1.12: Dividir polinomios

En el capítulo anterior, agregamos, restamos y multiplicamos polinomios. Ahora, lo que queda es dividir polinomios. Solo consideraremos la división de un polinomio por un monomio. La división de un monomio por un monomio ya estaba considerada en el Capítulo 5, que ahora recordamos.

Regla\(\PageIndex{1}\)

Recordamos las reglas para dividir variables.

\[\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}\]

para cualquier número entero\(n\) y\(m\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplificar.

1. \(\dfrac{27 x^{3} y^{5}}{3 x^{2} y^{3}}=\dfrac{27 x^{3-2} y^{5-3}}{3}=9 x^{1} y^{2}=9 x y^{2}\)
2. \(\dfrac{-56 a^{8} b^{6} c^{4}}{-7 a^{5} b c^{4}}=\dfrac{-56 a^{8-5} b^{6-1} c^{4-4}}{-7}=8 a^{3} b^{5} c^{0}=8 a^{3} b^{5}\)

Por supuesto, cuando la potencia de una variable es mayor en el denominador que en el numerador, entonces esas variables permanecerán en el denominador, tal como hicimos en el capítulo 5.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar.

1. \(\dfrac{42 p^{7} q^{4}}{-3 p^{3} q^{2}}=\dfrac{42}{-3} q^{4-2} p^{7-4}=\dfrac{14}{-1} q^{2} p^{3}=-14 q^{2} p^{3}\)
2. \(\dfrac{24 r^{4} s^{9} t^{5}}{20 r s^{6} t^{2}}=\dfrac{24}{20} r^{4-1} s^{9-6} t^{5-2}=\dfrac{6}{5} r^{3} s^{3} t^{3}\)

Ahora estudiamos cómo un polinomio puede dividirse por un monomio. Recordemos la regla habitual para sumar fracciones con denominador común.

Fracciones del mismo denominador

Las fracciones con denominador común se pueden sumar (o restar) sumando (o restando) los numeradores:

• Agregar:\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\]
• Restar:\[\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}\]

Revertir la regla anterior nos ayuda a dividir un polinomio por un monomio.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplifica lo más posible.

a)\(\dfrac{6 x+15}{3}=\dfrac{6 x}{3}+\dfrac{15}{3}=2 x+5\)

b)\(\dfrac{14 x^{3}-8 x^{2}}{2 x}=\dfrac{14 x^{3}}{2 x}-\dfrac{8 x^{2}}{2 x}=7 x^{2}-4 x\)

c)\ (\ begin {align*}
\ dfrac {14 y^ {6} -28 y^ {5} +21 y^ {3}} {-7 y^ {2}} &=\ dfrac {14 y^ {6}} {-7 y^ {2}} -\ dfrac {28 y^ {5}} {-7 y^ {2}} +\ dfrac {21 y^ {3}} {-7 y^ {2}}\\
&=-2 y^ {4} -\ izquierda (-4 y^ {3}\ derecha) -3 y\\
&=-2 y^ {4} +4 y^ {3} -3 y
\ end {align*}\)

d)\ (\ begin {align*}
\ dfrac {a^ {2} b^ {4} -4 a b^ {3} -2 a^ {4} b^ {2}} {a b^ {2}} &=\ dfrac {a^ {2} b^ {4}} {a b^ {2}} -\ dfrac {4 a b^ {3}} a {b^ {2}} -\ dfrac {2 a^ {4} b^ {2}} {a b^ {2}}\\
&=a b^ {2} -4 b-2 a^ {3}
\ end {align*}\)

e)\ (\ begin {align*}
\ dfrac {-6 r^ {5} t^ {4} +30 r^ {4} s^ {2} t^ {5} -42 r^ {3} s^ {2} t^ {3}} {-6 r t^ {3}} &=\ dfrac {-6 r^ {5} t^ {4}} {-6 r t^ {3}} +\ dfrac {30 r^ {4} s^ {2} t^ {5}} {-6 r t^ {3}} -\ dfrac {42 r^ {3} s^ {2} t^ {3}} {-6 r t^ {3}}\\
&=r^ {4} t-5 r^ {3} s^ {2} t^ {2} -\ izquierda (-7 r^ {2} s^ {2}\ derecha) \\
&=r^ {4} t-5 r^ {3} s^ {2} t^ {2} +7 r^ {2} s^ {2}
\ end {align*}\)

Problema de salida

Simplificar:\(\dfrac{27 x^{2} y-3 x y+15 x y^{2}}{-3 x y}\)