9.3: Ejercicios

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

1. Dejar\(F\) ser el grupo de todas las funciones desde\([0,1]\) hasta\(\mathbb{R}\text{,}\) debajo de la adición puntual. Let

\ begin {ecuación*} N=\ {f\ in F: f (1/4) =0\}. \ end {ecuación*}

Demostrar que\(F/N\) es un grupo que es isomórfico\(\mathbb{R}\text{.}\)

2. Let\(N=\{1,-1\}\subseteq \mathbb{R}^*\text{.}\) Prove that \(\mathbb{R}^*/N\) is a group that's isomorphic to \(\mathbb{R}^+\text{.}\)

3. Let\(n\in \mathbb{Z}^+\) and let\(H=\{A\in GL(n,\mathbb{R})\,:\, \det A =\pm 1\}\text{.}\) Identificar un grupo familiar para nosotros que es isomórfico para\(GL(n,\mathbb{R})/H\text{.}\)

4. Dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos con respectivos subgrupos normales\(N\) y\(N'\text{.}\) Demostrar o desacreditar: Si\(G/N\simeq G'/N'\) entonces\(G\simeq G'\text{.}\)