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LibreTexts Español

5.3: Ejercicios

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, dejaG ser un grupo con elemento de identidade.

  1. SiG es infinito y cíclico, entoncesG debe tener infinitamente muchos generadores.
  2. Puede haber dos elementos distintosa yb de un grupoG cona=b.
  3. Sia,bG yab entonces debemos tenerba.
  4. SiaG cona4=e, entonceso(a) debe ser igual4.
  5. SiG es contable entoncesG debe ser cíclico.

2. Dar ejemplos de lo siguiente.

  1. Un grupo infinito no cíclicoG que contiene un subgrupo cíclico infinitoH.
  2. Un grupo infinito no cíclicoG que contiene un subgrupo cíclico finito no trivialH.
  3. Un grupo cíclicoG que contiene exactamente20 elementos.
  4. Un grupo cíclico no trivialG cuyos elementos son todos matrices.
  5. Un grupo no cíclicoG tal que cada subgrupo apropiado deG es cíclico.

3. Encuentra los órdenes de los siguientes elementos en los grupos dados.

  1. 2Z
  2. iC
  3. I2GL(2,R)
  4. I2M2(R)
  5. (6,8)Z10×Z10

4. Para cada uno de los siguientes, si el grupo es cíclico, enumere todos sus generadores. Si el grupo no es cíclico, escriba NC.

  1. 5Z
  2. Z18
  3. R
  4. πenR
  5. Z22
  6. 8enQ

5. Identificar explícitamente los elementos de los siguientes subgrupos de los grupos dados. Puede usar notación set-builder si el subgrupo es infinito, o un nombre convencional para el subgrupo si tenemos uno.

  1. 3enZ
  2. ienC
  3. A,paraA=[1000]M2(R)
  4. (2,3)enZ4×Z5
  5. B,paraB=[1101]GL(2,R)

6. Dibujar celosías de subgrupos para los siguientes grupos

  1. Z6
  2. Z13
  3. Z18

7. GSea un grupo sin subgrupos propios no triviales. Demostrar queG es cíclico.


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