16.10: Salvia

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Los anillos son muy importantes en tu estudio del álgebra abstracta, y de manera similar, son muy importantes en el diseño y uso de Sage. Hay mucho material en este capítulo, y hay muchos comandos correspondientes en Sage.

Creación de anillos

Aquí hay una lista de varios anillos, dominios y campos que puedes construir de manera simple.

Enteros (), ZZ: el dominio integral de los enteros positivos y negativos,\({\mathbb Z}\text{.}\)
Enteros (n): los enteros mod\(n\text{,}\)\({\mathbb Z_n}\text{.}\) Un campo cuando\(n\) es primo, pero solo un anillo para compuesto\(n\text{.}\)
QQ: el campo de los números racionales,\({\mathbb Q}\text{.}\)
RR, CC: el campo de los números reales y el campo de los números complejos,\({\mathbb R}\text{,}\)\({\mathbb C}\text{.}\) Es imposible crear cada número real dentro de una computadora, por lo que técnicamente estos conjuntos no se comportan como campos, sino que solo dan una buena imitiación de lo real. Decimos que son anillos inexactos para hacer este punto.
QuadraticField (n): el campo formado combinando los racionales con una solución a la ecuación polinómica\(x^2-n=0\text{.}\) La notación en el texto es\({\mathbb Q}[\sqrt{n}]\text{.}\) Un equivalente funcional se puede hacer con la sintaxis QQ [sqrt (n)]. Tenga en cuenta que n puede ser negativo.
CyclotomicField (n): el campo formado combinando los racionales con las soluciones a la ecuación polinómica\(x^n-1=0\text{.}\)
QQBar: el campo que se forma combinando los racionales con las soluciones a cada ecuación polinómica con coeficientes enteros. Esto se conoce como el campo de los números algebraicos, denotado como
\(\overline
ParseError: invalid DekiScript (click for details)
```
Callstack:
    at (Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/Álgebra_abstracta:_teoría_y_aplicaciones_(Judson)/16:_Anillos/16.10:_Salvia), /content/body/div[1]/ol[1]/li[7]/span/span, line 1, column 1
```
\text{.}\)
FiniteField (p): para un primo\(p\text{,}\) el campo de enteros\({\mathbb Z_p}\text{.}\)

Si imprime una descripción de algunos de los anillos anteriores, a veces verá un nuevo símbolo introducido. Considera el siguiente ejemplo:

Aquí Campo de Número describe un objeto generalmente formado combinando los racionales con otro número (aquí\(\sqrt{7}\)). “a” es un nuevo símbolo que se comporta como raíz del polinomio No\(x^2-7\text{.}\) decimos cuál raíz,\(\sqrt{7}\) o\(-\sqrt{7}\text{,}\) y como entendemos mejor la teoría veremos que esto realmente no importa.

Podemos obtener esta raíz como generador del campo numérico, y luego manipularlo. La raíz de primer cuadratura rinde 7. Observe que la raíz se imprime como un. Observe, también, que los cálculos con root se comportan como si fuera raíz de\(x^2-7\text{,}\) y los resultados se imprimen usando un.

Esto puede resultar un poco confuso, ingresando cálculos con root y obteniendo salida en términos de a. Afortunadamente, hay una mejor manera. Considera el siguiente ejemplo:

Con la sintaxis F. <b>podemos crear el campo F junto con especificar un generador b usando un nombre de nuestra elección. Luego, los cálculos pueden usar b tanto en entrada como en salida como raíz de\(x^2-7\text{.}\)

Aquí hay tres nuevos anillos que mejor se crean usando esta nueva sintaxis.

F. = FiniteField (p^n)<a>: Más adelante tendremos un teorema que nos dice que los campos finitos solo existen con órdenes iguales a una potencia de un primo. Cuando la potencia es mayor que 1, entonces necesitamos un generador, aquí dado como a.
P. =R []<x>: el anillo de todos los polinomios en la variable x, con coeficientes del anillo R. Observe que R puede ser cualquier anillo, por lo que esta es una construcción muy general que usa un anillo para formar otro. Vea un ejemplo a continuación.
Q. = CuaternionÁlgebra (n, m) <r, s, t>: los racionales combinados con indeterminados r, s y t tal que\(r^2=n\text{,}\)\(s^2=m\) y\(t = rs = -sr\text{.}\) Esta es una generalización de los cuaterniones descritos en este capítulo, aunque sobre los racionales más que los reales, por lo que es un anillo exacto. Observe que este es uno de los pocos anillos no conmutativos en Sage. Los cuaterniones “habituales” se construirían con Q. = CuaternionÁlgebra (-1, -1) <I, J, K>. (Observe que usar I aquí no es una buena opción, porque luego golpeará el símbolo que usé para números complejos).

Los nombres de especificación de sintaxis para generadores también se pueden usar para muchos de los anillos anteriores, como se demostró anteriormente para campos cuadráticos y abajo para campos ciclotómicos.

Propiedades de los anillos

Los siguientes ejemplos demuestran cómo consultar ciertas propiedades de los anillos. Si estás jugando, asegúrate de ejecutar la primera celda de cálculo para definir los diversos anillos involucrados en los ejemplos.

Exacto versus inexacto.

Finito versus infinito.

¿Dominio integral?

¿Campo?

¿Conmutativo?

Característica.

Las identidades aditivas y multiplicativas se imprimen como cabría esperar, pero fíjate que si bien pueden imprimir de manera idéntica, podrían ser diferentes por el anillo en el que viven.

Hay cierto apoyo para los subros. Por ejemplo, Q y S son extensiones de los racionales, mientras que F es totalmente distinto de los racionales.

No todos los elementos de un anillo pueden tener una inversa multiplicativa, es decir, no todos los elementos tienen que ser una unidad (a menos que el anillo sea un campo). Ahora sería una buena práctica verificar si un elemento es una unidad antes de intentar calcular su inversa.

Estructura del cociente

Los ideales son los subgrupos normales de anillos y nos permiten construir “cocientes” —básicamente anillos nuevos definidos en clases de equivalencia de elementos del anillo original. El soporte sabio para los ideales es variable. Cuando se pueden crear, no siempre hay mucho que puedas hacer con ellos. Pero funcionan bien en ciertos casos muy importantes.

Los enteros,\({\mathbb Z}\text{,}\) tienen ideales que son solo múltiplos de un solo entero. Podemos crearlos con el método.ideal () o simplemente escurriendo un múltiplo escalar de ZZ. Y entonces el cociente es isomórfico a un anillo bien entendido. (Observe que yo es un mal nombre para un ideal si queremos trabajar con números complejos más adelante.)

Normalmente podríamos tener más cuidado con la última declaración. El cociente es un conjunto de clases de equivalencia, cada una infinita, y ciertamente no un solo entero. Pero el cociente es isomórfico para\({\mathbb Z}_4\text{,}\) así que Sage solo hace esta identificación.

Observe que la construcción del anillo de cociente ha creado un nuevo generador, convirtiendo y (\(y\)) a ybar (\(\overline{y}\)). Podemos anular esto como antes con la sintaxis demostrada a continuación.

Entonces, a partir de un cociente de un anillo infinito y un ideal (que también es un anillo), creamos un campo, que es finito. Entender esta construcción será un tema importante en los próximos capítulos. Para ver lo notable que es, considere lo que sucede con solo un pequeño cambio.

Hay algunos métodos disponibles que nos darán propiedades de ideales. En particular, podemos verificar los ideales primos y máximos en anillos de polinomios. Examinar los resultados arriba y abajo en el contexto del Teorema 16.35.

El hecho de que M sea un ideal principal es la verificación de Corolario\(16.40\).

Homomorfismos de anillo

Cuando Sage se presenta con 3 + 4/3, ¿cómo sabe que 3 está destinado a ser un entero? Y luego para agregarlo a un racional, ¿cómo sabe que realmente queremos ver el cómputo como 3/1 + 4/3? Esto es muy fácil para ti y para mí, pero endiabladamente duro para un programa, y puedes imaginarlo cada vez más complicado con los muchos anillos posibles en Sage, subrines, matrices, etc. Parte de la respuesta es que Sage usa homomorfismos de anillo para “traducir” objetos (números) entre anillos.

Vamos a dar un ejemplo a continuación, pero no seguir el tema mucho más allá. Para los curiosos, leer la documentación de Sage y experimentar sería un buen ejercicio.

Entonces phi es un homomorfismo (“morfismo”) que convierte enteros (el dominio es ZZ) en racionales (el codominio es QQ), cuyo padre es un conjunto de homomorfismos que Sage llama “homset”. A pesar de que a y b ambos imprimen como 3, lo cual es indistinguible a nuestros ojos, los padres de a y b son diferentes. Sin embargo, el valor numérico de los dos objetos no ha cambiado.