Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

B: Funciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Aquí recopilamos algunos datos básicos sobre las funciones. Tenga en cuenta que las palabras función, mapa, mapeo y transformación pueden usarse indistintamente. Aquí solo usamos el término función. Dejamos al lector interesado las pruebas de todos los resultados de este apéndice.

Definición B.1:

Una funciónf del conjuntoA al conjuntoB es una regla que asigna a cada elementoaA un elemento de talf(a)B manera que se mantiene la siguiente condición para todosx,yA:

x=yf(x)=f(y).Para indicar quef es una función deA aB escribimosf:AB. El conjuntoA se llama el dominio def y el conjuntoB se llama el codominio def.

Si se mantienen las condiciones de la Definición B.1, es costumbre decir que la función está bien definida. A menudo hablamos de “la funciónf”, pero estrictamente hablando el dominio y el codominio son partes integrales de la definición, por lo que esta es la abreviatura de “la funciónf:AB.

Para describir una función se debe especificar el dominio (un conjunto) y el codominio (otro conjunto) y especificar su efecto sobre un elemento típico (variable) en su dominio.

Cuando se define una función, a menudo se le da un nombre comof oσ. Entonces hablamos de la función fo la función σ. Six está en el dominio def entoncesf(x) es el elemento en el codominio def que sef asigna ax. A veces escribimosxf(x) para indicar quef envíax a f(x).

También podemos usar la flecha barrada para definir una función sin darle un nombre. Por ejemplo, podemos hablar de la funciónxx2+2x+4 deR aR. Alternativamente se podría definir la misma función de la siguiente manera: Leth:RR ser definido por la reglah(x)=x2+2x+4 para todosxR.

Tenga en cuenta que es correcto decir la función sino la función xsin(x). Pero no es correcto decir la función sin(x).

Flechas: Distinguimos consistentemente los siguientes tipos de flechas:

Como enf:AB.
Como enxx2+3x+4
Medios implica
Medios es equivalente a

Algunas personas usan en lugar de A menudo
es importante saber cuando dos funciones son iguales. Entonces, se requiere la siguiente definición.

Definición B.2:

Dejarf:AB yg:CD. Escribimosf=g si y solo si

A=CB=D and f(a)=g(a) for all aA.

Definición B.3:

Se dice que una funciónf:AB es uno a uno si se cumple la siguiente condición para todosx,yA:f(x)=f(y)x=y.

Anote cuidadosamente la diferencia y similitud entre (B.1) y (B.2).

Definición B.4:

Se dice que una funciónf:AB está encendida si se cumple la siguiente condición:For every bB there is an element aA such that f(a)=b.

Algunos matemáticos usan inyección en lugar de uno a uno, suryectiva en lugar de onto, y biyectiva para uno a uno y sobre. Sif:AB es biyectiva a vecesf se dice que es una biyección o una correspondencia uno a uno entreA yB.

Definición B.5:

Para cualquier conjuntoA, definimos la funciónιA:AA por la reglaιA(x)=x for all xA. Llamamos aιA la función de identidadA. SiA se entiende, escribimos simplementeι en lugar deιA.

Algunas personas escriben1A en lugar deιA indicar la función de identidad enA.

Problema B.1 Demostrar queιA:AA es uno a uno y sobre.

TeoremaB.1

Sif:AB yg:BC entonces la reglagf(a)=g(f(a)) for all aA define una funcióngf:AC. Esta función se llama la composición deg yf.

Algunas personas escribengf en vez degf, pero no vamos a hacer esto.

TeoremaB.2

Sif:AB es uno a uno y en entonces la reglafor every bB define f1(b)=a if and only if f(a)=b, define una funciónf1:BA. La funciónf1 es en sí misma uno a uno y sobre y satisfaceff1=ιB and f1f=ιA.

La funciónf1 definida en el teorema anterior se llama la inversa def.

TeoremaB.3

Dejarf:AB yg:BC.

  1. Sif yg son uno a uno entoncesgf:AC es uno a uno.
  2. Sif yg están sobre entoncesgf:AC está encendido.
  3. Sif yg son uno a uno y sobre entonces tambiéngf:AC es uno a uno y en.

This page titled B: Funciones is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by W. Edwin Clark via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?