1.29: Resolver un sistema de ecuaciones algebraicamente

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Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

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Supongamos que Adam tiene 7 billetes, todos cinco y decenas, y que su valor total es$\$ 40 .$ ¿Cuántos de cada factura tiene? Para resolver tal problema debemos definir primero las variables.

$x$Sea el número de billetes de cinco dólares.

$y$Sea el número de billetes de diez dólares.

A continuación, escribimos ecuaciones que describen la situación:

$5 x+10 y=40 \quad:$El valor combinado de los billetes es$\$ 40 .$

Es decir, debemos resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables (incógnitas):

$x+y=7 \quad$: Adam tiene 7 billetes.

$5 x+10 y=40$: El valor combinado de los billetes es$\$ 40 .$

Es decir, debemos resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables (incógnitas):

\ [\ left (\ begin {align*}
x+y &=7\\
5 x+10 y & =40
\ end {align*}\ derecha)\ nonumber\]

Este capítulo trata de resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, como la anterior. Consideraremos dos métodos algebraicos diferentes: el método de sustitución y el método de eliminación.

El método de sustitución

En esta sección resolvemos sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables utilizando el método de sustitución. Para ilustrar, resolveremos el sistema anterior con este método. Comenzamos resolviendo la primera ecuación para una variable en términos de la otra. En este caso resolveremos para la variable$y$ en términos de$x$:

\ [\ begin {align*}
& x+y=7\\
\ Longrightarrow & y=7-x
\ end {alinear*}\ nonumber\]

A continuación, sustituimos$y=7-x$ en la segunda ecuación$5 x+10 y=40:$

\[5 x+10(7-x)=40\nonumber\]

La ecuación anterior ahora se puede resolver$x$ ya que solo involucra una variable:

\ [\ begin {align*}
5 x+10 (7-x) &=40\\
5 x+70-10 x &=40\ quad\ text {distribuir 10 entre paréntesis}\\
-5 x+70 &=40\ quad\ texto {recopilar términos similares}\\
-5 x &=-30\ quad\ text {restar 70 de ambos lados}\\
x &=6\ quad\ text {divide ambos lados por −5}
\ end {align*}\ nonumber\]

De ahí que$y,$ lleguemos$x=6 .$ Para encontrar sustituimos$x=6$ en la primera ecuación del sistema y resolvemos por$y$ (Nota: Podemos sustituir$x=6$ en cualquiera de las dos ecuaciones originales o la ecuación$y=7-x$):

\ [\ begin {array} {l}
6+y=7\\
y=1\ text {restar 6 de ambos lados}
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones lineales es

\[x=6, \quad y=1\nonumber\]

Antes de que realmente terminemos, debemos verificar nuestra solución. La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de sus variables que, cuando se sustituyen en las dos ecuaciones originales, nos dan afirmaciones verdaderas. Entonces para verificar, sustituimos$x=6$ y$y=1$ en cada ecuación del sistema:

\ [\ begin {array} {l}
x+y=7\ Longrightarrow 6+1=7\ Longrightarrow 7=7\ text {true! }\\
5 x+10 y=40\ Longrightarrow 5 (6) +10 (1) =40\ Longrightarrow 30+10=40\ Longrightarrow 40=40\ text {¡cierto! }
\ end {array}\ nonumber\]

De ahí que nuestra solución sea correcta. Para responder al problema original de la palabra -recordando que$x$ es el número de billetes de cinco dólares y$y$ es el número de billetes de diez dólares tenemos que:

\[Adam~has~6~five~ dollar~ bills~ and~ 1~ ten~ dollar~ bill.\nonumber\]

Ejemplo 27.1

\ [\ left (\ begin {array} {l}
6 x+2 y=72\\
3 x+8 y=78
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Nuevamente, aquí resolvemos el sistema de ecuaciones mediante sustitución. Primero, resuelve la primera ecuación$6 x+2 y=72$ para$y:$

\ [\ begin {array} {rrr}
& 6 x+2 y=72\\
\ Longrightarrow & 2 y=-6 x+72 &\ text {restar 6x de ambos lados}\\
\ LongRightarrow & y=-3 x+36 &\ text {divide ambos lados por 2}
\ end {array}\ nonumber\]

Sustituir$y=-3 x+36$ en la segunda ecuación$3 x+8 y=78$:

\ [\ begin {alinear*}
& 3 x+8 y=78\
\\ Longrightarrow & 3 x+8 (-3 x+36) =78\\
\ Longrightarrow & x=10
\ end {align*}\ nonumber\]

De ahí que$x=10 .$ ahora sustituya$x=10$ en la ecuación$y=-3 x+36$ rinde$y=6,$ por lo que la solución al sistema de ecuaciones es$x=10, y=6 .$ El paso final se deja para el lector. Se debe verificar eso$x=10$ y$y=6$ dar declaraciones verdaderas cuando se sustituye en el sistema original de ecuaciones.

Para resumir los pasos que seguimos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables utilizando el método algebraico de sustitución, tenemos:

Resolver un Sistema de Dos Ecuaciones Lineales en Dos Variables mediante Sustitución

Resuelve una ecuación para una variable.
Sustituir la expresión encontrada en el paso 1 en la otra ecuación.
Resuelve la ecuación resultante.
Sustituya el valor del paso 3 de nuevo en la ecuación del paso 1 para encontrar el valor de la variable restante. 5
¡Comprueba tu solución!
Responde a la pregunta si es un problema de palabras.

Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables puede tener una solución, ninguna solución o infinitamente muchas soluciones. En el Ejemplo 27.2 veremos un sistema sin solución.

Ejemplo 27.2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.

\ [\ left (\ begin {array} {l}
x+y=1\\
y=-x+2
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

La segunda ecuación ya está resuelta$y$ en términos de$x$ por lo que podemos sustituirla directamente en$x+y=1$:

\[x+(-x+2)=1 \Longrightarrow 2=1 \quad \text { False! }\nonumber\]

Desde que obtenemos la declaración falsa$2=1,$ el sistema de ecuaciones no tiene solución.

El método de eliminación

Un segundo método algebraico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es el método de eliminación. La idea básica del método es conseguir que los coeficientes de una de las variables en las dos ecuaciones sean inversas aditivas, como -3 y para que después de$3,$ que se sumen las dos ecuaciones, esta variable se elimine. Usemos uno de los sistemas que resolvimos en la sección anterior para ilustrar el método:

\ [\ left (\ begin {array} {l}
x+y=7\\
5 x+10 y=40
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Los coeficientes de la$x$ variable en nuestras dos ecuaciones son 1 y$5 .$ podemos hacer que los coeficientes de$x$ sean inversos aditivos multiplicando la primera ecuación por$-5$ y manteniendo intacta la segunda ecuación:

\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
x & + &y & = & 7\\
5 x &+ & 10 y & = & 40
\ end {array}\ right)\ Longrightarrow\ left (\ begin {array} {lllll}
(-5) (x &+ & y) & = & (-5) 7\\
5 x & + & 10 y ; = & 40
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Usando la propiedad distributiva, reescribimos la primera ecuación como:

\[-5 x-5 y=-35\nonumber\]

Ahora estamos listos para agregar las dos ecuaciones para eliminar la variable$x$ y resolver la ecuación resultante para$y$:

\ [\ begin {array} {llll}
& -5 x & - & 5 y & =& -35\\
+ & 5 x & + & 10 y & = & 40\
\ hline & & & & & & 5 y & = & 5\
& & &\ Longrightarrow & y & = & 1
\ end {array}\ nonumber\]

Para encontrar$x,$ podemos sustituir$y=1$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema original para resolver por$x:$

\[x+1=7 \quad \Longrightarrow \quad x=6\nonumber\]

De ahí que obtengamos la misma solución que obtuvimos usando el método de sustitución en la sección anterior:

\[x=6, \quad y=1\nonumber\]

En este ejemplo, solo necesitamos multiplicar la primera ecuación por un número para hacer que los coeficientes de la variable$x$ aditiva se invierta. En ocasiones, necesitamos multiplicar ambas ecuaciones por dos números diferentes para hacer que los coeficientes de una de las variables sean inversas aditivas. Para ilustrar esto, veamos el Ejemplo 27.3.

Ejemplo 27.3

\[\nonumber\]

Vamos a apuntar a eliminar la$y$ variable aquí. Dado que el múltiplo menos común de 2 y 3 es$6,$ podemos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por$2,$ para que los coeficientes de$y$ sean inversos aditivos:

\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
-3 x & + & 2 y & = & 3\\
4 x & - & 3 y & = & -6
\ end {array}\ right)\ LongRightarrow\ left (\ begin {array} {lllll}
(3) (-3 x & + & 2 y & = & (3) 3\\
(2) (4 x & - & amp; 3 y & = & (2) (-6)
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Usando la propiedad distributiva, reescribimos las dos ecuaciones como:

\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
-9 x & + & 6 y & = & 9\\
8 x & - & 6 y & = & -12
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Sumarlos juntos da:

\[-1 x=-3 \quad \Longrightarrow \quad x=3\nonumber\]

Para encontrar$y,$ podemos sustituir$x=3$ en la primera ecuación (o la segunda ecuación) del sistema original para resolver por$y:$

\[-3(3)+2 y=3 \Longrightarrow-9+2 y=3 \Longrightarrow 2 y=12 \Longrightarrow y=6\nonumber\]

De ahí que la respuesta al problema sea:

\[x=3 \quad y=6\nonumber\]

Podemos verificar la respuesta sustituyendo ambos números en el sistema original y ver si ambas ecuaciones son correctas.

Los siguientes pasos resumen cómo resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación:

Resolver un Sistema de Dos Ecuaciones Lineales en Dos Variables mediante Eliminación

Multiplique una o ambas ecuaciones por un número distinto de cero para que los coeficientes de una de las variables sean inversos aditivos.
Agrega las ecuaciones para eliminar la variable.
Resuelve la ecuación resultante.
Sustituya el valor del paso 3 de nuevo en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la variable restante.
¡Comprueba tu solución!
Responde a la pregunta si es un problema de palabras.

Problema de salida

Resolver algebraicamente:

\ (\ begin {array} {lllll}
8 x & - & 4 y & = & 4\\
3 x & - & 2 y & = & 3
\ end {array}\)