B: Funciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Aquí recopilamos algunos datos básicos sobre las funciones. Tenga en cuenta que las palabras función, mapa, mapeo y transformación pueden usarse indistintamente. Aquí solo usamos el término función. Dejamos al lector interesado las pruebas de todos los resultados de este apéndice.
Una funciónf del conjuntoA al conjuntoB es una regla que asigna a cada elementoa∈A un elemento de talf(a)∈B manera que se mantiene la siguiente condición para todosx,y∈A:
x=y⟹f(x)=f(y).Para indicar quef es una función deA aB escribimosf:A→B. El conjuntoA se llama el dominio def y el conjuntoB se llama el codominio def.
Si se mantienen las condiciones de la Definición B.1, es costumbre decir que la función está bien definida. A menudo hablamos de “la funciónf”, pero estrictamente hablando el dominio y el codominio son partes integrales de la definición, por lo que esta es la abreviatura de “la función”f:A→B.
Para describir una función se debe especificar el dominio (un conjunto) y el codominio (otro conjunto) y especificar su efecto sobre un elemento típico (variable) en su dominio.
Cuando se define una función, a menudo se le da un nombre comof oσ. Entonces hablamos de la función fo la función σ. Six está en el dominio def entoncesf(x) es el elemento en el codominio def que sef asigna ax. A veces escribimosx↦f(x) para indicar quef envíax a f(x).
También podemos usar la flecha barrada para definir una función sin darle un nombre. Por ejemplo, podemos hablar de la funciónx↦x2+2x+4 deR aR. Alternativamente se podría definir la misma función de la siguiente manera: Leth:R→R ser definido por la reglah(x)=x2+2x+4 para todosx∈R.
Tenga en cuenta que es correcto decir la función sino la función x↦sin(x). Pero no es correcto decir la función sin(x).
Flechas: Distinguimos consistentemente los siguientes tipos de flechas:
→Como enf:A→B.
↦Como enx↦x2+3x+4
⟹ Medios implica
⟺ Medios es equivalente a
Algunas personas usan⇝ en lugar de A menudo↦
es importante saber cuando dos funciones son iguales. Entonces, se requiere la siguiente definición.
Se dice que una funciónf:A→B es uno a uno si se cumple la siguiente condición para todosx,y∈A:f(x)=f(y)⟹x=y.
Anote cuidadosamente la diferencia y similitud entre (B.1) y (B.2).
Se dice que una funciónf:A→B está encendida si se cumple la siguiente condición:For every b∈B there is an element a∈A such that f(a)=b.
Algunos matemáticos usan inyección en lugar de uno a uno, suryectiva en lugar de onto, y biyectiva para uno a uno y sobre. Sif:A→B es biyectiva a vecesf se dice que es una biyección o una correspondencia uno a uno entreA yB.
Para cualquier conjuntoA, definimos la funciónιA:A→A por la reglaιA(x)=x for all x∈A. Llamamos aιA la función de identidadA. SiA se entiende, escribimos simplementeι en lugar deιA.
Algunas personas escriben1A en lugar deιA indicar la función de identidad enA.
Problema B.1 Demostrar queιA:A→A es uno a uno y sobre.
Sif:A→B yg:B→C entonces la reglagf(a)=g(f(a)) for all a∈A define una funcióngf:A→C. Esta función se llama la composición deg yf.
Algunas personas escribeng∘f en vez degf, pero no vamos a hacer esto.
Sif:A→B es uno a uno y en entonces la reglafor every b∈B define f−1(b)=a if and only if f(a)=b, define una funciónf−1:B→A. La funciónf−1 es en sí misma uno a uno y sobre y satisfaceff−1=ιB and f−1f=ιA.
La funciónf−1 definida en el teorema anterior se llama la inversa def.
Dejarf:A→B yg:B→C.
- Sif yg son uno a uno entoncesgf:A→C es uno a uno.
- Sif yg están sobre entoncesgf:A→C está encendido.
- Sif yg son uno a uno y sobre entonces tambiéngf:A→C es uno a uno y en.