1.11: Multiplicar expresiones polinómicas

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Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En este capítulo, multiplicamos polinomios. Para la multiplicación de un monomio por un polinomio, necesitamos distribuir el monomio para multiplicar cada término del polinomio.

Teorema: Derecho Distributivo

\[a( b + c ) = ab + ac\]

Distribuyendo factores, podemos multiplicar un monomio por un polinomio

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Multiplica los términos y simplifica.

a)$3\left(4 x^{2}+5 x\right)=12 x^{2}+15 x$

b)$2 p(4 p-7 q)=8 p^{2}-14 p q$

c)$-3 a\left(a^{2}-4 a+5\right)=-3 a^{3}+12 a^{2}-15 a$

d)\ (\ comenzar {alinear*}
6 x+7 y+4 (3 x+2 y) &=6 x+7 y+12 x+8 y\\
&=18 x+15 y
\ end {alinear*}\)

e)\ (\ comenzar {alinear*}
2\ izquierda (3 x^ {2} +5\ derecha) +3 x (4 x-2) &=6 x^ {2} +10+12 x^ {2} -6 x\\
&=18 x^ {2} -6 x+10
\ end {align*}\)

f)\ (\ begin {align*}
y^ {2} (y+3) -2 y (-y+5) -4\ izquierda (2 y^ {2} +12 y+1\ derecha) &=y^ {3} +3 y^ {2} +2 y^ {2} -10 y-8 y^ {2} -48 y-4\\
&=y^ {3} -3 y^ {2} -58 y-4
\ fin {alinear*}\)

g)\ (\ begin {align*}
-4 a b (-a-3 b) +2 a\ left (8 b^ {2} -7 a b\ right) &=4 a^ {2} b+12 a b^ {2} +16 a b^ {2} -14 a^ {2} b\\
&=-10 a^ {2} b+28 a b^ {2}
\ end {align*}\)

Al multiplicar polinomios generales, necesitamos tener una ley distributiva más general. Mostramos cómo se hace esto para el producto de dos binomios.

Regla$\PageIndex{2}$: FOIL

Para multiplicar binomios, necesitamos multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Este procedimiento se conoce bajo el nombre FOIL, que significa Primero, Exterior, Interior, Último.

Por ejemplo, al multiplicar por$(x+3)$$(x+5),$ multiplicamos los términos

$clipboard_ee65fb47ca53f3881dde8f656c7d16243.png$

Se añaden los productos de$\left(x \cdot x=x^{2}\right),$ los primeros términos$(x \cdot 5=5 x),$ los términos externos los términos internos$(3 \cdot x=3 x),$ y los últimos términos$(3 \cdot 5=15)$ para dar el resultado. Por lo tanto, aplicando FOIL y combinando términos similares, obtenemos:

\[(x+3)(x+5)=x^{2}+5 x+3 x+15=x^{2}+8 x+15\nonumber\]

Ejemplo 9.3

Multiplicar y simplificar.

a)\ (\ begin {alinear*}
(x+2) (x-7) &=x^ {2} -7 x+2 x-14\\
&=x^ {2} -5 x-14
\ final {alinear*}\)

b)\ (\ comenzar {alinear*}
(2 a+3 b) (4 a+5 b) &=8 a^ {2} +10 a b+12 a b+15 b^ {2}\\
&=8 a^ {2} +22 a b+15 b^ {2}
\ end {align*}\)

c)\ (\ comenzar {alinear*}
(m-4 n) ^ {2} & =( m-4 n) (m-4 n)\\
&=m^ {2} -4 m n-4 m n+16 n^ {2}\\
&=m^ {2} -8 m n+16 n^ {2}
\ final {alinear*}\)

d)\ (\ comenzar {alinear*}
-5 p (3 p+2 q) ^ {2} &=-5 p (3 p+2 q) (3 p+2 q)\\
&=-5 p\ izquierda (9 p^ {2} +6 p q+6 p q+4 q^ {2}\ derecha)\\
&=-5 p\ izquierda (9 p^ {2} +12 p q+4 q^ {2}\ derecha)\\
&=-45 p^ {3} -60 p^ {2} q-20 p q^ {2}
\ final {alinear*}\)

Arriba hemos optado por evaluar primero el cuadrado$(3 p+2 q)(3 p+2 q) .$ Alternativamente, también podríamos haber multiplicado primero$-5 p(3 p+2 q),$ lo que también da el resultado correcto:

\ (\ comenzar {alinear*}\ comenzar {alineado}
-5 p (3 p+2 q) ^ {2} &=-5 p (3 p+2 q) (3 p+2 q)\\
&=\ izquierda (-15 p^ {2} -10 p q\ derecha) (3 p+2 q)\\
&=-45 p^ {3} -30 p^ {2} q-30 p^ {2} q-20 p q^ {2}\\
&=-45 p^ {3} -60 p^ {2} q-20 p q^ {2}
\ end {alineado}\ end { alinear*}\)

e)\ (\ begin {align*}
(r+s) ^ {2} - (r+s) (r-s) & =( r+s) (r+s) - (r+s) (r-s)\
&=\ izquierda (r^ {2} +r s+r s+s^ {2}\ derecha) -\ izquierda (r^ {2} -r s+r s-s^ {2}}\ derecha)\\
&=\ izquierda (r^ {2} +2 r s+s^ {2}\ derecha) -\ izquierda (r^ {2} -s^ {2}\ derecha)\\
&=r^ {2} +2 r s+s^ {2} -r^ {2} +s^ {2}\
&=2 r s+2 s^ {2}
\ end {align*}\)

f)\ (\ comenzar {alinear*}
2 x y-3 (5 x+y) (5 x-y) +4 y (3 x+2 y) &=2 x y-3\ izquierda (25 x^ {2} -5 x y+5 x y-y^ {2}\ derecha) +12 x y+8 y^ {2}\\
&=2 x y-3\ izquierda (25 x^ {2} -y^ {2}\ derecha) +12 x y+8 y^ {2}\\
&=2 x y-75 x^ {2} +3 y^ {2} +12 x y+8 y^ {2}\\
&=-75 x^ {2} +14 x y +11 y^ {2}
\ final {alinear*}\)

g)\ (\ comenzar {alinear*}
(2 x-1)\ izquierda (x^ {2} -4 x+6\ derecha) & =( 2 x+ (-1))\ izquierda (x^ {2} -4 x+6\ derecha)\\
&=2 x\ izquierda (x^ {2} -4 x+6\ derecha) + (-1)\ izquierda (x^ {2} -4 x+6\ derecha)\\
=2 x\ cdot x^ {2} +2 x\ cdot (-4 x) +2 x\ cdot 6+ (-1)\ cdot x^ {2} + (-1)\ cdot (-4 x) + (-1)\ cdot 6\\
&=2 x^ {3} -8 x^ {2} +12 x-x^ {2} +4 x-6\\
&=2 x^ {3} -9 x^ {2} +16 x-6
\ final {alinear*}\)

Problema de salida

Multiplicar:$(5 x-2)\left(x^{2}-3 x-7\right)$

Simplificar:$-3 a^{3} b^{2}+4 a^{2}\left(a+2 a b^{2}\right)-7 a^{3}$