9: El teorema del isomorfismo
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Recordemos que nuestro objetivo aquí es utilizar un subgrupo de un grupoG para estudiar no solo la estructura del subgrupo, sino la estructura deG fuera de ese subgrupo (el objetivo final es tener una idea de la estructura deG como un todo). Además, hemos visto que si elegimosN ser un subgrupo normal deG, podemos hacerlo estudiando tanto comoN el grupo factorialG/N. Ahora bien, hemos notado que en algunos casos —en particular, cuandoG es cíclico— no es demasiado difícil identificar la estructura de un grupo factorial deG. Pero ¿qué pasa con cuándoG yN son más complicados? Por ejemplo, hemos visto queSL(5,R) es un subgrupo normal deGL(5,R). ¿Cuál es la estructura deGL(5,R)/SL(5,R)? Eso no es tan fácil de entender mirando directamente a la multiplicación del coset izquierdo en el grupo factorial.
- 9.1: El primer teorema del isomorfismo
- Un teorema muy poderoso, llamado el Primer Teorema del Isomorfismo, nos permite en muchos casos identificar grupos factoriales (hasta isomorfismo) de una manera muy resbaladiza. Los granos jugarán un papel sumamente importante en esto. Por lo tanto, primero proporcionamos algunos teoremas relacionados con los granos.
- 9.2: El segundo y tercer teoremas del isomorfismo
- Los siguientes teoremas se pueden probar utilizando el Teorema del Primer Isomorfismo. Son muy útiles en casos especiales.
- 9.3: Ejercicios
- Esta página contiene los ejercicios para el Capítulo 9.