9.2: El segundo y tercer teoremas del isomorfismo

Los siguientes teoremas se pueden probar utilizando el Teorema del Primer Isomorfismo. Son muy útiles en casos especiales.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Second Isomorphism Theorem

Dejar\(G\) ser un grupo, dejar\(H\leq G\text{,}\) y dejar\(N\unlhd G\text{.}\) Luego el conjunto

\ comenzar {ecuación*} HN=\ {hn:h\ en H, n\ en N\}\ final {ecuación*}

es un subgrupo de\(G\text{,}\) \(H\cap N\unlhd H\text{,}\) and

\ begin {ecuación*} H/ (H\ cap N)\ simeq HN/N.\ end {ecuación*}

Prueba

Primero probamos que\(HN\) es un subgrupo de\(G\). Ya que\(eG∈HN\),\(HN≠∅\). A continuación, vamos\(x=h_1n_1,y=h_2n_2∈HN\) (dónde\(h_1,h_2∈H\) y\(n_1,n_2∈N\)). Entonces

\(xy^{−1}=h_1n_1(h_2n_2)^{−1}=h_1n_1n^{−1}_2h^{−1}_2.\)

Desde\(N≤G\), \(n_1n_2^{−1}\) is in \(N\); so \(h_1n_1n^{−1}_2h^{−1}_2∈h_1Nh^{−1}_2\), which equals \(h_1h_2^{−1}N\), since \(N⊴G\) implies \(Nh^{−1}_2=h^{−1}_2N\). So \(xy^{−1}=∈h_1h_2^{−1}N\). But \(H≤G\) implies \(h_1h_2^{−1}∈H\); thus, \(xy^{−1}∈HN\), and so \(HN\) is a subgroup of \(G\).

Desde\(N⊴G\) y\(N⊆HN\),\(N\) es normal en\(HN\) (¿ves por qué?). Así\(HN/N\) es un grupo debajo de la multiplicación del coset izquierdo. Definimos\(ϕ:H→HN/N\) por\(ϕ(h)=hN\) (notar que cuando\(h∈H\),\(h∈HN\) desde\(h=he_G\)). Claramente,\(ϕ\) es un homomorfismo. Además,\(ϕ\) está en: Efectivamente, vamos\(y∈HN/N\). Entonces\(y=h_nN\) para algunos\(h∈H\) y\(n∈N\). Pero\(nN=N\), entonces\(y=hN=ϕ(h)\). Por último,

\(\begin{array} &\text{Ker}ϕ&=\{h∈H:ϕ(h)=N\}\\&=\{h∈H:hN=N\}\\&=\{h∈H:h∈N\}\\&=H∩N \end{array}\).

Por lo tanto,

\(H/(H∩N)≃HN/N\),

por el Primer Teorema del Isomorfismo.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Third Isomorphism Theorem

Dejar\(G\) ser un grupo, y dejar\(K\) y\(N\) ser subgrupos normales de\(G\text{,}\) con\(K\subseteq N\text{.}\) Entonces\(N/K \unlhd G/K\text{,}\) y

\ comenzar {ecuación*} (G/K)/(N/K)\ simeq G/N.\ final {ecuación*}

Prueba

Definir\(ϕ:G/K→G/N\) por\(ϕ(aK)=aN\). Tenemos que\(ϕ\) está bien definido: en efecto, vamos\(aK=bK∈G/K\). Entonces por Declaración 6 del Teorema\(7.2.3\), tenemos\(aN=bN\), es decir,\(ϕ(aK)=ϕ(bK)\). Así\(ϕ\) está bien definido. \(ϕ\)está claramente en, y tenemos

\(\begin{array} & \text{Ker}ϕ&=\{aK∈G/K:ϕ(aK)=N\}\\&=\{aK∈G/K:aN=N\}\\&=\{aK∈G/K:a∈N\}\\&=N/K. \end{array}\)

Así se mantienen los resultados deseados, por el Teorema del Primer Isomorfismo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Usando el Teorema del Tercer Isomorfismo, vemos que el grupo

\ begin {ecuación*} (\ mathbb {Z} /12\ mathbb {Z})/(6\ mathbb {Z} /12\ mathbb {Z})\ end {ecuación*}

es isomórfico al grupo\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\text{,}\) or \(\mathbb{Z}_6\text{.}\)