B: Funciones

Aquí recopilamos algunos datos básicos sobre las funciones. Tenga en cuenta que las palabras función, mapa, mapeo y transformación pueden usarse indistintamente. Aquí solo usamos el término función. Dejamos al lector interesado las pruebas de todos los resultados de este apéndice.

Definición B.1:

Una función\(f\) del conjunto\(A\) al conjunto\(B\) es una regla que asigna a cada elemento\(a \in A\) un elemento de tal\(f(a) \in B\) manera que se mantiene la siguiente condición para todos\(x,y \in A\):

\[\label{Def_function} x=y \Longrightarrow f(x) =f(y).\]Para indicar que\(f\) es una función de\(A\) a\(B\) escribimos\(f:A\to B\). El conjunto\(A\) se llama el dominio de\(f\) y el conjunto\(B\) se llama el codominio de\(f\).

Si se mantienen las condiciones de la Definición B.1, es costumbre decir que la función está bien definida. A menudo hablamos de “la función\(f\)”, pero estrictamente hablando el dominio y el codominio son partes integrales de la definición, por lo que esta es la abreviatura de “la función”\(f: A \to B\).

Para describir una función se debe especificar el dominio (un conjunto) y el codominio (otro conjunto) y especificar su efecto sobre un elemento típico (variable) en su dominio.

Cuando se define una función, a menudo se le da un nombre como\(f\) o\(\sigma\). Entonces hablamos de la función \(f\)o la función \(\sigma\). Si\(x\) está en el dominio de\(f\) entonces\(f(x)\) es el elemento en el codominio de\(f\) que se\(f\) asigna a\(x\). A veces escribimos\(x \mapsto f(x)\) para indicar que\(f\) envía\(x\) a \(f(x)\).

También podemos usar la flecha barrada para definir una función sin darle un nombre. Por ejemplo, podemos hablar de la función\(x \mapsto x^2+2x+4\) de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\). Alternativamente se podría definir la misma función de la siguiente manera: Let\(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ser definido por la regla\(h(x) = x^2+2x+4\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).

Tenga en cuenta que es correcto decir la función \(\sin\)o la función \(x\mapsto \sin(x)\). Pero no es correcto decir la función \(\sin(x)\).

Flechas: Distinguimos consistentemente los siguientes tipos de flechas:

\(\to\)Como en\(f: A\to B\).
\(\mapsto\)Como en\(x \mapsto x^2+3x+4\)
\(\Longrightarrow\) Medios implica
\(\Longleftrightarrow\) Medios es equivalente a

Algunas personas usan\(\rightsquigarrow\) en lugar de A menudo\(\mapsto\)
es importante saber cuando dos funciones son iguales. Entonces, se requiere la siguiente definición.

Definición B.2:

Dejar\(f:A \to B\) y\(g:C \to D\). Escribimos\(f=g\) si y solo si

\[\mbox{$A=C$, $B=D$ and $f(a)=g(a)$ for all $a \in A$.}\]

Definición B.3:

Se dice que una función\(f:A \to B\) es uno a uno si se cumple la siguiente condición para todos\(x,y \in A\):\[\label{Def_1-1} f(x) = f(y) \Longrightarrow x=y.\]

Anote cuidadosamente la diferencia y similitud entre (B.1) y (B.2).

Definición B.4:

Se dice que una función\(f:A \to B\) está encendida si se cumple la siguiente condición:\[\mbox{For every $b \in B$ there is an element $a \in A$ such that $f(a)=b$.}\]

Algunos matemáticos usan inyección en lugar de uno a uno, suryectiva en lugar de onto, y biyectiva para uno a uno y sobre. Si\(f:A \to B\) es biyectiva a veces\(f\) se dice que es una biyección o una correspondencia uno a uno entre\(A\) y\(B\).

Definición B.5:

Para cualquier conjunto\(A\), definimos la función\(\iota_A : A \to A\) por la regla\[\mbox{$\iota_A(x) = x$ for all $x \in A$.}\] Llamamos a\(\iota_A\) la función de identidad\(A\). Si\(A\) se entiende, escribimos simplemente\(\iota\) en lugar de\(\iota_A\).

Algunas personas escriben\(1_A\) en lugar de\(\iota_A\) indicar la función de identidad en\(A\).

Problema B.1 Demostrar que\(\iota_A: A \to A\) es uno a uno y sobre.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(f:A\to B\) y\(g:B \to C\) entonces la regla\[\mbox{$gf(a) = g(f(a))$ for all $a \in A$}\] define una función\(g f:A \to C\). Esta función se llama la composición de\(g\) y\(f\).

Algunas personas escriben\(g \circ f\) en vez de\(gf\), pero no vamos a hacer esto.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(f:A\to B\) es uno a uno y en entonces la regla\[\mbox{for every $b \in B$ define $f^{-1}(b) = a$ if and only if $f(a)=b$,}\] define una función\(f^{-1}:B \to A\). La función\(f^{-1}\) es en sí misma uno a uno y sobre y satisface\[\mbox{$ff^{-1}=\iota_B $ and $f^{-1}f=\iota_A$.}\]

La función\(f^{-1}\) definida en el teorema anterior se llama la inversa de\(f\).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(f:A\to B\) y\(g:B \to C\).

1. Si\(f\) y\(g\) son uno a uno entonces\(gf: A \to C\) es uno a uno.
2. Si\(f\) y\(g\) están sobre entonces\(gf: A \to C\) está encendido.
3. Si\(f\) y\(g\) son uno a uno y sobre entonces también\(gf: A \to C\) es uno a uno y en.