1.2: Funciones

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera la función\(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}\) definida por\(f(x)=x^2\text{.}\) El dominio de\(f\) es\(\mathbb{Z}\) y el codominio de\(f\) es\(\mathbb{R}\text{;}\) el rango de\(f\) es\(\{x^2\,:\,x\in \mathbb{Z}\}=\{0,1,4,9,\ldots\}\text{.}\) La imagen de\(\{-2,-1,1,2\}\) bajo\(f\) es el conjunto de dos elementos\(\{1,4\} \subseteq \mathbb{R} \text{,}\) y la preimagen de\(\{4,25,\pi\}\) bajo \(f\)es el conjunto\(\{\pm 2, \pm 5\}\text{.}\) (¿Ves por qué no\(\pm \sqrt{\pi}\) están en esta preimagen?) ¿Cuál es la preimagen de poco\(\{\pi\}\) menos\(f\text{?}\)

Las siguientes definiciones serán muy importantes en nuestro trabajo futuro.

Definición: Uno a uno, Onto y Biyección

Dejar\(S\) y\(T\) ser conjuntos, y\(f:S\to T\text{.}\)

\(f\)La función es uno a uno (1-1) si siempre que\(s_1, s_2\in S\) con\(f(s_1)=f(s_2)\text{,}\) nosotros tenemos de\(s_1=s_2\text{.}\) manera equivalente,\(f\) es uno a uno si siempre que\(s_1\neq s_2 \in S\text{,}\) entonces\(f(s_1)\neq f(s_2) \in T\text{.}\)
\(f\)La función está en si por cada\(t\in T\text{,}\) existe un elemento\(s\in S\) tal que\(f(s)=t\text{.}\) Equivalentemente,\(f\) está encendido si\(f(S)=T\text{.}\)
\(f\)La función es una bijección si es tanto uno a uno como a uno.

Comentario

A menudo tendremos que mostrar que las funciones son uno a uno o en. Dada una función\(f:S\to T\text{,}\) se recomiendan los siguientes métodos.

Para probar que\(f\) es uno a uno: Dejar\(s_1,s_2 \in S\) con\(f(s_1)=f(s_2)\) y probar que entonces\(s_1=s_2\text{.}\)

Nota: No es suficiente probar que si\(s_1=s_2\) en\(S\) entonces\(f(s_1)=f(s_2)\text{;}\) eso es cierto para CUALQUIER función de\(S\) tener\(T\text{!}\) cuidado de asumir y acreditar los hechos correctos.
Para probar que no\(f\) es uno a uno: Identificar dos elementos\(s_1 \neq s_2\) de\(S\) tal manera que\(f(s_1)=f(s_2)\text{.}\)
Para probar que\(f\) está en: Dejar\(t\in T\) y probar que existe un elemento\(s\in S\) con\(f(s)=t\text{.}\)

Nota: No es suficiente probar que si\(s\in S\) entonces\(f(s)\) está en\(T\text{;}\) eso es cierto para CUALQUIER función de\(S\) a\(T\text{!}\) Otra vez, tenga cuidado de asumir y acreditar los hechos correctos.
Para probar que no\(f\) está en: Identificar un elemento\(t\in T\) para el que no hay\(s\in S\) con\(f(s)=t\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considere la función\(f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+\) definida por\(f(x)=x^2\text{.}\) Función no\(f\) es uno a uno: de hecho,\(-1\) y\(1\) están en\(\mathbb{R}^*\) con\(f(-1)=1=f(1)\) en\(\mathbb{R}^+\text{.}\) Sin embargo,\(f\) está en: en efecto, vamos\(t\in \mathbb{R}^+\text{.}\)\(t=f(\sqrt{t})\text{,}\) Entonces\(\sqrt{t} \in \mathbb{R}^*\) con así estamos hecho.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Consideremos que la\(f(x)=\dfrac{x}{2}\text{.}\) función\(f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{R}\) definida por\(f\) La función es uno a uno: en efecto, vamos\(s_1, s_2 \in \mathbb{Z}^+\) con\(f(s_1)=f(s_2)\text{.}\) Entonces\(\dfrac{s_1}{2}=f(s_1)=f(s_2)=\dfrac{s_2}{2}\text{;}\) multiplicando ambos lados de la ecuación\(\dfrac{s_1}{2}=\dfrac{s_2}{2}\) por\(2\), obtenemos\(s_1=s_2\text{.}\) Sin embargo, no\(f\) está en: para ejemplo,\(\pi \in \mathbb{R}\) pero no hay un entero positivo\(s\) para el cual\(f(s)=\dfrac{s}{2}=\pi\text{.}\)

Recordemos que podemos combinar ciertas funciones usando composición:

Definición: Composición y función de identidad

Si\(f:S\to T\) y\(g:T\to U\text{,}\) entonces la composición de\(f\) y\(g\) es la función\(g\circ f: S\to U\) definida por

\ comenzar {ecuación*} (g\ circ f) (s) =g (f (s))\ final {ecuación*}

para todas las\(s\in S\text{.}\) (More generally, you can funciones de composición función de\(f:S\to T\) and \(g:R\to U\) to form \(g\circ f:S\to U\text{,}\) as long as \(f(S)\subseteq R\text{.}\)) Also recall that given any set \(S\text{,}\) the identidad en\(S\) es la función\(1_S: S\to S\) defined by \(1_S(s)=s\) for every \(s\in S\text{.}\)

Definición: Inversa

Dejar\(f\) ser una función de\(S\) a\(T\text{.}\) Una función\(g\) de\(T\) a\(S\) es una inversa de\(f\) si\(g\circ f\) y\(f\circ g\) son las funciones de identidad en\(S\) y\(T\text{,}\) respectivamente; es decir, si para todos\(s\in S\) y \(t\in T\text{,}\)\(g(f(s))=s\)y\(f(g(t))=t\text{.}\)

Decimos que una función es invertible si tiene una inversa.

Tenemos los siguientes teoremas útiles.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

\(f:S\to T\)La función es invertible si y solo si\(f\) es una biyección.

Prueba

Supongamos que\(f\) tiene inversa\(g\). Vamos\(t∈T\). Entonces\(f(g(t))=t\), así\(f\) está en. Siguiente, supongamos\(s_1,s_2∈S\) con\(f(s_1)=f(s_2)\). Entonces

\(s_1=g(f(s_1))=g(f(s_2))=s_2\),

así\(f\) es uno a uno.

Por el contrario, supongamos que\(f\) es una biyección. Entonces para cada\(t∈T\), existe un elemento único\(s_t∈S\) tal que\(f(s_t)=t.\) es entonces sencillo demostrar que la función\(g:T→S\) definida por

\(g(t)=t_s\)para cada\(t∈T\)

es una inversa de\(f\).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(f:S\to T\) ser invertible. Entonces el inverso de\(f\) es único; denotamos el inverso único de\(f\) por\(f^{-1}\text{.}\)

Prueba: Supongamos que\(f\) tiene inversos\(g\) y\(h\). Entonces para cada\(t∈T\),\(f(g(t))=t=f(h(t))\). Pero como\(f\) es invertible, es uno a uno, así que debemos tener\(g(t)=h(t)\) para cada uno\(t∈T\). Así,\(g=h\), y así\(f\) no puede tener dos o más inversos distintos.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(f:S\to T\) y\(g:T\to U\) ser funciones. Si\(f\) y\(g\) son ambos 1-1 [resp., onto], entonces\(g\circ f: S\to U\) es 1-1 [resp., onto]. De ello se deduce que si\(f\) y\(g\) son ambas bijecciones, entonces\(g\circ f: S\to U\) es una bijección.

Prueba

Asumir\(f\) y\(g\) son 1-1. Déjalo\(s_1,s_2∈S\) con\((g \circ f)(s_1)=(g \circ f)(s_2)\). Entonces\(g(f(s_1))=g(f(s_2));\) como\(g\) es uno-a-uno, esto demuestra que\(f(s_1)=f(s_2)\). Entonces ya que\(f\) es uno a uno, debemos tener\(s_1=s_2\). Así,\(g \circ f\) es uno a uno.

La prueba que\(g \circ f\) está sobre si\(f\) y\(g\) están sobre se deja como un ejercicio para el lector.