Saltar al contenido principal

# 1.2: Funciones

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Probablemente hayas encontrado funciones antes. En el cálculo introductorio, por ejemplo, normalmente tratas con funciones de$$\mathbb{R}$$ a$$\mathbb{R}$$ (por ejemplo, la función$$f(x)=x^2$$). De manera más general, las funciones “envían” elementos de un conjunto a elementos de otro conjunto; estos conjuntos pueden ser o no conjuntos de números reales. A continuación proporcionamos una definición de “lo suficientemente buena para el trabajo gubernamental” de una función.

Definición: Función

Una función$$f$$ de un conjunto$$S$$ a un conjunto$$T$$ es una “regla” que asigna a cada elemento$$s$$ en$$S$$ un elemento único$$f(s)$$ en$$T\text{;}$$ el elemento$$f(s)$$ se llama la imagen de$$s$$ bajo$$f$$. Si$$f$$ es una función de$$S$$ a$$T\text{,}$$ escribimos$$f: S \to T\text{,}$$ y llamamos$$S$$ al dominio de$$f$$ y$$T$$ al codominio de$$f\text{.}$$ El rango de$$f$$ es

\ comenzar {ecuación*} f (S) =\ {f (s)\ en T: s\ en S\}\ subseteq T.\ final {ecuación*}

De manera más general, si$$U \subseteq S\text{,}$$ la imagen de$$U$$ in$$T$$ under$$f$$ es

\ begin {ecuación*} f (U) =\ {f (u)\ en T: u\ en U\}. \ end {ecuación*}

Si$$V \subseteq T\text{,}$$ la preimagen de$$V$$ in$$S$$ under$$f$$ es el conjunto

\ begin {ecuación*} f^ {\ izquierda} (V) =\ {s\ en S: f (s)\ en V\}. \ end {ecuación*}

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Considera la función$$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$$ definida por$$f(x)=x^2\text{.}$$ El dominio de$$f$$ es$$\mathbb{Z}$$ y el codominio de$$f$$ es$$\mathbb{R}\text{;}$$ el rango de$$f$$ es$$\{x^2\,:\,x\in \mathbb{Z}\}=\{0,1,4,9,\ldots\}\text{.}$$ La imagen de$$\{-2,-1,1,2\}$$ bajo$$f$$ es el conjunto de dos elementos$$\{1,4\} \subseteq \mathbb{R} \text{,}$$ y la preimagen de$$\{4,25,\pi\}$$ bajo $$f$$es el conjunto$$\{\pm 2, \pm 5\}\text{.}$$ (¿Ves por qué no$$\pm \sqrt{\pi}$$ están en esta preimagen?) ¿Cuál es la preimagen de poco$$\{\pi\}$$ menos$$f\text{?}$$

Las siguientes definiciones serán muy importantes en nuestro trabajo futuro.

Definición: Uno a uno, Onto y Biyección

Dejar$$S$$ y$$T$$ ser conjuntos, y$$f:S\to T\text{.}$$

1. $$f$$La función es uno a uno (1-1) si siempre que$$s_1, s_2\in S$$ con$$f(s_1)=f(s_2)\text{,}$$ nosotros tenemos de$$s_1=s_2\text{.}$$ manera equivalente,$$f$$ es uno a uno si siempre que$$s_1\neq s_2 \in S\text{,}$$ entonces$$f(s_1)\neq f(s_2) \in T\text{.}$$

2. $$f$$La función está en si por cada$$t\in T\text{,}$$ existe un elemento$$s\in S$$ tal que$$f(s)=t\text{.}$$ Equivalentemente,$$f$$ está encendido si$$f(S)=T\text{.}$$

3. $$f$$La función es una bijección si es tanto uno a uno como a uno.

Comentario

A menudo tendremos que mostrar que las funciones son uno a uno o en. Dada una función$$f:S\to T\text{,}$$ se recomiendan los siguientes métodos.

• Para probar que$$f$$ es uno a uno: Dejar$$s_1,s_2 \in S$$ con$$f(s_1)=f(s_2)$$ y probar que entonces$$s_1=s_2\text{.}$$

Nota: No es suficiente probar que si$$s_1=s_2$$ en$$S$$ entonces$$f(s_1)=f(s_2)\text{;}$$ eso es cierto para CUALQUIER función de$$S$$ tener$$T\text{!}$$ cuidado de asumir y acreditar los hechos correctos.

• Para probar que no$$f$$ es uno a uno: Identificar dos elementos$$s_1 \neq s_2$$ de$$S$$ tal manera que$$f(s_1)=f(s_2)\text{.}$$

• Para probar que$$f$$ está en: Dejar$$t\in T$$ y probar que existe un elemento$$s\in S$$ con$$f(s)=t\text{.}$$

Nota: No es suficiente probar que si$$s\in S$$ entonces$$f(s)$$ está en$$T\text{;}$$ eso es cierto para CUALQUIER función de$$S$$ a$$T\text{!}$$ Otra vez, tenga cuidado de asumir y acreditar los hechos correctos.

• Para probar que no$$f$$ está en: Identificar un elemento$$t\in T$$ para el que no hay$$s\in S$$ con$$f(s)=t\text{.}$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Considere la función$$f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$$ definida por$$f(x)=x^2\text{.}$$ Función no$$f$$ es uno a uno: de hecho,$$-1$$ y$$1$$ están en$$\mathbb{R}^*$$ con$$f(-1)=1=f(1)$$ en$$\mathbb{R}^+\text{.}$$ Sin embargo,$$f$$ está en: en efecto, vamos$$t\in \mathbb{R}^+\text{.}$$$$t=f(\sqrt{t})\text{,}$$ Entonces$$\sqrt{t} \in \mathbb{R}^*$$ con así estamos hecho.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Consideremos que la$$f(x)=\dfrac{x}{2}\text{.}$$ función$$f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{R}$$ definida por$$f$$ La función es uno a uno: en efecto, vamos$$s_1, s_2 \in \mathbb{Z}^+$$ con$$f(s_1)=f(s_2)\text{.}$$ Entonces$$\dfrac{s_1}{2}=f(s_1)=f(s_2)=\dfrac{s_2}{2}\text{;}$$ multiplicando ambos lados de la ecuación$$\dfrac{s_1}{2}=\dfrac{s_2}{2}$$ por$$2$$, obtenemos$$s_1=s_2\text{.}$$ Sin embargo, no$$f$$ está en: para ejemplo,$$\pi \in \mathbb{R}$$ pero no hay un entero positivo$$s$$ para el cual$$f(s)=\dfrac{s}{2}=\pi\text{.}$$

Recordemos que podemos combinar ciertas funciones usando composición:

Definición: Composición y función de identidad

Si$$f:S\to T$$ y$$g:T\to U\text{,}$$ entonces la composición de$$f$$ y$$g$$ es la función$$g\circ f: S\to U$$ definida por

\ comenzar {ecuación*} (g\ circ f) (s) =g (f (s))\ final {ecuación*}

para todas las$$s\in S\text{.}$$ (More generally, you can funciones de composición función de$$f:S\to T$$ and $$g:R\to U$$ to form $$g\circ f:S\to U\text{,}$$ as long as $$f(S)\subseteq R\text{.}$$) Also recall that given any set $$S\text{,}$$ the identidad en$$S$$ es la función$$1_S: S\to S$$ defined by $$1_S(s)=s$$ for every $$s\in S\text{.}$$

Definición: Inversa

Dejar$$f$$ ser una función de$$S$$ a$$T\text{.}$$ Una función$$g$$ de$$T$$ a$$S$$ es una inversa de$$f$$ si$$g\circ f$$ y$$f\circ g$$ son las funciones de identidad en$$S$$ y$$T\text{,}$$ respectivamente; es decir, si para todos$$s\in S$$ y $$t\in T\text{,}$$$$g(f(s))=s$$y$$f(g(t))=t\text{.}$$

Decimos que una función es invertible si tiene una inversa.

Tenemos los siguientes teoremas útiles.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$f:S\to T$$La función es invertible si y solo si$$f$$ es una biyección.

Prueba

Supongamos que$$f$$ tiene inversa$$g$$. Vamos$$t∈T$$. Entonces$$f(g(t))=t$$, así$$f$$ está en. Siguiente, supongamos$$s_1,s_2∈S$$ con$$f(s_1)=f(s_2)$$. Entonces

$$s_1=g(f(s_1))=g(f(s_2))=s_2$$,

así$$f$$ es uno a uno.

Por el contrario, supongamos que$$f$$ es una biyección. Entonces para cada$$t∈T$$, existe un elemento único$$s_t∈S$$ tal que$$f(s_t)=t.$$ es entonces sencillo demostrar que la función$$g:T→S$$ definida por

$$g(t)=t_s$$para cada$$t∈T$$

es una inversa de$$f$$.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$f:S\to T$$ ser invertible. Entonces el inverso de$$f$$ es único; denotamos el inverso único de$$f$$ por$$f^{-1}\text{.}$$

Prueba

Supongamos que$$f$$ tiene inversos$$g$$ y$$h$$. Entonces para cada$$t∈T$$,$$f(g(t))=t=f(h(t))$$. Pero como$$f$$ es invertible, es uno a uno, así que debemos tener$$g(t)=h(t)$$ para cada uno$$t∈T$$. Así,$$g=h$$, y así$$f$$ no puede tener dos o más inversos distintos.

Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f:S\to T$$ y$$g:T\to U$$ ser funciones. Si$$f$$ y$$g$$ son ambos 1-1 [resp., onto], entonces$$g\circ f: S\to U$$ es 1-1 [resp., onto]. De ello se deduce que si$$f$$ y$$g$$ son ambas bijecciones, entonces$$g\circ f: S\to U$$ es una bijección.

Prueba

Asumir$$f$$ y$$g$$ son 1-1. Déjalo$$s_1,s_2∈S$$ con$$(g \circ f)(s_1)=(g \circ f)(s_2)$$. Entonces$$g(f(s_1))=g(f(s_2));$$ como$$g$$ es uno-a-uno, esto demuestra que$$f(s_1)=f(s_2)$$. Entonces ya que$$f$$ es uno a uno, debemos tener$$s_1=s_2$$. Así,$$g \circ f$$ es uno a uno.

La prueba que$$g \circ f$$ está sobre si$$f$$ y$$g$$ están sobre se deja como un ejercicio para el lector.

This page titled 1.2: Funciones is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Jessica K. Sklar via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.