2.1: Operaciones Binarias y Estructuras

Hasta el momento hemos estado discutiendo conjuntos. Se trata de objetos extremadamente simples, esencialmente matemáticos “bolsas de cosas”. Sin ninguna estructura añadida, su utilidad es muy limitada. Imagínese, por ejemplo, vivir con amigos en una casa de dos pisos sin habitaciones, escaleras, clósets o pasillos. No tienes privacidad, no puedes acceder al segundo piso, etc. Un conjunto sin estructura agregada no nos ayudará, digamos, a resolver una ecuación lineal. Lo que nos ayudará con tales cosas son objetos como grupos, anillos, campos y espacios vectoriales. Se trata de conjuntos equipados con operaciones binarias que nos permiten combinar elementos de conjunto de diversas maneras. Primero definimos rigurosamente una operación binaria.

Definición: Operación binaria

Una operación binaria en un conjunto\(S\) es una función de\(S\times S\) a\(S\text{.}\) Dada una operación binaria\(*\) en\(S\text{,}\) para cada uno\((a,b)\in S\times S\)\(*((a,b))\) denotamos de manera\(S\) más simple por\(a*b\text{.}\) (Intuitivamente, una operación binaria\(*\) en\(S\) asigna a cada par de elementos\(a,b \in S\) un elemento único\(a*b\) de\(S\text{.}\))

Un conjunto\(S\) equipado con una operación binaria\(*\) se denomina estructura binaria (algebraica), y se denota por\(\langle S,*\rangle\text{,}\) o simplemente por\(S\text{,}\) si\(*\) se entiende a partir del contexto.

Observación

1. \(*\)Para ser una operación binaria on\(S\text{,}\)\(a*b\) debe estar bien definida y en\(\mathbf{S}\) para cada\(a,b\in S\text{.}\) Por ejemplo, no podemos definir una operación binaria on\(\mathbb{R}\) by

\ begin {ecuación*} a*b=\ text {el mayor número menor que\(a+b\)}\ end {ecuación*}

ya que no existe tal “mayor número”. Tampoco podemos definir una operación binaria en\(\mathbb{Z}\) by \(a*b=\dfrac{ab}{2}\text{,}\) since for, say, \(a=b=1 \in \mathbb{Z}\text{,}\) \(\dfrac{ab}{2}=\dfrac{1}{2} \not\in \mathbb{Z}\text{.}\)

2. No todas las operaciones binarias se denotan por\(*\text{.}\) De hecho, muchos ya tienen notaciones comunes: por ejemplo,\(+\)\(\circ\) sobre\(\mathbb{Z}\) o en el conjunto de funciones desde\(\mathbb{R}\) hasta\(\mathbb{R}\text{.}\) Supondremos que estas notaciones comunes representan las operaciones binarias “habituales” que sabemos que significan, salvo que se indique otra cosa.

3. No mezclar el\(*\) que indica una operación binaria y el superíndice\(^*\) que indica que solo estamos considerando los elementos distintos de cero de un conjunto dado (e.g.,\(\mathbb{R}^*\)). Deberías ser capaz de decir qué tipo de\(*\) estamos usando desde el contexto y la ubicación. Además, ¡asegúrate de colocar correctamente estos símbolos!

Definición: Asociativo

Una operación binaria\(*\) en un conjunto\(S\) es asociativa si\((a*b)*c=a*(b*c)\) para todos\(a,b,c\in S\text{.}\)

Observación

Cuando una operación binaria es asociativa, podemos omitir paréntesis al operar en elementos set. Por ejemplo,\(+\) es asociativo en\(\mathbb{Z}\text{,}\) así que podemos escribir inequívocamente las expresiones (iguales)\(1+(2+3)\) y\((1+2)+3\) como\(1+2+3\text{.}\)

Definición: Conmutativo

Una operación binaria\(*\) en el set\(S\) es conmutativa si

\ begin {ecuación*} a*b=b*a\ end {ecuación*}

para todos\(a,b\in S\text{.}\) We say that specific elements \(a\) and \(b\) of \(S\) los viajes si\(a*b=b*a\text{.}\)

Definición: Elemento de identidad

Dejar\(\langle S,*\rangle\) ser una estructura binaria. Un elemento\(e\) en\(S\) es un elemento de identidad de\(\langle S,*\rangle\) si\(x*e=e*x=x\) para todos\(x\in S\text{.}\)

Nota

A veces un elemento de identidad de\(\langle S,*\rangle\) se refiere como un elemento de identidad de\(S\) bajo\(*\), o, cuando\(*\) es claro a partir del contexto, simplemente como un elemento de identidad de\(S\).

Nota

¡No todas las estructuras binarias contienen un elemento de identidad! (Ej.:\(\langle \mathbb{Z},-\rangle\text{.}\)

Una pregunta natural a hacer es si una estructura binaria puede tener más de un elemento de identidad? ¡La respuesta es no!

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Una estructura binaria\(\langle S, *\rangle\) tiene como máximo un elemento de identidad. Es decir, los elementos de identidad en las estructuras binarias, cuando existen, son únicos.

Prueba

Sssume que ee y ff son elementos de identidad de\(S\). Entonces como ee es un elemento de identidad,\(e∗f=f\) y dado que\(f\) es un elemento de identidad,\(e∗f=e\). Así,\(e=f\).

Definición: Inversa de dos caras

Dejar\(\langle S, *\rangle\) ser una estructura binaria con elemento de identidad\(e\text{.}\) Entonces for\(a\in S\text{,}\)\(b\) es un inverso (de dos lados) de\(a\) en\(\langle S,*\rangle\) si\(a*b=b*a=e\text{.}\)

Nota

También podemos referirnos a dicho elemento\(b\) como un inverso for\(a\) in\(S\) under\(*\), o, cuando\(*\) es claro desde el contexto, simplemente como un inverso de\(a\).

Nota

• ¡No todos los elementos en una estructura binaria con un elemento de identidad tienen una inversa!

• Si una estructura binaria no tiene un elemento de identidad, ¡ni siquiera tiene sentido decir que un elemento en la estructura tiene o no tiene una inversa!

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(\langle S, *\rangle\) ser una estructura binaria con un elemento de identidad, donde\(*\) es asociativo. Let\(a\in S\text{.}\) Si\(a\) tiene una inversa, entonces su inversa es única.

Prueba

\(e\)Déjese ser el elemento de identidad de\(S\). Supongamos que aa tiene inversos\(b\) y\(c\). \(a∗b=e\)Entonces así, multiplicando ambos lados de la ecuación por\(c\) a la izquierda, tenemos\(c∗(a∗b)=c∗e=c\). Pero como\(∗\) es asociativo, tenemos\(c∗(a∗b)=(c∗a)∗b=e∗b=b\). Pero\(b=c\) .Así,\(a\) la inversa es única.

Terminamos discutiendo la idea de cierre bajo una operación binaria.

Definición: Cerrado

Dejar\(\langle S,*\rangle\) ser una estructura binaria y dejar\(T \subseteq S\text{.}\) Entonces\(T\) se dice que se cierra bajo\(*\) si\(t_1 * t_2 \in T\) siempre que\(t_1,t_2\in T\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considere la estructura binaria\(\langle \mathbb{M}_2(\mathbb{R}), +\rangle\text{,}\) donde\(+\) denota adición de matriz. Let

\[T=\{A\in M_2(\mathbb{R}): A \mbox{ is invertible}\}.\]

Afirmamos que no\(T\) está cerrado bajo\(+\text{.}\) Indeed, si denotamos la matriz de identidad en\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\) para\(I_2\text{,}\) entonces observamos eso\(I_2, -I_2\in T\text{,}\) pero\(I_2+(-I_2)\not\in T\text{,}\) ya que la matriz cero no es invertible.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considere la estructura binaria\(\langle \mathbb{M}_2(\mathbb{R}), \cdot\rangle\text{,}\) donde\(\cdot\) denota multiplicación matricial. Nuevamente, dejemos\(T\) ser el conjunto de todas las matrices invertibles en\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}\) Afirmamos que\(T\) se cierra bajo\(\cdot\,\text{.}\) Indeed, vamos\(A,B\in T\text{.}\) Entonces\(A\) y\(B\) son invertibles, por lo que sus determinantes son distintos de cero. Así,\(\det(AB)=(\det A)(\det B)\neq 0,\) así\(AB\) es invertible, y por lo tanto\(AB\in T\text{.}\)