1.21: Reescritura de fórmulas

Michael Faraday (1791 - 1867) fue un científico inglés que contribuyó a los campos del electromagnetismo y la electroquímica. Sus habilidades matemáticas, sin embargo, eran limitadas y por lo que se basó principalmente en expresar sus ideas con una escritura clara y sencilla. Posteriormente, llegó el científico James Clerk Maxwell y tomó el trabajo de Faraday (y otros), y lo resumió en un conjunto de ecuaciones conocidas como “Ecuaciones de Maxwell”. Sus ecuaciones son aceptadas como la base de toda la teoría electromagnética moderna y adoptan muchas formas matemáticas diferentes.

El lenguaje de las matemáticas es poderoso. Es un lenguaje que tiene la capacidad de expresar relaciones y principios de manera precisa y sucinta. Faraday fue un científico brillante que hizo descubrimientos de historia pero no fueron realmente apreciados hasta que Maxwell pudo traducirlos a un lenguaje viable, el de las matemáticas.

Definición de una fórmula

Una fórmula es una relación matemática expresada en símbolos.

Por ejemplo consideremos la de Einstein\(E=m c^{2}\) (posiblemente la fórmula más famosa del mundo). Esta fórmula es una ecuación que describe la relación entre la energía que un cuerpo transmite en forma de radiación (la\(E\)) y su masa (la\(m\)) junto con la velocidad de la luz en el vacío (la\(c\)). Dice que un cuerpo de masa\(m\) emite energía de la cantidad\(E\) que es precisamente igual a\(m c^{2}\) También puede decir que si un cuerpo emite una cantidad de energía\(E\), entonces su masa\(m\) debe ser\(E / c^{2}\). Podemos decir esto porque resolvimos\(E=m c^{2}\) para\(m\), es decir, reescribimos la fórmula en términos de una variable específica.

Ejemplo 19.1

Fórmulas más familiares:

1. \(A=l w\)Área de un rectángulo\(=\) largo\(\cdot\) ancho.
2. \(C=2 \pi r\)Circunferencia de un\(=2 \cdot \pi \cdot\) radio circular.
3. \(S=d / t \)Velocidad\(=\) distancia recorrida\(\div\) tiempo.

Observamos que la fórmula\(C=2 \pi r\) está “resuelta”\(C\) ya que\(C\) está por sí misma en un lado de la ecuación. Supongamos que sabemos que la circunferencia de un círculo\(C\) es igual a 5 pulgadas y deseamos encontrar su radio\(r .\) Una forma de hacerlo es comenzar resolviendo la fórmula\(C=2 \pi r\) y luego sustituyendo los valores conocidos.

Comience con:

\[C=2 \pi r\nonumber\]

y dividir ambos lados\(2 \pi\) para conseguir

\[\frac{C}{2 \pi}=r\nonumber\]

A continuación sustituimos el valor\(C=5\) y\(\pi\) para obtener

\[r=\frac{5}{2 \pi} \approx 0.8 \text{ in rounded to the nearest tenth} \nonumber\]

Entonces\(r=0.8\) pulgadas cuando redondeamos a la décima más cercana.

Resolver una ecuación para una variable especificada

1. Utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación (si es posible).
2. Combina cualquier término similar (si es posible).
3. Deshacerse de los denominadores (si es posible).
4. Recoge todos los términos con la variable que deseas resolver para un lado de la ecuación. Haz esto usando la propiedad de suma de igualdad.
5. Utilice la propiedad distributiva y la propiedad de multiplicación de igualdad para aislar la variable deseada.

Ejemplo 19.2

Resuelve las siguientes ecuaciones para la variable específica indicada entre paréntesis.

a)\(E=I R(\) para\(I)\)

Divide ambos lados por\(R\) para conseguir\(I=\frac{E}{R}\)。

b)\(P V=n R T\) (para\(R\))

Divide ambos lados por\(n T\) para conseguir\(R=\frac{P V}{n T}\).

c)\(S=\frac{T}{P}(\) para\(P)\)

Multiplica cada lado por\(P\) para obtener\(P S=T\) luego divide cada lado por\(S\) para obtener\(P=\frac{T}{S}\)。

d)\(V=\frac{M N}{4 Z}(\) para\(N)\)

Multiplica cada lado por\(4 Z\) para obtener\(4 Z V=M N\), luego divide cada lado por\(M\) para obtener\(N=\frac{4 Z V}{M}\)。

e)\(d=a+b+c(\) para\(b)\)

Restar\(a\) y\(c\) de ambos lados para conseguir\(b=d-a-c\)。

f)\(B=\frac{z I^{2} p}{W}(\) para\(p)\)

Multiplica cada lado por\(W\) para obtener\(W B=z I^{2} p,\) luego divide ambos lados por\(z I^{2}\) para obtener\(p=\frac{W B}{z I^{2}}\)。

g)\(P=S-c\) (para\(c\))

\(c\)Sumar a ambos lados para obtener\(c+P=S\), luego restar\(P\) de ambos lados para obtener\(c=S-P\)。

h)\(A=E C+G\) (para\(C\))

Restar\(G\) de ambos lados para obtener\(A-G=E C\), luego dividir ambos lados por\(E\) para obtener\(C=\frac{A-G}{E}\).

i)\(w=2 x-3 y\) (para\(x\))

Añadir\(3 y\) a ambos lados para obtener\(w+3 y=2 x,\) luego dividir ambos lados por 2 para conseguir\(\frac{w+3 y}{2}=x,\) y así,\(x=\frac{w+3 y}{2}\)。

Problema de salida

La fórmula para el área de un triángulo es\(A=\frac{1}{2} b h .\) Resolver esta ecuación para\(b\)