5.3: Ejercicios

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja\(G\) ser un grupo con elemento de identidad\(e\text{.}\)

1. Si\(G\) es infinito y cíclico, entonces\(G\) debe tener infinitamente muchos generadores.
2. Puede haber dos elementos distintos\(a\) y\(b\) de un grupo\(G\) con\(\langle a\rangle =\langle b\rangle\text{.}\)
3. Si\(a,b\in G\) y\(a\in \langle b\rangle\) entonces debemos tener\(b\in \langle a\rangle\text{.}\)
4. Si\(a\in G\) con\(a^4=e\text{,}\) entonces\(o(a)\) debe ser igual\(4\text{.}\)
5. Si\(G\) es contable entonces\(G\) debe ser cíclico.

2. Dar ejemplos de lo siguiente.

1. Un grupo infinito no cíclico\(G\) que contiene un subgrupo cíclico infinito\(H\text{.}\)
2. Un grupo infinito no cíclico\(G\) que contiene un subgrupo cíclico finito no trivial\(H\text{.}\)
3. Un grupo cíclico\(G\) que contiene exactamente\(20\) elementos.
4. Un grupo cíclico no trivial\(G\) cuyos elementos son todos matrices.
5. Un grupo no cíclico\(G\) tal que cada subgrupo apropiado de\(G\) es cíclico.

3. Encuentra los órdenes de los siguientes elementos en los grupos dados.

1. \(2\in \mathbb{Z}\)
2. \(-i\in \mathbb{C}^*\)
3. \(-I_2\in GL(2,\mathbb{R})\)
4. \(-I_2\in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})\)
5. \((6,8)\in \mathbb{Z}_{10}\times \mathbb{Z}_{10}\)

4. Para cada uno de los siguientes, si el grupo es cíclico, enumere todos sus generadores. Si el grupo no es cíclico, escriba NC.

1. \(5\mathbb{Z}\)
2. \(\mathbb{Z}_{18}\)
3. \(\mathbb{R}\)
4. \(\langle \pi\rangle\)en\(\mathbb{R}\)
5. \(\mathbb{Z}_2^2\)
6. \(\langle 8\rangle\)en\(\mathbb{Q}^*\)

5. Identificar explícitamente los elementos de los siguientes subgrupos de los grupos dados. Puede usar notación set-builder si el subgrupo es infinito, o un nombre convencional para el subgrupo si tenemos uno.

1. \(\langle 3\rangle\)en\(\mathbb{Z}\)
2. \(\langle i\rangle\)en\(C^*\)
3. \(\langle A\rangle\text{,}\)para\(A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})\)
4. \(\langle (2,3)\rangle\)en\(\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_5\)
5. \(\langle B\rangle\text{,}\)para\(B=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right]\in GL(2,\mathbb{R})\)

6. Dibujar celosías de subgrupos para los siguientes grupos

1. \(\mathbb{Z}_{6}\)
2. \(\mathbb{Z}_{13}\)
3. \(\mathbb{Z}_{18}\)

7. \(G\)Sea un grupo sin subgrupos propios no triviales. Demostrar que\(G\) es cíclico.