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18.6: Salvia

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    Ya hemos visto algunos dominios integrales y factorizaciones únicas en los dos capítulos anteriores. Además de lo que ya hemos visto, Sage cuenta con soporte para algunos de los temas de esta sección, pero la cobertura es limitada. Algunas funciones funcionarán para algunos anillos y no para otras, mientras que algunas funciones aún no forman parte de Sage. Por lo que vamos a dar algunos ejemplos, pero esto está lejos de ser exhaustivo.

    Campo de Fracciones

    La salvia es frecuentemente capaz de construir un campo de fracciones, o identificar un determinado campo como el campo de fracciones. Por ejemplo, el anillo de enteros y el campo de números racionales se implementan ambos en Sage, y los enteros “saben” que los racionales es su campo de fracciones.

    En otros casos Sage construirá un campo de fracción, en el espíritu de Lemma\(18.3\). Entonces es posible hacer cálculos básicos en el campo construido.

    Subcampos Prime

    Corolario\(18.7\) dice que cada campo de característica\(p\) tiene un subcampo isomórfico a\({\mathbb Z}_p\text{.}\) Para un campo finito, la naturaleza exacta de este subcampo no es una sorpresa, pero Sage nos permitirá extraerlo fácilmente.

    De manera más general, los campos mencionados en las conclusiones de Corolario\(18.6\) y Corolario\(18.7\) se conocen como el “subcampo primo” del anillo que los contiene. Aquí hay un ejemplo del caso cero característico.

    En un sentido áspero, cada campo cero característico contiene una copia de los números racionales (el campo de fracción de los enteros), lo que puede explicar el amplio soporte de Sage para anillos y campos que extienden los enteros y los racionales.

    Dominios Integrales

    Sage puede determinar si algunos anillos son dominios integrales y podemos probar productos en ellos. Sin embargo, las nociones de unidades, irreducibles o elementos primos generalmente no se soportan (fuera de lo que hemos visto para polinomios en el capítulo anterior). Peor aún, la construcción a continuación crea un anillo dentro de un campo más grande y así algunas funciones (como .is_unit ()) pasan y dan resultados engañosos. Esto se debe a que la construcción a continuación crea un anillo conocido como “orden en un campo numérico”.

    Lo siguiente es un poco engañoso, ya que\(4\text{,}\) como elemento de\({\mathbb Z}[\sqrt{3}i]\) no tiene un inverso multiplicativo, aunque aparentemente podemos computar uno.

    Ideales principales

    Cuando un anillo es un dominio ideal principal, como los enteros, o polinomios sobre un campo, Sage funciona bien. Más allá de eso, el apoyo comienza a debilitarse.


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