4.1: Introducción a los subgrupos

Nota

¡No confundas los subgrupos con los subconjuntos! Todos los subgrupos de un grupo\(G\) son, por definición, subconjuntos de\(G\text{,}\) pero no todos los subconjuntos de\(G\) son subgrupos de\(G\) (ver Ejemplo\(4.1.1\), Partes 2—5, a continuación). Si un subconjunto de\(G\) es o no un subgrupo de\(G\) depende de la operación de\(G\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Consideremos el subconjunto\(\mathbb{Z}\) del grupo\(\mathbb{Q}\text{,}\) asumiendo que\(\mathbb{Q}\) está equipado con la suma habitual de números reales (como indicamos anteriormente que asumiríamos, por defecto). Ya que ya sabemos que\(\mathbb{Z}\) es un grupo bajo esta operación, no\(\mathbb{Z}\) es sólo un subconjunto sino de hecho un subgrupo de\(\mathbb{Q}\) (bajo suma).
En su lugar, considere el subconjunto\(\mathbb{Q}^+\) del grupo\(\mathbb{Q}\text{.}\) Este subconjunto no es un grupo bajo\(\mathbb{Q}\) la operación\(+\text{,}\) ya que no contiene un elemento de identidad para\(+\text{.}\) Por lo tanto,\(\mathbb{Q}^+\) es un subconjunto pero no un subgrupo de\(\mathbb{Q}\text{.}\)
Dejar\(I\) ser el subconjunto

\ begin {ecuación*} I=\ mathbb {R} -\ mathbb {Q} =\ {x\ in\ mathbb {R}: x\ text {es irracional}\}\ end {ecuación*}

del grupo\(\mathbb{R}\text{.}\) The set \(I\) is no un grupo bajo\(\mathbb{R}\)'s operation \(+\) since it is not closed under addition: for instance, \(\pi, -\pi \in I\text{,}\) but \(\pi+(-\pi)=0\not\in I\text{.}\) So \(I\) is a subset but not a subgroup of \(\mathbb{R}\text{.}\)

Considerar el subconjunto\(\mathbb{Z}^+\) del grupo\(\mathbb{R}^+\text{.}\) El conjunto\(\mathbb{Z}^+\) se cierra bajo multiplicación, la multiplicación es asociativa\(\mathbb{Z}^+\text{,}\) y\(\mathbb{Z}^+\) sí contiene un elemento de identidad (es decir,\(1\)). Sin embargo, la mayoría de los elementos de\(\mathbb{Z}^+\) no tienen inversas en\(\mathbb{Z}^+\) bajo multiplicación: por ejemplo, la inversa de\(3\) tendría que ser\( \dfrac{1}{3}\text{,}\) pero\(\dfrac{1}{3}\not\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Por lo tanto,\(\mathbb{Z}^+\) es un subconjunto pero no un subgrupo de\(\mathbb{R}^+\text{.}\)
Consideremos el subconjunto\(GL(n,\mathbb{R})\) de\(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{.}\) Sabemos que\(GL(n,\mathbb{R})\) es un grupo, por lo que podría ser tentador decir que se trata de un subgrupo de\(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{;}\) ser un subgrupo de\(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{,}\)\(GL(n,\mathbb{R})\) debe ser un grupo bajo\(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\) operación, que es la suma matricial. Si bien\(GL(n,\mathbb{R})\) es un grupo bajo multiplicación matricial, no es un grupo bajo adición matricial: por ejemplo, no se cierra bajo adición matricial, ya que\(I_n, -I_n\in GL(n,\mathbb{R})\) pero\(I_n+(-I_n)\) es la matriz que consiste en todos los ceros, que no está en\(GL(n,\mathbb{R})\text{.}\) So\(GL(n,\mathbb{R})\) es un subconjunto pero no un subgrupo de \(\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{.}\)
Considere el subconjunto\(H=\{0,2\}\) de\(\mathbb{Z}_4\text{.}\) El subconjunto\(H\) se cierra bajo módulo de adición\(4\) (\(0+0=0\text{,}\)\(0+2=2+0=2\text{,}\)\(2+2=0\)), el módulo de adición\(4\) es siempre asociativo,\(H\) contiene un elemento de identidad (es decir,\(0\)) bajo módulo de adición\(4\), y ambos \(0\)y\(2\) tienen inversos\(\mathbb{Z}_4\) bajo esta operación (\(0\)y cada uno\(2\) son sus propios inversos). Así,\(H\) es un subgrupo de\(\mathbb{Z}_4\text{.}\)
Seamos\(G\) un grupo. Entonces\(\{e_G\}\) y\(G\) son claramente ambos subgrupos de\(G\text{.}\)

Definición: Subgrupo Trivial, No Trivial, Propio e Inapropiado

Seamos\(G\) un grupo. Los subgrupos\(\{e_G\}\) y\(G\) de\(G\) se denominan el subgrupo trivial y el subgrupo impropio de\(G\text{,}\) respectivamente. No es sorprendente, si\(H\leq G\) y\(H\neq \{e_G\}\text{,}\)\(H\) se llama un subgrupo no trivial de\(G\text{,}\) y si\(H\leq G\) y\(H\neq G\text{,}\)\(H\) se llama un subgrupo apropiado de\(G\text{.}\)

Observación

A veces la notación\(H\lt G\) se usa para indicar que\(H\) es un subgrupo propio de\(G\text{,}\) pero a veces simplemente se usa para significar que\(H\) es un subgrupo —propio o inapropiado— de No\(G\text{.}\) usaremos la notación\(H\lt G\) en este texto.

Observe que en los casos anteriores, vimos que subconjuntos de grupos no podían ser subgrupos porque no estaban cerrados bajo las operaciones de los grupos; porque no contenían elementos de identidad; o porque no contenían una inversa para cada uno de sus elementos. Ninguno, sin embargo, falló porque la operación del grupo relevante no fue asociativa sobre ellos. Esto no es una coincidencia: más bien, ya que cualquier elemento de un subconjunto de un grupo\(G\) también vive en\(G\text{,}\) cualquier operación asociativa\(G\) es necesariamente asociativo en cualquier subconjunto cerrado de\(G\text{.}\) Por lo tanto, cuando estamos comprobando para ver si\(H\subseteq G\) es un subgrupo de grupo\(G\text{,}\) nosotros solo necesita verificar el cierre, un elemento de identidad e inversas.

Lema\(\PageIndex{1}\)

Seamos\(G\) un grupo.

Si\(H\) es un subgrupo de\(G\) entonces el elemento\(e_H\) de identidad de\(H\) es\(e_G\text{,}\) el elemento de identidad de\(G\text{.}\)
Si\(H\) es un subgrupo de\(G\) y\(a\in H\) tiene inverso\(a^{-1}\) en\(G\text{,}\) entonces\(a\)\(H\) es inverso en también\(a^{-1}\text{.}\)

Prueba

Para la Parte 1: Ya que\(e_H\) está en ambos\(H\) y\(G\), por la definición de\(e_H\)\(e_He_H=e_H\), tenemos, y por la definición de\(e_G\) tenemos\(e_Ge_H=e_H\). Entonces\(e_He_H=e_Ge_H\), y así por derecho de cancelación,\(e_H=e_G\).

A continuación, para la Parte 2, deja\(b\) ser la inversa de\(a\) in\(H\). Luego usando la Parte 1 de este lema y la definición de un inverso,\(ab=e_H=e_G=aa^{−1}\). Por cancelación izquierda, entonces, tenemos eso\(b=a^{−1}\).

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(H\subseteq G\text{.}\) Si el elemento de identidad de no\(G\) está en\(H\text{,}\) entonces\(H\not\leq G\text{.}\)