2.1: Campos

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• ¿Qué son las operaciones binarias?
• ¿Qué es un campo? ¿Qué tipo de cosas se puede hacer en un campo?
• ¿Cuáles son los ejemplos de campos?

Ahora iniciamos el proceso de abstracción. Esto lo haremos por etapas, comenzando por el concepto de un campo. Primero, necesitamos definir formalmente algunos conjuntos familiares de números.

Definición: Números racionales

Los números racionales, denotados por\(\mathbb{Q}\text{,}\) es el conjunto

\ begin {ecuación*}\ mathbb {Q} =\ izquierda\ {\ dfrac {a} {b}: a, b\ in\ mathbb {Z},\ b\ ne 0\ derecha\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Recordemos que en la escuela primaria, aprendiste que dos fracciones\(\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q}\) son equivalentes si y solo si\(ad=bc\text{.}\)

Actividad 2.1.1

Demostrar que nuestra definición de fracciones equivalentes en la escuela primaria es una relación de equivalencia. Recordar Definición: Números racionales.

Es probable que tengamos una idea intuitiva de lo que se entiende por\(\mathbb{R}\text{,}\) el conjunto de números reales. Definir\(\mathbb{R}\) rigurosamente es en realidad bastante difícil, y ocupa una cantidad significativa de tiempo en un primer curso en análisis real. Así, haremos uso de tu intuición.

De\(\mathbb{R}\) nosotros podemos construir los números complejos.

Definición: Números Complejos

Los números complejos constan de todas las expresiones de la forma\(a+bi\text{,}\) donde\(a,b\in \mathbb{R}\) y\(i^2 = -1\text{.}\) Dado\(z = a+bi\text{,}\) decimos que\(a\) es la parte real de\(z\) y\(b\) es la parte imaginaria. El conjunto de números complejos se denota\(\mathbb{C}\text{.}\)

Como se mencionó en la Introducción, el álgebra proviene de una palabra árabe que significa “el reencuentro de partes rotas”. Por lo tanto, necesitamos una forma de combinar dos elementos de un conjunto en uno; recurrimos a un tipo particular de función, conocida como operación binaria, para lograrlo.

Definición: Operación binaria

Dejar\(X\) ser un conjunto no vacío. Una función\(\star : X \times X \to X\) se llama operación binaria. Si\(\star\) es una operación binaria en\(X\text{,}\) decimos que\(X\) se cierra bajo la operación \(\star\). [Dado\(a,b\in X\text{,}\) que usualmente escribimos\(a\star b\) en lugar de la notación típica de la función,\(\star(a,b)\text{.}\)]

Investigación 2.1.1

Cuáles de\(+, -, \cdot, \div\) son las operaciones binarias:

1. en\(\mathbb{R}\text{?}\)
2. en\(\mathbb{Q}\text{?}\)
3. en\(\mathbb{Z}\text{?}\)
4. en\(\mathbb{N}\text{?}\)
5. on\(\mathbb{C}\text{?}\) (Recordemos que para\(a_1 + b_1 i, a_2 + b_2 i \in \mathbb{C}\text{,}\)\((a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) := (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\) y\((a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) := (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i\text{.}\))

Actividad 2.1.2

Elija su conjunto no vacío favorito\(X\) y describa una operación binaria diferente a las de Investigation 2.1.1 .

El sello distintivo de las matemáticas puras modernas es el uso de axiomas. Un axioma es esencialmente una afirmación no probada de la verdad. Nuestro uso de axiomas sirve para varios propósitos.

Desde una perspectiva lógica, los axiomas nos ayudan a evitar el problema de la regresión infinita (e.g., preguntar ¿Cómo sabes? una y otra vez). Es decir, los axiomas nos dan puntos de partida muy claros desde los que hacer nuestras deducciones.

Para ello, nuestra primera estructura algebraica abstracta captura y axiomatiza el comportamiento familiar sobre cómo se pueden combinar los números para producir otros números del mismo tipo.

Definición: Campo

Un campo es un conjunto no vacío\(F\) con al menos dos elementos y operaciones binarias\(+\) y\(\cdot\text{,}\) denotado\((F,+,\cdot)\text{,}\) y que satisface los siguientes axiomas de campo:

1. Dado cualquiera\(a,b,c\in F\text{,}\)\((a+b)+c = a+(b+c)\text{.}\) (Asociatividad de adición)
2. Dado cualquiera\(a,b\in F\text{,}\)\(a+b= b+a\text{.}\) (Conmutatividad de adición)
3. Existe un elemento\(0_F\in F\) tal que para todos\(a\in F\text{,}\)\(a+0_F = 0_F + a = a\text{.}\) (Identidad aditiva)
4. Dado cualquiera\(a\in F\) existe\(b\in F\) tal que\(a+b = b + a =0_F\text{.}\) (Aditivo inverso)
5. Dado cualquiera\(a,b,c\in F\text{,}\)\((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\text{.}\) (Asociatividad de multiplicación)
6. Dado cualquiera\(a,b\in F\text{,}\)\(a\cdot b = b\cdot a\text{.}\) (Conmutatividad de la multiplicación)
7. Existe un elemento\(1_F\in F\) tal que para todos\(a\in F\text{,}\)\(1_F\cdot a = a\cdot 1_F = a\text{.}\) (Identidad multiplicativa)
8. Para todos\(a\in F\text{,}\)\(a\ne 0_F\text{,}\) existe\(b\in F\) tal que\(a\cdot b = b\cdot a = 1_F\text{.}\) (Multiplicativo inverso)
9. Para todos\(a,b,c\in F\text{,}\)\(a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c\text{.}\) (Propiedad distributiva I)
10. Para todos\(a,b,c\in F\text{,}\)\((a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\text{.}\) (Propiedad distributiva II)

Normalmente escribiremos\(a\cdot b\) como\(ab\text{.}\) Adicionalmente, generalmente soltaremos los subíndices a\(0,1\) menos que necesitemos distinguir entre identidades fundamentalmente diferentes en diferentes campos.

Investigación 2.1.2

¿Cuáles de los siguientes son campos bajo las operaciones especificadas? Para la mayoría, basta con una breve justificación o contraejemplo.

1. \(\mathbb{N}\)bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación
2. \(\mathbb{Z}\)bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación
3. \(2\mathbb{Z}\text{,}\)el conjunto de enteros pares, bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación
4. \(\mathbb{Q}\)bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación
5. \(\mathbb{Z}_{6}\)bajo adición y multiplicación módulo 6
6. \(\mathbb{Z}_{5}\)bajo adición y multiplicación módulo 5
7. \(\mathbb{R}\)bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación
8. \(\mathbb{C}\)bajo la compleja suma y multiplicación definida en Investigation 2.1.1
9. \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) := \left \{\left(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} \right) : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right \}\)¹, el conjunto de\(2\times 2\) matrices con coeficientes reales utilizando la definición habitual de multiplicación matricial ² y adición de matriz.

1

Para alumnos que hayan cursado un curso de álgebra lineal.

2

Recordemos que, si\(\left(\begin{matrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{matrix} \right), \left(\begin{matrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{matrix} \right)\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\text{,}\) entonces\[\left(\begin{matrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix}a_1 a_2 + b_1 c_2 & a_1 b_2 + b_1 d_2 \\ c_1 a_2 + d_1 c_2 & c_1 b_2 + d_1 d_2 \end{matrix} \right)\text{.} \nonumber\]

En la Investigación 2.1.2 , determinó cuáles de los conjuntos de objetos matemáticos familiares son y no son campos. Observe que ha estado trabajando con campos durante años y que nuestra abstracción del lenguaje a la de los campos es simplemente para permitirnos explorar las características comunes al mismo tiempo; es ineficiente probar la misma afirmación sobre cada campo cuando podemos probarla de una vez por todas sobre los campos en generales.

Teorema 2.1.1 : Propiedades de los Campos

Que\(F\) sea un campo.

1. La identidad aditiva\(0\) es única.
2. Para todos\(a\in F\text{,}\)\(a \cdot 0 = 0\cdot a = 0\text{.}\)
3. Las inversas aditivas son únicas.
4. La identidad multiplicativa\(1\) es única.
5. Los inversos multiplicativos son únicos.
6. \((-1)\cdot (-1) = 1\)

Pista

Obsérvese que estamos diciendo que el inverso aditivo de los tiempos de identidad multiplicativa en sí es igual a la identidad multiplicativa. Se deben utilizar únicamente los axiomas de campo y las propiedades previamente establecidas en este teorema.

“Minus times Minus equals Plus: La razón de esto no necesitamos discutir”. -W.H. Auden

Una consecuencia del Teorema 2.1.1 es que, dado\(a\in F\text{,}\)\(b\in F\setminus \{0\}\text{,}\) podemos referirnos\(-a\) como la inversa aditiva de\(a\text{,}\) y\(b^{-1}\) como la inversa multiplicativa de\(b\text{.}\) Vamos a emplear así esta terminología familiar en adelante.

Investigación 2.1.3

¿Para cuál\(n > 1\) es\(\mathbb{Z}_n\) un campo? Calcula algunos ejemplos, forma una conjetura y prueba tu conjetura.