Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

3.3: Reglas de diferenciación

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Establezca las reglas constantes, múltiples constantes y de poder.
  • Aplicar las reglas de suma y diferencia para combinar derivados.
  • Utilice la regla del producto para encontrar la derivada de un producto de funciones.
  • Utilice la regla del cociente para encontrar la derivada de un cociente de funciones.
  • Extender la regla de potencia a funciones con exponentes negativos.
  • Combinar las reglas de diferenciación para encontrar la derivada de una función polinómica o racional.

Encontrar derivadas de funciones usando la definición de la derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones, bastante desafiante. Por ejemplo, anteriormente encontramos que

ddx(x)=12x

mediante el uso de un proceso que implicaba multiplicar una expresión por un conjugado antes de evaluar un límite.

El proceso que podríamos utilizar para evaluarddx(3x) usando la definición, aunque similar, es más complicado.

En esta sección, desarrollamos reglas para encontrar derivados que nos permitan eludir este proceso. Comenzamos con lo básico.

Las Reglas Básicas

Las funcionesf(x)=c yg(x)=xn donden es un entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivados de polinomios y funciones racionales de manera eficiente sin recurrir a la definición límite de la derivada, primero debemos desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas.

La Regla Constante

Primero aplicamos la definición límite de la derivada para encontrar la derivada de la función constante,f(x)=c. Para esta función, ambosf(x)=c yf(x+h)=c, así obtenemos el siguiente resultado:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0cch=limh00h=limh00=0.

La regla para diferenciar funciones constantes se llama regla constante. Afirma que la derivada de una función constante es cero; es decir, dado que una función constante es una línea horizontal, la pendiente, o la tasa de cambio, de una función constante es0. Reafirmamos esta regla en el siguiente teorema.

La Regla Constante

Quec sea una constante. Sif(x)=c, entoncesf(x)=0.

Alternativamente, podemos expresar esta regla como

ddx(c)=0.

Ejemplo3.3.1: Applying the Constant Rule

Encuentra la derivada def(x)=8.

Solución

Esto es solo una aplicación de la regla en un solo paso:f(8)=0.

Ejercicio3.3.1

Encuentra la derivada deg(x)=3.

Pista

Usar el ejemplo anterior como guía

Contestar

0

La regla del poder

Hemos demostrado que

ddx(x2)=2x and ddx(x1/2)=12x1/2.

En este punto, es posible que veas un patrón comenzando a desarrollarse para derivados de la formaddx(xn). Continuamos nuestro examen de fórmulas derivadas diferenciando funciones de poder de la formaf(x)=xn donden es un entero positivo. Desarrollamos fórmulas para derivados de este tipo de función en etapas, comenzando con potencias enteras positivas. Antes de exponer y probar la regla general para derivadas de funciones de esta forma, echamos un vistazo a un caso específico,ddx(x3). A medida que avanzamos por esta derivación, prestar especial atención a la porción de la expresión en negrilla, ya que la técnica utilizada en este caso es esencialmente la misma que la técnica utilizada para probar el caso general.

Ejemplo3.3.2: Differentiating x3

Encuentraddx(x3).

Solución:

ddx(x3)=limh0(x+h)3x3h  
=limh0x3+3x2h+3xh2+h3x3h Observe que el primer término en la expansión de(x+h)3 esx3 y el segundo término es3x2h. Todos los demás términos contienen poderes deh que son dos o mayores
=limh03x2h+3xh2+h3h En este paso se han canceladox3 los términos, dejando sólo términos que contienenh.
=limh0h(3x2+3xh+h2)h Facturar el factor común deh.
=limh0(3x2+3xh+h2) Después de cancelar el factor común deh, el único término que no contieneh es3x2.
=3x2 Déjaloh ir a0.
Ejercicio3.3.2

Encuentraddx(x4).

Pista

Utilice(x+h)4=x4+4x3h+6x2h2+4xh3+h4 y siga el procedimiento descrito en el ejemplo anterior.

Contestar

ddx(x4)=4x3

Como veremos, el procedimiento para encontrar la derivada de la forma generalf(x)=xn es muy similar. Aunque a menudo es imprudente sacar conclusiones generales a partir de ejemplos específicos, observamos que cuando diferenciamosf(x)=x3, el power onx se convierte en el coeficiente dex2 en la derivada y la potencia onx en la derivada disminuye en 1. El siguiente teorema establece que la regla de poder se mantiene para todos los poderes enteros positivos dex. Eventualmente extenderemos este resultado a potencias enteras negativas. Posteriormente, veremos que esta regla también puede extenderse primero a los poderes racionales dex y luego a los poderes arbitrarios dex. Tenga en cuenta, sin embargo, que esta regla no se aplica a las funciones en las que una constante se eleva a una potencia variable, comof(x)=3x.

La regla del poder

Dejarn ser un entero positivo. Sif(x)=xn, entonces

f(x)=nxn1.

Alternativamente, podemos expresar esta regla como

ddx(xn)=nxn1.

Prueba

Paraf(x)=xn donden es un entero positivo, tenemos

f(x)=limh0(x+h)nxnh.

Desde

(x+h)^n=x^n+nx^{n−1}h+\binom{n}{2}x^{n−2}h^2+\binom{n}{3}x^{n−3}h^3+…+nxh^{n−1}+h^n,

vemos que

(x+h)^n−x^n=nx^{n−1}h+\binom{n}{2}x^{n−2}h^2+\binom{n}{3}x^{n−3}h^3+…+nxh^{n−1}+h^n.

A continuación, divida ambos lados por h:

\dfrac{(x+h)^n−x^n}{h}=\dfrac{nx^{n−1}h+\binom{n}{2}x^{n−2}h^2+\binom{n}{3}x^{n−3}h^3+…+nxh^{n−1}+h^n}{h}.

Por lo tanto,

\dfrac{(x+h)^n−x^n}{h}=nx^{n−1}+\binom{n}{2}x^{n−2}h+\binom{n}{3}x^{n−3}h^2+…+nxh^{n−2}+h^{n−1}.

Por último,

f′(x)=\lim_{h→0}(nx^{n−1}+\binom{n}{2}x^{n−2}h+\binom{n}{3}x^{n−3}h^2+…+nxh^{n−2}+h^{n-1}) \nonumber

=nx^{n−1}.

Ejemplo\PageIndex{3}: Applying the Power Rule

Encuentra la derivada de la funciónf(x)=x^{10} aplicando la regla de poder.

Solución

Usando la regla de poder conn=10, obtenemos

f'(x)=10x^{10−1}=10x^9. \nonumber

Ejercicio\PageIndex{3}

Encuentra la derivada def(x)=x^7.

Pista

Usa la regla de poder conn=7.

Contestar

f′(x)=7x^6

La suma, la diferencia y las reglas múltiples constantes

Encontramos nuestras próximas reglas de diferenciación analizando derivados de sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones. Así como cuando trabajamos con funciones, hay reglas que facilitan la búsqueda de derivadas de funciones que sumamos, restamos o multiplicamos por una constante. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema.

Suma, Diferencia y Reglas Múltiples Constantes

Dejarf(x) yg(x) ser funciones diferenciables yk ser una constante. Entonces se mantiene cada una de las siguientes ecuaciones.

Regla de Suma. La derivada de la suma de una funciónf y una funcióng es la misma que la suma de la derivada def y la derivada deg.

\dfrac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)+\dfrac{d}{dx}\big(g(x)\big); \nonumber

es decir,

\text{for }s(x)=f(x)+g(x),\quad s′(x)=f′(x)+g′(x). \nonumber

Regla de Diferencia. La derivada de la diferencia de una funciónf y una funcióng es la misma que la diferencia de la derivada def y la derivada deg:

\dfrac{d}{dx}(f(x)−g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))−\dfrac{d}{dx}(g(x)); \nonumber

es decir,

\text{for }d(x)=f(x)−g(x),\quad d′(x)=f′(x)−g′(x). \nonumber

Regla Múltiple Constante. La derivada de una constantek multiplicada por una funciónf es la misma que la constante multiplicada por la derivada:

\dfrac{d}{dx}\big(kf(x)\big)=k\dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big); \nonumber

es decir,

\text{for }m(x)=kf(x),\quad m′(x)=kf′(x). \nonumber

Prueba

Aquí solo proporcionamos la prueba de la regla de la suma. El resto sigue de manera similar.

Para funciones diferenciablesf(x) yg(x), establecemoss(x)=f(x)+g(x). Usando la definición límite de la derivada tenemos

s′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{s(x+h)−s(x)}{h}.\nonumber

Al sustituirs(x+h)=f(x+h)+g(x+h) ys(x)=f(x)+g(x), obtenemos

s′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{\big(f(x+h)+g(x+h)\big)−\big(f(x)+g(x)\big)}{h}.\nonumber

Reordenando y reagrupando los términos, tenemos

s′(x)=\lim_{h→0}\left(\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)−g(x)}{h}\right).\nonumber

Ahora aplicamos la ley de suma para los límites y la definición del derivado para obtener

s′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}+\lim_{h→0}\dfrac{g(x+h)−g(x)}{h}=f′(x)+g′(x).\nonumber

Ejemplo\PageIndex{4}: Applying the Constant Multiple Rule

Encuentre la derivada deg(x)=3x^2 y compárela con la derivada def(x)=x^2.

Solución

Utilizamos la regla de poder directamente:

g′(x)=\dfrac{d}{dx}(3x^2)=3\dfrac{d}{dx}(x^2)=3(2x)=6x.\nonumber

Ya quef(x)=x^2 tiene derivadof′(x)=2x, vemos que la derivada deg(x) es 3 veces la derivada def(x). Esta relación se ilustra en la Figura\PageIndex{1}.

Se muestran dos gráficas. La primera gráfica muestra g (x) = 3x2 y f (x) = x al cuadrado. La segunda gráfica muestra g' (x) = 6x y f' (x) = 2x. En la primera gráfica, g (x) aumenta tres veces más rápidamente que f (x). En la segunda gráfica, g' (x) aumenta tres veces más rápidamente que f' (x).
Figura\PageIndex{1}: La derivada deg(x) es 3 veces la derivada def(x).
Ejemplo\PageIndex{5}: Applying Basic Derivative Rules

Encuentra la derivada def(x)=2x^5+7.

Solución

Comenzamos aplicando la regla para diferenciar la suma de dos funciones, seguida de las reglas para diferenciar múltiplos constantes de funciones y la regla para diferenciar poderes. Para comprender mejor la secuencia en la que se aplican las reglas de diferenciación, utilizamos la notación Leibniz a lo largo de la solución:

\ (\ begin {align*} f′ (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (2x^5+7\ derecha)\\ [4pt]
&=\ dfrac {d} {dx} (2x^5) +\ dfrac {d} {dx} (7) &\ text {Aplicar la regla de suma.}\\ [4pt]
&=2\ dfrac {d} {dx} (x^5) +\ dfrac {d} {dx} (7) &\ text {Aplicar la regla múltiple constante.}\\ [4pt]
&=2 (5 x^4) +0 & &\ text {Aplica la regla de potencia y la regla constante.}\\ [4pt]
&=10x^4 & &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\)

Ejercicio\PageIndex{4}

Encuentra la derivada def(x)=2x^3−6x^2+3.

Pista

Utilice el ejemplo anterior como guía.

Contestar

f′(x)=6x^2−12x.

Ejemplo\PageIndex{6}: Finding the Equation of a Tangent Line

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=x^2−4x+6 atx=1

Solución

Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente. Para encontrar el punto, compute

f(1)=1^2−4(1)+6=3. \nonumber

Esto nos da el punto(1,3). Dado que la pendiente de la línea tangente en 1 esf′(1), primero debemos encontrarf′(x). Usando la definición de un derivado, tenemos

f′(x)=2x−4\nonumber

por lo que la pendiente de la línea tangente esf′(1)=−2. Usando la fórmula punto-pendiente, vemos que la ecuación de la línea tangente es

y−3=−2(x−1).\nonumber

Poniendo la ecuación de la línea en forma pendiente-intercepción, obtenemos

y=−2x+5.\nonumber

Ejercicio\PageIndex{5}

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=3x^2−11 atx=2. Utilice la forma punto-pendiente.

Pista

Utilice el ejemplo anterior como guía.

Contestar

y=12x−23

La regla del producto

Ahora que hemos examinado las reglas básicas, podemos comenzar a mirar algunas de las reglas más avanzadas. El primero examina la derivada del producto de dos funciones. Si bien puede ser tentador suponer que la derivada del producto es el producto de los derivados, similar a las reglas de suma y diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos usar este patrón, consideremos la funciónf(x)=x^2, cuya derivada esf′(x)=2x y no\dfrac{d}{dx}(x)⋅\dfrac{d}{dx}(x)=1⋅1=1.

Regla del producto

Dejarf(x) yg(x) ser funciones diferenciables. Entonces

\dfrac{d}{dx}(f(x)g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))⋅g(x)+\dfrac{d}{dx}(g(x))⋅f(x). \nonumber

Es decir,

\text{if }p(x)=f(x)g(x),\quad \text{then }p′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x).\nonumber

Esto significa que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la derivada de la segunda función por la primera función.

Prueba

Comenzamos asumiendo quef(x) yg(x) son funciones diferenciables. En un punto clave de esta prueba necesitamos utilizar el hecho de que, comog(x) es diferenciable, también es continuo. En particular, utilizamos el hecho de que dado queg(x) es continuo,\displaystyle \lim_{h→0}g(x+h)=g(x).

Al aplicar la definición límite de la derivada parap(x)=f(x)g(x), obtener

p′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)}{h}.\nonumber

Al sumar y restarf(x)g(x+h) en el numerador, tenemos

p′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)}{h}.\nonumber

Después de romper este cociente y aplicar la ley de suma para los límites, la derivada se convierte

p′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}{h}+\lim_{h→0}\dfrac{f(x)g(x+h)−f(x)g(x)}{h}.\nonumber

Reordenando, obtenemos

\ [\ begin {align*} p′ (x) &=\ lim_ {h→0}\ izquierda (\ dfrac {f (x+h) −f (x)} {h} g (x+h)\ derecha) +\ lim_ {h→0}\ izquierda (\ dfrac {g (x+h) −g (x)} {h} f (x)\ derecha)\\ [4pt]
&=\ izquierda (\ lim_ {h→0}\ dfrac {f (x+h) −f (x)} {h}\ derecha) ⋅\ izquierda (\ lim_ {h→0}\; g (x+h)\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {h→0}\ dfrac {g (x+h) −g (x)} {h}\ derecha) f (x)\ final {alinear*}\]

Al utilizar la continuidad deg(x), la definición de los derivados def(x) yg(x), y aplicando las leyes de límite, llegamos a la regla del producto,

p′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x).\nonumber

Ejemplo\PageIndex{7}: Applying the Product Rule to Constant Functions

Parap(x)=f(x)g(x), use la regla del producto para encontrarp′(2) sif(2)=3,\; f′(2)=−4,\; g(2)=1, yg′(2)=6.

Solución

Desdep(x)=f(x)g(x),p′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x), y por lo tanto

p′(2)=f′(2)g(2)+g′(2)f(2)=(−4)(1)+(6)(3)=14.

Ejemplo\PageIndex{8}: Applying the Product Rule to Binomials

Parap(x)=(x^2+2)(3x^3−5x), encontrarp′(x) aplicando la regla del producto. Verifique el resultado primero encontrando el producto y luego diferenciando.

Solución

Si nos fijamosf(x)=x^2+2 yg(x)=3x^3−5x, entoncesf′(x)=2x yg′(x)=9x^2−5. Por lo tanto,

p′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)=(2x)(3x^3−5x)+(9x^2−5)(x^2+2).

Simplificando, tenemos

p′(x)=15x^4+3x^2−10. \nonumber

Para verificar, vemos esop(x)=3x^5+x^3−10x y, en consecuencia,p′(x)=15x^4+3x^2−10.

Ejercicio\PageIndex{6}

Utilice la regla del producto para obtener la derivada dep(x)=2x^5(4x^2+x).

Pista

Establecerf(x)=2x^5g(x)=4x^2+x y usar el ejemplo anterior como guía.

Contestar

p′(x)=10x^4(4x^2+x)+(8x+1)(2x^5)=56x^6+12x^5.

La regla del cociente

Habiendo desarrollado y practicado la regla del producto, ahora consideramos diferenciar cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas; más bien, es la derivada de la función en el numerador multiplicada por la función en el denominador menos la derivada de la función en el denominador multiplicada por la función en el numerador, todo dividido por el cuadrado de la función en el denominador. Para comprender mejor por qué no podemos simplemente tomar el cociente de los derivados, tenga en cuenta que

\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x,\text{ not }\dfrac{\dfrac{d}{dx}(x^3)}{\dfrac{d}{dx}(x)}=\dfrac{3x^2}{1}=3x^2.\nonumber

La regla del cociente

Dejarf(x) yg(x) ser funciones diferenciables. Entonces

\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(f(x))⋅g(x)−\dfrac{d}{dx}(g(x))⋅f(x)}{\big(g(x)\big)^2}. \nonumber

Es decir, si

q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\nonumber

entonces

q′(x)=\dfrac{f′(x)g(x)−g′(x)f(x)}{\big(g(x)\big)^2}.\nonumber

La prueba de la regla del cociente es muy similar a la prueba de la regla del producto, por lo que aquí se omite. En cambio, aplicamos esta nueva regla para encontrar derivados en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\PageIndex{9}: Applying the Quotient Rule

Usa la regla del cociente para encontrar la derivada deq(x)=\dfrac{5x^2}{4x+3}.

Solución

Dejarf(x)=5x^2 yg(x)=4x+3. Así,f′(x)=10x yg′(x)=4.

Sustituyendo a la regla del cociente, tenemos

q′(x)=\dfrac{f′(x)g(x)−g′(x)f(x)}{(g(x))^2}=\dfrac{10x(4x+3)−4(5x^2)}{(4x+3)^2}.\nonumber

Simplificando, obtenemos

q′(x)=\dfrac{20x^2+30x}{(4x+3)^2}\nonumber

Ejercicio\PageIndex{7}

Encuentra la derivada deh(x)=\dfrac{3x+1}{4x−3}.

Pista

Aplicar la regla del cociente conf(x)=3x+1 yg(x)=4x−3.

Contestar

h′(x)=−\dfrac{13}{(4x−3)^2}.

Ahora es posible usar la regla de cociente para extender la regla de poder para encontrar derivadas de funciones de la formax^k dondek es un entero negativo.

Regla de potencia extendida

Sik es un entero negativo, entonces

\dfrac{d}{dx}(x^k)=kx^{k−1}. \nonumber

Prueba

Sik es un entero negativo, podemos establecern=−k, de modo que n es un entero positivo conk=−n. Dado que para cada entero positivonx^{−n}=\dfrac{1}{x^n},, ahora podemos aplicar la regla de cociente estableciendof(x)=1 yg(x)=x^n. En este caso,f′(x)=0 yg′(x)=nx^{n−1}. Por lo tanto,

\dfrac{d}{dx}(x^{−n})=\dfrac{0(x^n)−1(nx^{n−1})}{(x^n)^2}.\nonumber

Simplificando, vemos que

\begin{align*} \dfrac{d}{dx}(x^{−n}) &=\dfrac{−nx^{n−1}}{x^{2n}}\\[4pt]&=−nx^{(n−1)−2n}\\[4pt]&=−nx^{−n−1}.\end{align*}

Por último, observar que ya quek=−n, al sustituir tenemos

\dfrac{d}{dx}(x^k)=kx^{k−1}.\nonumber

Ejemplo\PageIndex{10}: Using the Extended Power Rule

Encuentra\dfrac{d}{dx}(x^{−4}).

Solución

Al aplicar la regla de poder extendido conk=−4, obtenemos

\dfrac{d}{dx}(x^{−4})=−4x^{−4−1}=−4x^{−5}.\nonumber

Ejemplo\PageIndex{11}: Using the Extended Power Rule and the Constant Multiple Rule

Utilice la regla de potencia extendida y la regla múltiple constante para encontrarf(x)=\dfrac{6}{x^2}.

Solución

Puede parecer tentador usar la regla del cociente para encontrar esta derivada, y ciertamente no sería incorrecto hacerlo. Sin embargo, es mucho más fácil diferenciar esta función reescribiéndola primero comof(x)=6x^{−2}.

\ (\ begin {align*} f′ (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ dfrac {6} {x^2}\ derecha) =\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (6x^ {−2}\ derecha) &\ texto {Reescribir}\ dfrac {6} {x^2}\ texto {as} 6x^ {−2}.\\ [4pt]
&=6\ dfrac {d} {dx}\ left (x^ {−2}\ right) &\ text {Aplica la regla múltiple constante.}\\ [4pt]
&=6 (−2x^ { −3}) & &\ text {Usa la regla de potencia extendida para diferenciar} x^ {−2}.\\ [4pt]
&=−12x^ {−3} &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\)

Ejercicio\PageIndex{8}

Encuentre la derivada delg(x)=\dfrac{1}{x^7} uso de la regla de potencia extendida.

Pista

Reescribirg(x)=\dfrac{1}{x^7}=x^{−7}. Utilice la regla de potencia extendida conk=−7.

Contestar

g′(x)=−7x^{−8}.

Combinar reglas de diferenciación

Como hemos visto a lo largo de los ejemplos de esta sección, rara vez sucede que estamos llamados a aplicar una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función dada. En este punto, al combinar las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Posteriormente encontraremos combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una buena regla general para usar al aplicar varias reglas es aplicar las reglas a la inversa del orden en que evaluaríamos la función.

Ejemplo\PageIndex{12}: Combining Differentiation Rules

Parak(x)=3h(x)+x^2g(x), encontrark′(x).

Solución: Encontrar esta derivada requiere la regla de suma, la regla múltiple constante y la regla del producto.

k′(x)=\dfrac{d}{dx}\big(3h(x)+x^2g(x)\big)=\dfrac{d}{dx}\big(3h(x)\big)+\dfrac{d}{dx}\big(x^2g(x)\big) Aplicar la regla de suma.
=3\dfrac{d}{dx}\big(h(x)\big)+\left(\dfrac{d}{dx}(x^2)g(x)+\dfrac{d}{dx}(g(x))x^2\right) Aplicar la regla múltiple constante para diferenciar3h(x) y la regla del producto para diferenciarx^2g(x).
=3h′(x)+2xg(x)+g′(x)x^2  
Ejemplo\PageIndex{13}: Extending the Product Rule

Parak(x)=f(x)g(x)h(x), expresok′(x) en términos def(x),g(x),h(x), y sus derivados.

Solución

Podemos pensar en la funciónk(x) como el producto de la funciónf(x)g(x) y la funciónh(x). Es decir,k(x)=(f(x)g(x))⋅h(x). Por lo tanto,

\ (\ begin {align*} k′ (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ grande (f (x) g (x)\ grande) h (x) +\ dfrac {d} {dx}\ grande (h (x)\ grande) ⋅\ grande (f (x) g (x)\ grande). & &\ text {Aplicar la regla del producto al producto de} f (x) g (x)\ text {y} h (x).\\ [4pt]
&=\ big (f′ (x) g (x) +g′ (x) f (x)\ big) h (x) +h′ (x) f (x) g (x) &\ text {Aplicar la regla del producto a} f (x) g (x)\\ [4pt]
&=f′ (x) g (x) h (x) +f (x) g′ (x) h (x) +f (x) g (x) h′ (x). & &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\)

Ejemplo\PageIndex{14}: Combining the Quotient Rule and the Product Rule

Parah(x)=\dfrac{2x^3k(x)}{3x+2}, encontrarh′(x).

Solución

Este procedimiento es típico para encontrar la derivada de una función racional.

\ (\ begin {align*} h′ (x) &=\ dfrac {\ dfrac {d} {dx} (2x^3k (x)) ⋅ (3x+2) −\ dfrac {d} {dx} (3x+2) ⋅ (2x^3k (x))} {(3x+2) ^2} &\ text {Aplica la regla del cociente.}\ [4pt]
&=\ dfrac {(6x^2k (x) +k′ (x) 2x^3) (3x+2) −3 (2x^3k (x))} {(3x+2) ^2} &\ text {Aplica la regla del producto para encontrar}\ dfrac {d} {dx} (2x^3k (x)). \ text {Usar}\ dfrac {d} {dx} (3x+2) =3.\\ [4pt]
&=\ dfrac {−6x^3k (x) +18x^3k (x) +12x^2k (x) +6x^4k′ (x) +4x^3k′ (x)} {(3x+2) ^2} &\ texto {Simplificar}\ end {alinear*}\)

Ejercicio\PageIndex{9}

Encuentra\dfrac{d}{dx}(3f(x)−2g(x)).

Pista

Aplicar la regla de diferencia y la regla múltiple constante.

Contestar

3f′(x)−2g′(x).

Ejemplo\PageIndex{15}: Determining Where a Function Has a Horizontal Tangent

Determinar los valores dex para los cualesf(x)=x^3−7x^2+8x+1 tiene una línea tangente horizontal.

Solución

Para encontrar los valores dex para los cualesf(x) tiene una línea tangente horizontal, debemos resolverf′(x)=0.

Dado quef′(x)=3x^2−14x+8=(3x−2)(x−4),

debemos resolver(3x−2)(x−4)=0. Así vemos que la función tiene líneas tangentes horizontales enx=\dfrac{2}{3} yx=4 como se muestra en la siguiente gráfica.

La gráfica muestra f (x) = x3 — 7x2 + 8x + 1, y las líneas tangentes se muestran como x = 2/3 y x = 4.
Figura\PageIndex{2}: Esta función tiene líneas tangentes horizontales enx = 2/3 yx = 4.
Ejemplo\PageIndex{16}: Finding a Velocity

La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempot viene dada pors(t)=\dfrac{t}{t^2+1}. ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?

Solución

Dado que la velocidad inicial sev(0)=s′(0), inicias′(t) por encontrar aplicando la regla del cociente:

s′(t)=\dfrac{1(t^2+1)−2t(t)}{(t^2+1)^2}=\dfrac{1−t^2}{(t^2+1)^2}.

Después de evaluar, vemos quev(0)=1.

Ejercicio\PageIndex{10}

Encuentra los valores dex para los cuales la línea tangente a la gráfica def(x)=4x^2−3x+2 tiene una línea tangente paralela a la líneay=2x+3.

Pista

Resolverf′(x)=2.

Contestar

\dfrac{5}{8}

Graderías de Fórmula Uno

Las carreras de autos de Fórmula Uno pueden ser muy emocionantes de ver y atraer a muchos espectadores. Los diseñadores de pistas de Fórmula Uno deben garantizar que haya suficiente espacio disponible en la tribuna alrededor de la pista para acomodar a estos espectadores. Sin embargo, las carreras de autos pueden ser peligrosas y las consideraciones de seguridad son primordiales. Las tribunas deben colocarse donde los espectadores no estarán en peligro en caso de que un conductor pierda el control de un automóvil (Figura\PageIndex{3}).

Una foto de una tribuna junto a una recta de una pista de carreras.
Figura\PageIndex{3}: La tribuna junto a una recta del circuito Circuito de Barcelona-Catalunya, ubicada donde los espectadores no están en peligro.

La seguridad es especialmente una preocupación en los giros. Si un conductor no disminuye la velocidad suficiente antes de ingresar al giro, el automóvil puede deslizarse fuera de la pista de carreras. Normalmente, esto solo da como resultado un giro más amplio, lo que ralentiza al conductor. Pero si el conductor pierde el control por completo, el auto puede volar fuera de la pista por completo, en un camino tangente a la curva del hipódromo.

Supongamos que está diseñando una nueva pista de Fórmula Uno. Una sección de la pista puede ser modelada por la funciónf(x)=x^3+3x^2+x (Figura\PageIndex{4}). El plan actual exige que se construyan tribunas a lo largo de la primera recta y alrededor de una porción de la primera curva. Los planos exigen que la esquina delantera de la tribuna se ubique en el punto (−1.9,2.8). Queremos determinar si esta ubicación pone en peligro a los espectadores si un conductor pierde el control del automóvil.

Esta figura tiene dos partes etiquetadas a y b. La figura a muestra la gráfica de f (x) = x3 + 3x2 + x. La figura b muestra la misma gráfica pero esta vez con dos cajas en ella. El primer cuadro aparece a lo largo del lado izquierdo de la gráfica a ambos lados del eje x aproximadamente paralelo a f (x). El segundo cuadro aparece un poco más alto, también aproximadamente paralelo a f (x), con su esquina frontal ubicada en (−1.9, 2.8). Obsérvese que esta esquina está aproximadamente en línea con la trayectoria directa de la pista antes de que ésta empezara a girar.
Figura\PageIndex{4}: (a) Una sección del hipódromo puede ser modelada por la funciónf(x)=x^3+3x^2+x. (b) La esquina frontal de la tribuna se encuentra en (−1.9,2.8).
  1. Los físicos han determinado que es más probable que los conductores pierdan el control de sus autos ya que van entrando en un giro, en el punto donde la pendiente de la línea tangente es 1. Encuentra las(x,y) coordenadas de este punto cerca del giro.
  2. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva en este punto.
  3. Para determinar si los espectadores están en peligro en este escenario, encuentra lax coordenada del punto donde la línea tangente cruza la líneay=2.8. ¿Este punto está seguro a la derecha de la tribuna? ¿O los espectadores están en peligro?
  4. ¿Y si un conductor pierde el control antes de lo que proyectan los físicos? Supongamos que un conductor pierde el control en el punto (−2.5,0.625). ¿Cuál es la pendiente de la línea tangente en este punto?
  5. Si un conductor pierde el control como se describe en la parte 4, ¿están seguros los espectadores?
  6. ¿Debe continuar con el diseño actual para la tribuna, o deben trasladarse las tribunas?

Conceptos clave

  • La derivada de una función constante es cero.
  • La derivada de una función de potencia es una función en la que el encendidox se convierte en el coeficiente del término y el poder encendidox en la derivada disminuye en 1.
  • La derivada de una constantec multiplicada por una funciónf es la misma que la constante multiplicada por la derivada.
  • La derivada de la suma de una funciónf y una funcióng es la misma que la suma de la derivada def y la derivada deg.
  • La derivada de la diferencia de una funciónf y una funcióng es la misma que la diferencia de la derivada def y la derivada deg.
  • La derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la derivada de la segunda función por la primera función.
  • La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función menos la derivada de la segunda función por la primera función, todas divididas por el cuadrado de la segunda función.
  • Se utilizó la definición límite de la derivada para desarrollar fórmulas que nos permitan encontrar derivados sin recurrir a la definición de la derivada. Estas fórmulas se pueden utilizar individualmente o en combinación entre sí.

Glosario

regla múltiple constante
la derivada de una constantec multiplicada por una funciónf es la misma que la constante multiplicada por la derivada:\dfrac{d}{dx}\big(cf(x)\big)=cf′(x)
regla constante
la derivada de una función constante es cero:\dfrac{d}{dx}(c)=0, dondec es una constante
regla de diferencia
la derivada de la diferencia de una funciónf y una funcióng es la misma que la diferencia de la derivada def y la derivada deg:\dfrac{d}{dx}\big(f(x)−g(x)\big)=f′(x)−g′(x)
regla de poder
la derivada de una función power es una función en la que el power onx se convierte en el coeficiente del término y el power onx en la derivada disminuye en 1: Sin es un entero, entonces\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n−1}
regla del producto
la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la derivada de la segunda función por la primera función:\dfrac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)
regla del cociente
la derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función menos la derivada de la segunda función por la primera función, todas divididas por el cuadrado de la segunda función:\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f′(x)g(x)−g′(x)f(x)}{\big(g(x)\big)^2}
regla de suma
la derivada de la suma de una funciónf y una funcióng es la misma que la suma de la derivada def y la derivada deg:\dfrac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f′(x)+g′(x)

This page titled 3.3: Reglas de diferenciación is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang (OpenStax) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?