2.6: Ejemplos de Grupos/Nongroups, Parte II

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Definimos\(n\mathbb{Z}\) por

\ begin {ecuación*} n\ mathbb {Z} =\ {nx: x\ in\ mathbb {Z}\}:\ end {ecuación*}

es decir,\(n\mathbb{Z}\) es el conjunto de todos los múltiplos (enteros) de\(n\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

\(n\mathbb{Z}\)es un grupo bajo\(+\) (la suma habitual de enteros).

Prueba

Vamos\(x,y∈n\mathbb{Z}\). Entonces existen\(a,b∈\mathbb{Z}\) tal que\(x=na\) y\(y=nb\). Entonces\(x+y=na+nb=n(a+b)∈n\mathbb{Z}\). Así\(\langle n\mathbb{Z},+ \rangle\)\(\langle n\mathbb{Z},+ \rangle\) es una estructura binaria. El resto de la prueba se deja como ejercicio para el lector.

Observación

Cuando estamos discutiendo un grupo\(n\mathbb{Z}\text{,}\) supongamos que\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) a menos que se indique lo contrario.

Usamos un ejemplo de nuestra siguiente clase de grupos todo el tiempo; de hecho, la mayoría de los niños de seis años también lo hacen, ¡ya que se usa al decir la hora! Antes de llegar al ejemplo, necesitamos algunas definiciones más y alguna notación. A lo largo de la siguiente discusión, supongamos que\(n\) es un entero positivo fijo.

Definición: Módulo congruente (mod)

Decimos enteros\(a\) y\(b\) son congruentes modulo [o mod] \(n\)si\(n\) divide\(a-b\text{.}\) Si\(a\) y\(b\) son congruentes mod\(n\text{,}\) escribimos\(a \equiv_n b\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(1, 7, 13,\)y todos\(-5\) son congruentes mod\(6\text{.}\)

El siguiente es un teorema profundamente útil; es tan importante, tiene un nombre especial. Omitimos la prueba de este teorema, pero dirigimos a los lectores interesados a, por ejemplo, p. 5 en [3].

Teorema\(\PageIndex{2}\): Division Algorithm

Let\(n\in \mathbb{Z}^+\) y let\(a\) ser cualquier entero. Entonces existen enteros únicos\(q\) y\(r\text{,}\) con\(0\leq r \lt n\text{,}\) tal que\(a=qn+r\text{.}\)

(Este es en realidad un caso especial de un teorema más general, que establece que dado cualquier número entero\(n\) y\(a\text{,}\) existen enteros únicos\(q\) y\(r\text{,}\) con\(0\leq r\lt |n|\text{,}\) tal que\(a=qn+r\text{.}\))

De ello se deduce que para cada entero positivo\(n\) y entero\(a\text{,}\) existe un elemento único\(R_n(a)\) (el\(r\) en el teorema anterior) del conjunto\(\{0,1,2,\ldots, n-1\}\) tal que\(a\) es congruente al\(R_n(a)\) módulo\(n\text{.}\) Por ejemplo,\(R_3(4)=1\text{,}\)\(R_3(0)=0\text{,}\)\(R_3(17)=2\text{,}\) y \(R_3(-5)=1\text{.}\)

Definición: Resto

\(R_n(a)\)es el resto cuando dividimos\(a\) por\(n\text{.}\)

(Nota: Probablemente ya estabas familiarizado con el resto cuando divides un entero positivo por\(n\text{.}\))

Definición: Módulo de adición

Definimos módulo de adición\(n\),\(+_n\text{,}\) on\(\mathbb{Z}\) by, para todos\(a,b\in \mathbb{Z}\text{,}\)

\ begin {ecuación*} a+_n b=r_n (a+b),\ end {ecuación*}

es decir, el elemento único de\(\{0,1,\ldots, n-1\}\) that's congruent to the integer \(a+b\) modulo \(n\text{.}\)

Observación

Además mod\(24\) es lo que usamos para decir la hora!

El conjunto\(\{0,1,2,\ldots, n-1\}\) de restos a la hora de dividir por\(n\) es tan importante que le damos una notación especial.

Definición

Definimos\(\mathbb{Z}_n\) para ser el conjunto\(\{0,1,2,\ldots,n-1\}\text{.}\)

Nota

Tenga en cuenta que por nuestra definición\(\mathbb{Z}_n\text{,}\) del entero en\(n\) sí no está en\(\mathbb{Z}_n\text{!}\)

Ahora estamos listos para considerar nuestro próximo tipo de grupo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Para cada uno\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\)\(\langle \mathbb{Z}_n,+_n\rangle\) es un grupo, llamado el grupo cíclico de orden \(n\)(veremos más adelante por qué usamos la palabra “cíclico” aquí). Este grupo es abeliano y de orden\(n\text{.}\)

Prueba

Primero verificamos que\(\langle \mathbb{Z}n,+_n\rangle\) sea una estructura binaria. Obsérvese que por la definición de\(+_n\),\(a+_nb∈\mathbb{Z}_n\) para cada uno\(a,b∈Z\). Así,\(a+_nb∈\mathbb{Z}_n\) para cada uno\(a,b∈\mathbb{Z}_n\).

A continuación comprobamos que\(\mathbb{Z}_n\) bajo\(+_n\) satisface los tres axiomas grupales. Obsérvese que, dado que la adición es conmutativa\(\mathbb{Z}\),

\(a+_nb=R_n(a+b)=R_n(b+a)=b+_na\)

para todos\(a,b∈\mathbb{Z}_n\). Again, a simpler way of stating this is that commutativity of \(+_n\) on \(\mathbb{Z}_n\) is inherited from the commutativity of addition on \(\mathbb{Z}\). One nice result of this is that since \(+_n\) is commutative on \(\mathbb{Z}_n\), we have less to check when verifying group axioms \(\mathcal{G}_2\) and \(\mathcal{G}_3\).

Ahora, vamos\(a,b,c∈\mathbb{Z}_n\). Eso queremos demostrarlo\((a+_nb)+_nc=a+_n(b+_nc)\). Ahora,

\(\begin{array}& (a+_nb)+_nc &=R_n(a+b)+_nc \\ &≡_nR_n(a+b)+c \\ &≡_n(a+b)+c \\ &≡_na+(b+c)\\ &≡_na+R_n(b+c)\\ &≡_na+_n(b+_nc).\end{array} \)

Entonces\((a+_nb)+_nc\) and \(a+_n(b+_nc)\) are congruent mod \(n\). Since both of these values are in \(\{0,1,…,n−1\}\), this implies that they are equal, as desired.

Siguiente, claramente,\(0∈\mathbb{Z}_n\) actúa como un elemento de identidad bajo\(+_n\), ya que

\(0+_na=R_n(0+a)=R_n(a)\)

para cada\(a∈\mathbb{Z}_n\).

Por último, vamos\(a∈\mathbb{Z}_n\). Si\(a=0\), entonces claramente aa tiene inverso\(0∈\mathbb{Z}_n\) desde entonces\(0+n_0=0\). Si\(a≠0\), entonces el elemento\(n−a∈\mathbb{Z}_n\) es un inverso para aa ya que

\(a+_n(n−a)=R_n(a+(n−a))=R_n(n)=0.\)

Desde el grupo\(+_n\) is commutative on \(\mathbb{Z}_n\), \(\mathbb{Z}_n\) is an abeliano bajo\(+_n\).

Por último, eso ya lo sabemos\(|\mathbb{Z}_n|=|\{0,1,2,…,n−1\}|=n\).

Observación

En la práctica, a menudo omitimos el subíndice\(n\) y solo escribimos\(+\) cuando discutimos\(n\) el módulo de adición en\(\mathbb{Z}_n\text{.}\)

Primero verificamos que\(\langle\Z_n,+_n\rangle\) sea una estructura binaria. Obsérvese que por la definición de\(+_n\text{,}\)\(a+_nb \in \Z_n\) para cada\(a,b\in \Z\text{.}\) Así,\(a+_nb \in \Z_n\) para cada\(a,b\in \Z_n\text{.}\)

A continuación comprobamos que\(\Z_n\) bajo\(+_n\) satisface los tres axiomas grupales. Tenga en cuenta que dado que la adición es conmutativa en\(\Z\text{,}\)

\ begin {ecuación*} a+_n b =r_n (a+b) =r_n (b+a) =b+_n a\ end {ecuación*}

para todos\(a,b\in \Z_n\text{.}\) Una vez más, una forma más sencilla de afirmar esto es que la conmutatividad de\(+_n\) on\(\Z_n\) se hereda de la conmutatividad de la adición en\(\Z\text{.}\) Un buen resultado de esto es que dado que\(+_n\) es conmutativo on\(\Z_n\text{,}\) tenemos menos que verificar al verificar axiomas grupales\(\G_2\) y\(\G_3\text{.}\)

Ahora,\(a,b,c\in \Z_n\text{.}\) vamos Queremos demostrar que\((a+_n b)+_n c = a +_n(b+_n c)\text{.}\) Ahora,

\ begin {alinear*} (a+_n b) +_n c\ amp =r_n (a+b) +_n c\\\ amp\ equiv_n r_n (a+b) +c\\\\ amp\ equiv_n (a+b) +c\\\ amp\\ amp\ equiv_n a+ (b+c)\\ amp\ equiv_n A+r_n (b+c)\\\ amp\ equiv_n a+_n (b+_n c). \ end {align*}

Entonces\((a+_n b)+_n c\) y\(a+_n (b+_n c)\) son congruentes mod\(n\text{.}\) Dado que ambos de estos valores están en\(\{0,1,\ldots, n-1\}\text{,}\) esto implica que son iguales, como se desee.

Siguiente, claramente,\(0\in \Z_n\) actúa como un elemento de identidad\(+_n\text{,}\) bajo

\ begin {ecuación*} 0+_n a =R_n (0+a) =R_n (a)\ end {ecuación*}

para cada\(a\in \Z_n\text{.}\)

Finalmente, vamos\(a\in \Z_n\text{.}\) If\(a=0\text{,}\) entonces claramente\(a\) tiene inverso\(0\in \Z_n\) desde\(0+_n 0 = 0\text{.}\) Si\(a\neq 0\text{,}\) entonces el elemento\(n-a\in \Z_n\) es un inverso para\(a\) since

\ begin {ecuación*} a+_n (n-a) =R_n (a+ (n-a)) =R_n (n) =0. \ end {ecuación*}

Dado que\(+_n\) es conmutativo\(\Z_n\text{,}\)\(\Z_n\) es un grupo abeliano bajo\(+_n\text{.}\)

Por último, ya sabemos que\(|\Z_n|=|\{0,1,2,\ldots,n-1\}|=n\text{.}\)

Nota

No confundas\(n\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Z}_n\text{!}\) Son muy diferentes como conjuntos y como grupos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

En el grupo\(\langle \mathbb{Z}_8,+\rangle\) (donde, como lo indica nuestro comentario anterior,\(+\) significa módulo de suma\(8\)), tenemos, por ejemplo,\(3+7=2\) y\(7+7=6\text{.}\) Los números 2 y 6 son el inverso del otro, y\(7^{-1}=1\text{.}\) El número\(0\) tiene inverso\(0\) (no puede ser\(8\text{,}\) desde \(8\not\in \mathbb{Z}_8\text{!}\)).

Definición: Módulo de multiplicación

Para\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) definimos módulo de multiplicación\(n\),\(\cdot_n\text{,}\) denotado\(\mathbb{Z}_n\) por\(a\cdot_n b = R_n(ab)\text{,}\) el resto cuando\(ab\) se divide por\(n\text{.}\)

Observación

\(\mathbb{Z}_n\)nunca es un grupo bajo\(\cdot_n\) (¿ves por qué?).

Pero podemos considerar lo siguiente

Definición

Porque\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) definimos\(\mathbb{Z}_n^{\times}\) ser el conjunto

\ begin {ecuación*}\ {a\ in\ mathbb {Z} _n\,:\,\ gcd (a, n) =1\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(\langle \mathbb{Z}_n^{\times},\,\cdot_n\, \rangle\)es un grupo bajo multiplicación. Omitimos la prueba.

Terminamos esta sección considerando algunos ejemplos más.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(F\) ser el conjunto de todas las funciones de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\text{,}\) y definir la adición puntual\(+\) en\(F\) por

\ comenzar {ecuación*} (f+g) (x) =f (x) +g (x)\ final {ecuación*}

para todos\(f,g\in F\) and \(x\in \mathbb{R}\text{.}\) We claim that \(F\) is a group under pointwise addition. (For variety, in this proof we don't explicitly refer to \(\mathcal{G}_1\)–\(\mathcal{G}_3\text{,}\) though we certainly do verify they hold.)

Prueba

Si\(f,g∈F\) entonces claramente también\(f+g\) es una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\), también lo\(\langle F,+ \rangle\) es una estructura binaria.

A continuación, vamos\(f,g,h∈F\). Entonces para todos\(x∈\mathbb{R}\),

\( \begin{array} &((f+g)+h)(x) &=(f+g)(x)+h(x)& \\&=((f(x)+g(x))+h(x)&\\ &=f(x)+(g(x)+h(x)) &\text{(since addition is associative on \(\mathbb{R}\))}\\ &=f (x) + (g+h) (x) &\\ & =( f+ (g+h)) (x). &\ end {matriz}\)

Obsérvese que el hecho clave utilizado en este argumento es el\(f(x)\), \(g(x)\) and \(h(x)\) all lie in \(\mathbb{R}\), and addition is associative on \(\mathbb{R}\). When you get used to such arguments, it is sufficient to say that associativity of \(+\) on \(F\) is  heredado de la asociatividad de la adición en\(\mathbb{R}\).

A continuación, deja\(z:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) ser la función\(z(x)=0\) para todos\(x\). Entonces para todos\(f∈F\) y\(x∈R\),

\(\begin{array}& (f+z)(x) &=f(x)+z(x)\\ &=f(x)+0\\ &=f(x)\\ &=0+f(x)\\ &=z(x)+f(x)\\ &=(z+f)(x). \end{array}\)

Entonces\(z\) is an identity element of \(\langle F,+ \rangle\).

Por último, dejar\(f∈F\), y definir\(g∈F\) por\(g(x)=−f(x)\) para todos\(x∈\mathbb{R}\). Es fácil entonces ver que\(g\) es una inversa para\(f\) in\(F\).

De ahí\(F\) que sea un grupo bajo adición puntual. Obsérvese que es incontablemente infinito y abeliano.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

El conjunto no\(F\) es un grupo bajo composición de funciones (¿ves por qué?). Pero si definimos\(B\) que sea el conjunto de todas las bijecciones desde\(\mathbb{R}\) hasta\(\mathbb{R}\text{,}\) entonces\(B\) es un grupo bajo composición de funciones. (¡Demuéstralo!) \(B\)es incontablemente infinito y no abeliano.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Dejar\(\langle G_1,*_1\rangle\text{,}\)\(\langle G_2,*_2\rangle\),\(\ldots\text{,}\)\(\langle G_n,*_n\rangle\) ser grupos (\(n\in \mathbb{Z}^+\)). Luego el producto del grupo

\ begin {ecuation*} G=G_1\ times G_2\ times\ cdots\ times G_n\ end {ecuación*}

es un grupo bajo la operación componentwise\(*\) defined by

\ begin {ecuación*} (g_1, g_2,\ ldots, g_n) * (h_1, h_2,\ ldots, h_n) = (g_1*_1h_1, g_2*_2h_2,\ lpuntos, g_n*_nh_n)\ end {ecuación*}

para todos\((g_1,g_2,\ldots, g_n),(h_1,h_2,\ldots,h_n)\in G\text{.}\)

Por ejemplo, considerando la multiplicación en la multiplicación\(\mathbb{R}^*\text{,}\) matricial en\(GL(2,\mathbb{R})\text{,}\) y\(6\) el módulo de adición en\(\mathbb{Z}_6\text{,}\) tenemos que\(\langle \mathbb{R}^*\times GL(2,\mathbb{R}) \times \mathbb{Z}_6,*\rangle\) es un grupo en el que, por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ left (-1,\ begin {bmatrix} 1 &3\\ 0 &-1\ end {bmatrix}, 3\ derecha) *\ left (\ pi,\ begin {bmatrix} 2 &1\\ 1 &1\ end {bmatrix}, 4\ derecha) =\ left (-\ pi,\ begin {bmatrix} 5 &4\\ -1 &-1\ end {bmatrix} ,1\ derecha). \ end {ecuación*}

Si\(f,g\in F\) entonces claramente\(f+g\) es también una función de\(\R\) a\(\R\text{,}\) así\(\langle F,+\rangle\) es una estructura binaria.

Siguiente, vamos\(f,g,h\in F\text{.}\) Entonces para todos\(x\in \R\text{,}\)

\ begin {align*} ((f+g) +h) (x)\ amp =( f+g) (x) +h (x)\ amp\ amp\ amp\\ amp =( (f (x) +g (x)) +h (x)\ amp\ amp\ amp\ amp = f (x) + (g (x) +h (x))\ amp\ amp\ texto {(desde la adición es asociativa en\(\R\))}\\\ amp =f (x) + (g+h) (x)\ amp\ amp\\ amp =( f+ (g+h)) (x)\ amp\ amp. \ end {align*}

Tenga en cuenta que el hecho clave utilizado en este argumento es que\(f(x)\text{,}\)\(g(x)\) y\(h(x)\) todos mienten\(\R\text{,}\) y además es asociativo en\(\R\text{.}\) Cuando te acostumbras a tales argumentos, es suficiente decir que la asociatividad de\(+\) on\(F\) se hereda de la asociatividad de adición en\(\R\text{.}\)

Siguiente, deja\(z:\R\to\R\) ser la función\(z(x)=0\) para todos\(x\text{.}\) Entonces para todos\(f\in F\) y\(x\in \R\text{,}\)

\ begin {alinear*} (f+z) (x)\ amp =f (x) +z (x)\ amp\ amp\ amp\\ amp =f (x) +0\ amp\ amp\ amp\ amp = f (x)\ amp\ amp\ amp = 0+f (x)\ amp\ amp\ amp = z (x) +f (x)\ amp\ amp\ amp = (z+f) (x). \ end {align*}

Así\(z\) es un elemento de identidad de\(\langle F,+\rangle\text{.}\)

Por último, dejar\(f\in F\text{,}\) y definir\(g\in F\) por\(g(x)=-f(x)\) para todos\(x\in \R\text{.}\) Es fácil entonces ver que\(g\) es una inversa para\(f\) in\(F\text{.}\)

De ahí\(F\) que sea un grupo bajo adición puntual. Obsérvese que es incontablemente infinito y abeliano.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Un ejemplo común de un producto de grupo es el grupo\(\mathbb{Z}_2^2\text{,}\) equipado con módulo de adición componentwise\(2\).

Definición: Klein-4-group

El grupo\(\mathbb{Z}_2^2\) es conocido como el grupo Klein 4. (Felix Klein era un matemático alemán; es posible que hayas oído hablar de él en relación con la Botella Klein). El grupo a veces\(\mathbb{Z}_2^2\) se denota por\(V\text{,}\) lo que significa “Vierergruppe”, la palabra alemana para “cuatro grupos”.