5.3: Ejercicios
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, dejaG ser un grupo con elemento de identidade.
- SiG es infinito y cíclico, entoncesG debe tener infinitamente muchos generadores.
- Puede haber dos elementos distintosa yb de un grupoG con⟨a⟩=⟨b⟩.
- Sia,b∈G ya∈⟨b⟩ entonces debemos tenerb∈⟨a⟩.
- Sia∈G cona4=e, entonceso(a) debe ser igual4.
- SiG es contable entoncesG debe ser cíclico.
2. Dar ejemplos de lo siguiente.
- Un grupo infinito no cíclicoG que contiene un subgrupo cíclico infinitoH.
- Un grupo infinito no cíclicoG que contiene un subgrupo cíclico finito no trivialH.
- Un grupo cíclicoG que contiene exactamente20 elementos.
- Un grupo cíclico no trivialG cuyos elementos son todos matrices.
- Un grupo no cíclicoG tal que cada subgrupo apropiado deG es cíclico.
3. Encuentra los órdenes de los siguientes elementos en los grupos dados.
- 2∈Z
- −i∈C∗
- −I2∈GL(2,R)
- −I2∈M2(R)
- (6,8)∈Z10×Z10
4. Para cada uno de los siguientes, si el grupo es cíclico, enumere todos sus generadores. Si el grupo no es cíclico, escriba NC.
- 5Z
- Z18
- R
- ⟨π⟩enR
- Z22
- ⟨8⟩enQ∗
5. Identificar explícitamente los elementos de los siguientes subgrupos de los grupos dados. Puede usar notación set-builder si el subgrupo es infinito, o un nombre convencional para el subgrupo si tenemos uno.
- ⟨3⟩enZ
- ⟨i⟩enC∗
- ⟨A⟩,paraA=[1000]∈M2(R)
- ⟨(2,3)⟩enZ4×Z5
- ⟨B⟩,paraB=[1101]∈GL(2,R)
6. Dibujar celosías de subgrupos para los siguientes grupos
- Z6
- Z13
- Z18
7. GSea un grupo sin subgrupos propios no triviales. Demostrar queG es cíclico.