada y revisa el material.

1. Resolver:\(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.5.1.
2. Resolver:\(n^2−5n−36=0\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 7.6.13.
3. Resuelve para y en términos de x: 5x+2y=10 para y.
   Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 2.6.22.

Después de definir los términos expresión y ecuación temprano en Fundamentos, los hemos utilizado a lo largo de este libro. Hemos simplificado muchos tipos de expresiones y resuelto muchos tipos de ecuaciones. Hemos simplificado muchas expresiones racionales hasta el momento en este capítulo. Ahora vamos a resolver ecuaciones racionales.

La definición de una ecuación racional es similar a la definición de ecuación que utilizamos en Fundamentos.

Definición: ECUACIÓN RACIONAL

Una ecuación racional son dos expresiones racionales conectadas por un signo igual.

Debes asegurarte de conocer la diferencia entre expresiones racionales y ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.

\[\begin{array}{cc} {\textbf{Rational Expression}}&{\textbf{Rational Equation}}\\ {\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}}&{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\\ {\frac{y+6}{y^2−36}}&{\frac{y+6}{y^2−36}=y+1}\\ {\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}}&{\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}=\frac{15}{n^2+n−12}}\\ \nonumber \end{array}\]

Resolver ecuaciones racionales

Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos la LCD de todas las fracciones de la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por la LCD para “borrar” las fracciones.

Aquí hay un ejemplo que hicimos cuando trabajamos con ecuaciones lineales:

Multiplicamos ambos lados por la pantalla LCD.
Después distribuimos.
Simplificamos y luego tuvimos una ecuación sin fracciones.
Finalmente, resolvimos esa ecuación.

Utilizaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la LCD. Entonces tendremos una ecuación que no contenga expresiones racionales y así nos resulte mucho más fácil de resolver.

Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador debemos tener cuidado de no terminar con una solución que haga que un denominador sea igual a cero.

Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían cero a cualquier denominador. De esa manera, cuando resolvamos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debemos descartar.

Una solución algebraica a una ecuación racional que haría que cualquiera de las expresiones racionales fuera indefinida se llama solución extraña.

Definición: Solución ajena a una ecuación racional

Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que haría que cualquiera de las expresiones de la ecuación original fuera indefinida.

Tomamos nota de cualquier posible solución extraña, c, por escrito\(x \ne c\) next to the equation.

Cómo Resolver Ecuaciones con Expresiones Racionales

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\).

Contestar

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver:\(\frac{1}{y}+\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\).

Contestar

\(−\frac{15}{7}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver:\(\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{1}{x}\).

Contestar

\(\frac{15}{13}\)

A continuación se muestran los pasos de este método.

Definición: Resolver ecuaciones con expresiones racionales.

1. Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
2. Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación.
3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
4. Resuelve la ecuación resultante.
5. Cheque.
   • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
   • Verifique cualquier solución restante en la ecuación original.

Siempre empezamos por señalar los valores que provocarían que cualquier denominador fuera cero.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver:\(1−\frac{5}{y}=−\frac{6}{y^2}\).

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es\(y^2\)
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
Distribuir.
Multiplicar.
Resuelve la ecuación resultante. Primero escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.
Factor.
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
Resolver.
Cheque.
No obtuvimos 0 como solución algebraica.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver:\(1−\frac{2}{a}=\frac{15}{a^2}\).

Contestar

5, −3

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver:\(1−\frac{4}{b}=\frac{12}{b^2}\).

Contestar

6, −2

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resolver:\(\frac{5}{3u−2}=\frac{3}{2u}\).

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es 2u (3u−2).
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.
Multiplicar.
Resuelve la ecuación resultante.
No obtuvimos 0 ni\(\frac{2}{3}\) como soluciones algebraicas.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Resolver:\(\frac{1}{x−1}=\frac{2}{3x}\).

Contestar

−2

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Resolver:\(\frac{3}{5n+1}=\frac{2}{3n}\).

Contestar

−2

Cuando uno de los denominadores es cuadrático, recuerda factorizarlo primero para encontrar el LCD.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Resolver:\(\frac{2}{p+2}+\frac{4}{p−2}=\frac{p−1}{p^2−4}\).

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es (p+2) (p−2).
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
Distribuir.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.
Distribuir.
Resolver.
No obtuvimos 2 o −2 como soluciones algebraicas.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Resolver:\(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x−1}=\frac{1}{x^2−1}\).

Contestar

\(\frac{2}{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Resolver:\(\frac{5}{y+3}+\frac{2}{y−3}=\frac{5}{y^2−9}\)

Contestar

2

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Resolver:\(\frac{4}{q−4}−\frac{3}{q−3}=1\).

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es (q−4) (q−3).
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
Distribuir.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.
Simplificar.
Combina términos similares.
Resolver. Primero escribe en forma estándar.
Factor.
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
No obtuvimos 4 o 3 como soluciones algebraicas.

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Resolver:\(\frac{2}{x+5}−\frac{1}{x−1}=1\).

Contestar

−1, −2

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Resolver:\(\frac{3}{x+8}−\frac{2}{x−2}=1\).

Contestar

−2, −3

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Resolver:\(\frac{m+11}{m^2−5m+4}=\frac{5}{m−4}−\frac{3}{m−1}\).

Contestar

Factorizar todos los denominadores, así podemos anotar cualquier valor de la variable que haría cualquier denominador cero.
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es (m−4) (m−1)
Despeja las fracciones.
Distribuir.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque. La única solución algebraica fue 4, pero dijimos que 4 haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución ajena. No hay solución a esta ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Resolver:\(\frac{x+13}{x^2−7x+10}=\frac{6}{x−5}−\frac{4}{x−2}\).

Contestar

sin solución

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

Resolver:\(\frac{y−14}{y^2+3y−4}=\frac{2}{y+4}+\frac{7}{y−1}\).

Contestar

sin solución

La ecuación que resolvimos en Ejemplo tenía solo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. Algunas ecuaciones no tienen solución.

Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

Resolver:\(\frac{n}{12}+\frac{n+3}{3n}=\frac{1}{n}\).

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es de 12n.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
Distribuir.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque.
n=0 es una solución ajena.

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

Resolver:\(\frac{x}{18}+\frac{x+6}{9x}=\frac{2}{3x}\).

Contestar

−2

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

Resolver:\(\frac{y+5}{5y}+\frac{y}{15}=\frac{1}{y}\).

Contestar

−3

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

Resolver:\(\frac{y}{y+6}=\frac{72}{y^2−36}+4\).

Contestar

Factorizar todos los denominadores, así podemos anotar cualquier valor de la variable que haga cero cualquier denominador.
Encuentra el mínimo denominador común. La pantalla LCD es (y−6) (y+6).
Despeja las fracciones.
Simplificar.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque.
y=−6 es una solución ajena.

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

Resolver:\(\frac{x}{x+4}=\frac{32}{x^2−16}+5\).

Contestar

−4, 3

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

Resolver:\(\frac{y}{y+8}=\frac{128}{y^2−64}+9\).

Contestar

7

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

Resolver:\(\frac{x}{2x−2}−\frac{2}{3x+3}=\frac{5x^2−2x+9}{12x^2−12}\).

Contestar

Comenzaremos factorizando todos los denominadores, para facilitar la identificación de soluciones extrañas y el LCD.
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el denominador menos común.El LCD es 12 (x−1) (x+1)
Despeja las fracciones.
Simplificar.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque.
x=1 y x=−1 son soluciones extrañas. La ecuación no tiene solución.

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

Resolver:\(\frac{y}{5y−10}−\frac{5}{3y+6}=\frac{2y^2−19y+54}{15y^2−60}\).

Contestar

sin solución

Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

Resolver:\(\frac{z^2}{z+8}−\frac{3}{4z−8}=\frac{3z^2−16z−68}{z^2+8z−64}\).

Contestar

sin solución

Resolver una ecuación racional para una variable específica

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos a resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en negocios, ciencia, economía y otros campos utilizan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.

Comenzaremos con una fórmula que relaciona distancia, velocidad y tiempo. Lo hemos usado muchas veces antes, pero no usualmente en esta forma.

Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

Resolver:\(\frac{D}{T}=R\) para T.

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Borra las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por la LCD, T.
Simplificar.
Divide ambos lados por R para aislar T.
Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

Resolver:\(\frac{A}{L}=W\) para L.

Contestar

\(L=\frac{A}{W}\)

Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

Resolver:\(\frac{F}{A}=M\) para A.

Contestar

\(A=\frac{F}{M}\)

Ejemplo utiliza la fórmula para pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea.

Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

Resolver:\(m=\frac{x−2}{y−3}\) para y.

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por la LCD, y−3.
Simplificar.
Aislar el término con y.
Divide ambos lados por m para aislar y.
Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

Resolver:\(\frac{y−2}{x+1}=\frac{2}{3}\) para x.

Contestar

\(x=\frac{3y−8}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

Resolver:\(x=\frac{y}{1−y}\) para y.

Contestar

\(y=\frac{x}{1+x}\)

Asegúrese de seguir todos los pasos en Ejemplo. Puede parecer una fórmula muy simple, pero no podemos resolverla instantáneamente para ninguno de los dos denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

Resolver\(\frac{1}{c}+\frac{1}{m}=1\) para c.

Contestar

Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Borrar las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por la LCD, cm
Distribuir.
Simplificar.
Recoger los términos con c a la derecha.
Factorar la expresión a la derecha.
Para aislar c, divida ambos lados por m−1.
Simplifique eliminando factores comunes.

Observe que aunque excluimos c=0 y m=0 de la ecuación original, ahora también debemos decirlo\(m \ne 1\).

Ejemplo\(\PageIndex{35}\)

Resolver:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=c\) para un.

Contestar

\(a=\frac{b}{cb−1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{36}\)

Resolver:\(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{y}\) para y.

Contestar

\(y=\frac{3x}{6+x}\)

Conceptos clave

• Estrategia para resolver ecuaciones con expresiones racionales
  1. Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
  2. Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación.
  3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
  4. Resuelve la ecuación resultante.
  5. Cheque.
  • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
  • Verifique cualquier solución restante en la ecuación original.

Glosario

ecuación racional

Una ecuación racional son dos expresiones racionales conectadas por un signo igual.

solución extraña a una ecuación racional

Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que haría que cualquiera de las expresiones de la ecuación original fuera indefinida.