1.3: Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado. La solución de ecuaciones cuadráticas tiene una larga historia en matemáticas que se remonta a varios miles de años a las soluciones geométricas producidas por la cultura babilónica. El matemático indio Brahmagupta utilizó “álgebra retórica” (álgebra escrita en palabras) en el siglo VII para producir soluciones a ecuaciones cuadráticas y los matemáticos árabes de los siglos IX y 10 siguieron métodos simlar. Leonardo de Pisa (también conocido como Fibonacci) incluyó información sobre el enfoque árabe para resolver ecuaciones cuadráticas en su libro Liber Abaci, publicado en 1202

La fórmula cuadrática se usa generalmente para resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar:\(a x^{2}+b x+c=0 .\) Las soluciones para esto son:
\ [
x=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\]
Ahora bien, la pregunta es - ¿por qué esta fórmula da soluciones al estándar ¿Ecuación cuadrática? Podemos proceder como lo hacemos normalmente en la resolución de ecuaciones lineales -es decir, obteniendo el\(x\) por sí mismo. El único problema aquí es que en lugar de solo también\(x,\) hay términos que involucran\(x^{2} .\) Aquí es donde el proceso de completar la plaza viene muy bien.

Podemos comenzar con la ecuación cuadrática en forma estándar:
\ [
a x^ {2} +b x+c=0
\]
Así como es más fácil factorizar un trinomio cuadrático si el coeficiente principal es\(1,\) este proceso de completar el cuadrado también es más fácil si el líder coeficiente es el\(1 . \mathrm{So}\) siguiente vamos a dividir a través de ambos lados de esta ecuación por\(a\).
\ [
\ begin {array} {c}
\ frac {a x^ {2} +b x+c} {a} =\ frac {0} {a}\
\ frac {a x^ {2}} {a}} {a} +\ frac {b x} {a} +\ frac {c} {a} {a} =\ frac {0} {a}\
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} =0
\ end {array}
\]

Luego, moveremos el\(\frac{c}{a}\) al otro lado de la ecuación para aclarar algún espacio para completar el cuadrado:
\ [\ begin {array} {c}
x^ {2} +
\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} {a} =0\
-\ frac {c} {a} =-\ frac {c} {a}\ x^ {2} +\ frac {c} {a}\ x^ {2} +\ frac {c} {a}\
x^ {2} +\ frac ac {b} {a} x=-\ frac {c} {a}
\ end {array}
\]
Ahora necesitamos completar el cuadrado. Si ya está familiarizado con este proceso, es posible que desee omitir la siguiente explicación.

Si miramos lo que sucede cuando cuadramos un binomio como\((x+3)^{2}\), comenzaremos a notar un patrón.
\ [
\ begin {array} {c}
(x+3) ^ {2} =( x+3) (x+3) =x^ {2} +6 x+9\\
(x+4) ^ {2} =( x+4) (x+4) =x^ {2} +8 x+16\\
(x+5) ^ {2} =( x+5) (x+5) =x^ {2} +10 x+25\\
(x+6) ^ {2} =( x+6) (x+6) =x^ {2} +12 x+36
\ final {matriz}
\]
Nuestro objetivo en la derivación de la Fórmula Cuadrática es reescribir la expresión\(x^{2}+\frac{b}{a} x\) como un cuadrado perfecto en la forma\((x+\quad)^{2}\). La razón por la que queremos hacer esto es que escribir una expresión como binomio cuadrado elimina el problema de tener tanto una como una\(x\)\(x^{2},\) que nos impedía obtener la\(x\) por sí misma en la ecuación cuadrática estándar.

Si podemos averiguar qué debería tomar el lugar de los espacios en blanco en el enunciado:
\ [
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ quad =( x+\ quad) ^ {2}
\]
entonces estaremos bien en nuestro camino para derivar la fórmula cuadrática.

Si reexaminamos los cuadrados binomiales perfectos de muestra de la página anterior, observamos un patrón útil. Esto es que el espacio en blanco entre paréntesis\((x+\quad)^{2}\) se rellena con un número que es la mitad del valor del coeficiente lineal -o el coeficiente del\(x^{1}\) término. Observe que en\(x^{2}+6 x+9=(x+3)^{2}, 3\) es la mitad de\(6,\) en\(x^{2}+8 x+16=\)\((x+4)^{2},\) el 4 es la mitad de\(8,\) y así sucesivamente. Si queremos escribir\(x^{2}+\frac{b}{a} x+\quad\) como un cuadrado perfecto en el formulario\((x+\quad)^{2}\), el espacio en blanco entre paréntesis debe ser llenado por:
\ [
\ frac {1} {2} *\ frac {b} {a} =\ frac {b} {2 a}
\]
Ahora bien, no es cierto que\(x^{2}+\frac{b}{a} x+\quad=\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}\)

estamos faltando el término constante a la izquierda. Sin embargo, si volvemos a nuestros ejemplos cuadrados perfectos, podemos ver que el término constante es siempre el cuadrado del término dentro de los paréntesis. Entonces, podemos reafirmar nuestro problema ahora como:
\ [
\ begin {array} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ left (\ frac {b} {2 a}\ right) ^ {2} =\ left (x+\ frac {b} {2 a}\ right) ^ {2}\
x^ {2} +\ frac {b}} {a} x+\ frac {b^ {2}} {4 a^ {2}} =\ izquierda (x+\ frac {b} {2 a}\ derecha) ^ {2}
\ end {array}
\]

Entonces, si volvemos a nuestro problema original, estábamos diciendo que:
\ [
\ begin {array} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} {a} =0\\
-\ frac {c} {a} =-\ frac {c} {a} {a}\\
x^ {2} +\ frac {b} {a} x=-\ frac {c} {a }
\ end {array}
\]

Podemos agregar\(\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\) a ambos lados de esta ecuación y luego reafirmar el lado izquierdo como un cuadrado perfecto de un binomio:
\ [
\ begin {array} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x\ quad=-\ frac {c} {a}\\
+\ frac {b^ {2}} {4 a^ {2}} =+\ frac {b^ ^ {2}} {4 a^ {2}}\\
x^ { 2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {b^ {2}} {4 a^ {2}} =-\ frac {c} {a} {a} +\ frac {b^ {2}} {4 a^ {2}}\
\ frac {c} (x+\ frac {b} {2 a}\ derecha) ^ {2} =-\ frac {c} {a} +\ frac {b^ {2}} {4 a^ {2}}
\ end {array}
\]

El último bit complicado de esta derivación es sumar las dos fracciones en el lado derecho. El denominador común para estas fracciones es\(4 a^{2}\), así que tendremos que multiplicar el\(-\frac{c}{a}\) por\(\frac{4 a}{4 a}\) para obtener\(-\frac{4 a c}{4 a^{2}} .\) Entonces el lado derecho será\(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\)
\ [
\ left (x+\ frac {b} {2 a}\ right) ^ {2} =\ frac {b^ {2} -4 a c} {4 a^ {2}}
\]
Entonces, podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados y obtener el\(x\) por sí mismo:
\ [
\ begin {array} {c}
\ sqrt {\ left (x+\ frac {b} {2 a}\ right) ^ {2}} =\ pm\ sqrt {\ frac {b^ {2} -4 a c} {4 a^ {2}}}\\
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {\ sqrt {4 a^ {2}}}\\
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\ end {array}
\]

Restar\(\frac{b}{2 a}\) de ambos lados es fácil ya que ya tenemos un denominador común:
\ [
\ begin {array} {c}
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}\\
-\ frac {b} {2 a} {2 a} =-\ frac {b} {2 a}\\
x= ac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\ end {array}
\]
A nivel de Álgebra Universitaria, a menudo es útil programar la fórmula cuadrática en una calculadora gráfica tanto para un uso fácil como también para aprender un poco sobre programación. El siguiente programa es un ejemplo sencillo de esto para la serie TI84 de calculadoras gráficas. Las calculadoras gráficas también suelen tener una función de solucionador de polinomios incorporada que se puede usar para resolver cuadráticas.

Presione la tecla “prgm” en la parte superior central del teclado de la calculadora. Esto sacará a colación una pantalla que muestra EXEC EDIT NEW en la parte superior. Flecha sobre la parte superior hasta “NUEVO” y luego selecciona 1: Crear nuevo.

Esto hará que aparezca una pantalla pidiéndole que nombre el programa. Deberías ver PROGRAMA y luego debajo de él, “Nombre=”. El bloqueo alfa se activa automáticamente, por lo que cualquier tecla que presione escribirá la letra asociada a él. Nombra tu programa y presiona ENTRAR. Deberías ver PROGRAMA: Nombre, con el nombre que hayas elegido para tu programa. Debajo de esto se verá dos puntos:
Aquí es donde ingresará los comandos para el programa.

Primero necesitamos ingresar los valores para\(A, B\) y\(C\) desde la ecuación cuadrática en la calculadora. Para ello, vuelve a pulsar la tecla “prgm”. En la parte superior de la pantalla debería ver CTL I/O COLOR EXEC.

Flecha sobre I/O. Este es el menú “entrada/salida”. Elija el número 2:Prompt. Esto te devolverá a la pantalla del programa donde verá:prompt bajo el nombre del programa. Después:Prompt, escriba\(A, B, C .\) Necesitarás usar la tecla “alpha” para acceder a las letras y la coma está justo encima de la tecla 7.

PROGRAMA: Nombre (cualquiera que sea el nombre que haya elegido debe mostrarse aquí) :Prompt\(A, B, C\)
En la siguiente línea del programa, tomaremos los valores de\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)\(\mathrm{C}\) y los usaremos para calcular los valores de las raíces de la ecuación. Escriba lo siguiente:
PROGRAMA: Nombre:Prompt\(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)
\(:(-B+\sqrt{\left(B^{2}-4 A C\right)}) /(2 A) \rightarrow R\)
\(:(-B-\sqrt{\left(B^{2}-4 A C\right)}) /(2 A) \rightarrow S\)

Al escribir estas dos líneas es importante que cuando escribes\(-B\), uses la clave negativa junto al punto decimal, en lugar de la clave de resta. La calculadora es muy exigente con esto. Cuando esté escribiendo el\(B^{2}-4 A C\), deberá usar la tecla de resta en el extremo derecho del teclado.

También observe los paréntesis dobles, un conjunto para el numerador de la fracción y un conjunto para la raíz cuadrada. Si no escribes esto correctamente producirá respuestas incorrectas. La flecha en la fórmula almacena los valores de la respuesta en las variables\(\mathrm{R}\) y\(\mathrm{S}\), y la flecha es producida por la\(\rightarrow "\) tecla “sto justo encima del botón ON en la parte inferior izquierda del teclado.

Ahora que le hemos dado a la calculadora los valores para\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)\(\mathrm{C}\) y luego hicimos que la calculadora encontrara las raíces del eqatiuon, necesitamos mostrar las respuestas. Si presiona la tecla prgm y vuelve a colocar la flecha hacia el menú de E/S, puede elegir 3:Disp. Esto mostrará las respuestas que hemos almacenado como\(\mathrm{R}\) y\(\mathrm{S}\).

PROGRAMA: Nombre:Prompt\(A, B, C\)\(:(-B+\sqrt{B^{2}-4 A C})) /(2 A) \rightarrow R\)
\(:(-B-\sqrt{B^{2}-4 A C})) /(2 A) \rightarrow S\)
: Disp\(R, S\)
Ahora podemos probar el programa con algunas ecuaciones simples. Para ejecutar el programa, presione la tecla de programa y elija el programa que ha creado ya sea seleccionándolo y presionando enter, o presionando el número del programa en la lista. Esto debería llevarte de vuelta a la pantalla de cálculo, donde puedes ejecutar el programa presionando enter. La calculadora debería entonces pedirte los valores de\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) y
\(C\)

Resolver para\(x: \quad 2 x^{2}-x-1=0\)
En este ejemplo los valores para\(A, B\) y\(C\) son:
\(A=2\)
\(B=-1\)
\(C=-1\)
Nuevamente, es importante que uses la clave de signo negativo junto al punto decimal para los valores de cualquier negativo y no la clave de resta. La calculadora debe devolver valores de 1 y -0.5 como las soluciones.

Resolver para
\(x: \quad x^{2}+x+1=0\)
En este ejemplo los valores para\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) y\(\mathrm{C}\) son:
\(A=1\)
\(B=1\)
\(C=1\)
La calculadora debe devolver valores de\(-0.5 \pm 0.8660254038 i\) como soluciones.

Si recibe un mensaje de error que dice “RESPUESTAS NO REALES”, deberá ajustar la configuración de la calculadora para permitir respuestas complejas de valor. Puedes hacer esto presionando la tecla “mode” en la parte superior izquierda del teclado y con flecha hacia abajo hasta la línea que dice “REAL a+bi. Luego\(\operatorname{re}^{\wedge}(\theta i) .^{\prime \prime}\) puedes mover la flecha hacia “a+bi” y presionar enter. Esto permitirá a la calculadora calcular respuestas complejas valoradas.
Algo muy importante para recordar sobre la fórmula cuadrática es que la ecuación debe estar en forma estándar para identificar los valores de\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) y\(\mathrm{C}\) usar en la fórmula. Por ejemplo en la ecuación:
\ [
3 x^ {2} -7=2 x
\]
es importante entender que los valores de\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) y\(\mathrm{C}\) provienen de la forma estándar de la ecuación y no la forma actual de la ecuación. Hay varios escollos a tener en cuenta en esta ecuación. En primer lugar, el\(2 x\) está en el lado opuesto de la ecuación a los otros términos. Eso significa que el valor de\(B\) IS\(\mathrm{NOT}+2 .\) También, si tuviéramos que movernos el\(2 x\) al otro lado para poner la ecuación en forma estándar, no es el orden de los términos, sino el grado de la variable el que determina si un coeficiente se identifica como\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) o\(\mathrm{C}\)

Al mover el\(2 x\) al otro lado de la ecuación, he visto a estudiantes poner el término que están agregando a ese lado como último trimestre. No hay nada de malo en esto, pero si haces eso, debes tener cuidado al identificar los valores de\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) y\(C\)
\ [
\ begin {aligned}
3 x^ {2} -7 &=2 x\\
-2 x &=-2 x\\
3 x^ {2} -7-2 x &=0
\ end { alineado}
\] No
hay nada de malo en la forma en que se escribe la ecuación anterior depsite el hecho de que no está en “forma estándar”. Lo importante a recordar es que “A” no es el coeficiente de cualquier término que se enumere primero. Es el coeficiente del cuadrático, o\(x^{2}\) término. De igual manera, “B” no es el coeficiente del segundo término, sino el coeficiente del lineal, o\(x^{1}\) término. Y “C” no es el número que venga último, sino más bien el valor del término constante. Entonces en la ecuación anterior, sin embargo está escrito, el valor de\(\mathrm{A}\) es\(+3, \mathrm{B}\) es -2 y\(\mathrm{C}\) es -7

Ejercicios\(\PageIndex{1}\)

Resuelve para\(x\) en cada ecuación. Redondear cualquier valor irracional al 1000 th más cercano.

1)\(\quad x^{2}+7 x=2\)
2)\(\quad 5 x^{2}-3 x=4\)
3)\(\quad \frac{3}{4} x^{2}=\frac{7}{8} x+\frac{1}{2}\)
4)\(\quad \frac{2}{3} x^{2}-\frac{1}{3}=\frac{5}{9} x\)
5)\(\quad 2 x^{2}+(\sqrt{5}) x-3=0\)
6)\(\quad 3 x^{2}+x-\sqrt{2}=0\)
7)\(\quad 2.58 x^{2}-3.75 x-2.83=0\)
8)\(\quad 3.73 x^{2}+9.74 x+2.34=0\)
9)\(\quad 5.3 x^{2}+7.08 x+1.02=0\)
10)\(\quad 3.04 x^{2}+1.35 x+1.234=0\)
11)\(\quad 7 x(x+2)+5=3 x(x+1)\)
12)\(\quad 5 x(x-1)-7=4 x(x-2)\)
13)\(\quad 14(x-4)-(x+2)=(x+2)(x-4)\)
14)\(\quad 11(x-2)+(x-5)=(x+2)(x-6)\)

Contestar

1)\(\quad x \approx 0.275,-7.275\)
3)\(\quad x \approx 1.587,-0.420\)
5)\(\quad x \approx 0.787,-1.905\)
7)\(\quad x \approx-0.548,2.002\)
9)\(\quad x \approx-0.164,-1.172\)
11)\(\quad x \approx-0.575,-2.175\)
13)\(\quad x=10,5\)