1.1: Inducción y Ordenación de Pozos
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En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:
- ¿Cuál es el Principio de Ordenación del Bien?
- Qué es la inducción matemática y cómo podemos usarla para probar afirmaciones sobre\(\mathbb{N}\)
En esta sección asumiremos las propiedades algebraicas/aritméticas básicas de los enteros como cierre bajo suma, resta y multiplicación, la mayoría de las cuales formalizaremos vía axiomas en secciones posteriores. Axioma 1.1.1 : Principio de Ordenamiento Bien formaliza la noción familiar de que los subconjuntos no vacíos de los enteros positivos tienen un elemento más pequeño, que se utilizará repetidamente a lo largo del texto. Luego exploramos una idea estrechamente relacionada, la inducción matemática, a través de un ejemplo y ejercicios.
La colección de números naturales se denota por\(\mathbb{N}\), y es el conjunto,
\(\mathbb{N}=\{ 1 \text{,}2\text{,}3\text{,} \ldots \}\).
Por\(\mathbb{N}_0\) nos referimos al conjunto\(\mathbb{N} \cup {0}=\{ 0\text{,}1 \text{,}2\text{,}3\text{,} \ldots\}\).
En cierto sentido, las propiedades fundamentales de\(\mathbb{N}\) son (a) hay un número natural más pequeño, y (b) siempre hay un siguiente número naturalDe hecho, se puede construir un modelo de\(\mathbb{N}\) con teoría de conjuntos y los axiomas de Peano, que utilizan la noción de sucesor —el siguiente número natural.). Una consecuencia de los postulados de Peano es el principio bien ordenado, que declaramos como axioma.
Cada subconjunto no vacío de\(\mathbb{N}_0\) contiene un elemento mínimo (más pequeño) bajo el orden habitual,\(\leq\).
- Nota
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Nuestra elección de palabras es sugerente. De hecho, existen otros ordenamientos, y si bien el conjunto de números reales no\(\mathbb{N}\) egativos RR no satisface el principio de ordenamiento bien bajo el ordenamiento habitual\(\leq\), el Axioma de Ordenamiento de Pozos afirma que existe un orden de pozo en cualquier conjunto, incluido R.R. Aceptar este axioma equivale a aceptar el axioma de elección.
El Principio de Ordenación de Bien es útil para producir elementos más pequeños de subconjuntos no vacíos definidos para tener ciertas propiedades, como demuestra el siguiente ejemplo.
En esta exploración investigamos polinomios con coeficientes reales, así como sus grados. Vamos a definir estos términos de manera más formal en Definición: Polinomio, pero por ahora puedes usar tu intuición de cursos anteriores en álgebra.
Dejar\(S\) ser el conjunto de todos los polinomios\(f\) en la variable\(x\) con coeficientes reales tales que\(f(2)=f(−2)=0\) y\(f(0)=−4\).
- Dé un ejemplo de un\(f\in S\) y\(g\notin S\).
- Dejar\(D=\{deg\; f : \; f\in S\}\) ser el conjunto de posibles grados de polinomios en\(S\). Demuestre eso\(D\neq \varnothing\) y\(D\subseteq \mathbb{N}_0\).
- Aplicar el Principio de Ordenamiento del Bien para argumentar que\(D\) tiene un elemento mínimo. ¿A qué corresponde esto en\(S\)?
Vamos a utilizar este principio a lo largo del texto, siguiente en el Teorema 1.2 .4.
El conjunto de enteros consiste en los números naturales positivos y negativos, junto con cero, y se denota por\(\mathbb{Z}\):
\(\mathbb{Z}=\{ \ldots \; ,−3\; ,−2\; ,−1\; ,0\; ,1\; ,2\; ,3\; , \ldots \}\).
\(P(m)\)Déjese hacer una declaración sobre el número natural\(m\) . \(k_0\in \ N\)Sea tal que la afirmación\(P(k_0)\) sea verdadera (el caso base), y supongamos que hay\(n\geq k_0\) tal que para todos\(k\) satisfactorios\(k_0 \leq k \leq n\),\(P(k)\) es verdadera (la hipótesis inductiva). Entonces\(P(n+1)\) es cierto, y así\(P(m)\) es cierto para todos\(m\geq k_0\) (el paso inductivo).
- Nota
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Las declaraciones de muestra podrían incluir “\(m\)es realmente interesante” o “\(3m^2+m+2\)es par”.
La inducción matemática es como subir una escalera infinita. El caso base nos dice que podemos dar un primer paso en la escalera (\(k_0\)). En la hipótesis inductiva, asumimos que podemos dar todos los escalones hasta una cierta altura (\(\mathbb{N}\)). En el paso inductivo, demostramos que esto nos permite dar el\((n+1)\) st paso.
Así, si podemos dar paso\(k_0\), podemos (por el paso inductivo) dar paso\(k_0+1\). Y como podemos dar paso\(k_0+1\), podemos (de nuevo por el paso inductivo) dar paso.\(k_0+2\) Y así sucesivamente, para siempre (o, si la noción de infinito real te hace sentir incómodo, hasta donde queremos llegar).
Para todos\(n\geq 1\),
\(1+2+3+\ldots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).
Comprobante. Caso base: Cuando\(n=1\), la ecuación\(1=\dfrac{1\cdot (1+1)}{2}\) es verdadera.
Solución
Hipótesis inductiva: Supongamos que existe\(n\) tal que siempre que\(k \leq n\), la ecuación
\[1+2+3+\ldots +k=\dfrac{k(k+1)}{2} \label{\PageIndex{1}}\]
es verdad.
Paso Inductivo: Nuestro objetivo es demostrar que eso\(P(n+1)\) es cierto. Es decir, deseamos establecer que
\[1+2+3+\ldots +n+(n+1)=\dfrac{(n+1)((n+1)+1)}{2}\label{\PageIndex{2}}\]
Comenzamos en el lado izquierdo de\( \ref{\PageIndex{1}}\) donde podemos aplicar la hipótesis inductiva para ver que
\[1+2+3+\ldots +n+(n+1)=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]+(n+1).\label{\PageIndex{3}}\]
A través del uso de álgebra directa, el lado derecho se convierte
\[\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}. \label{\PageIndex{4}}\]
Armando\(\ref{\PageIndex{3}}\) y\(\ref{\PageIndex{4}}\) juntos, obtenemos
\(1+2+3+\ldots +n+(n+1)=\dfrac{(n+1)((n+1)+1)}{2},\)
que es exactamente el objetivo en el que nos declaramos\(\ref{\PageIndex{2}}\).
Concluimos con oportunidades para practicar la inducción.
Para todos\(k\geq 1\),\(k\geq 1\),\(3^k>k\).
Demostrar que la suma de los primeros\(\mathbb{N}\) cubos es\(\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\). Es decir,
\(1^3+2^3+3^3+\ldots +n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\).
(Desigualdad de Bernoulli). Dado un número real\(b>−1\),\(b>−1\),\((1+b)^n\geq 1+bn\) para todos\(n\in \mathbb{N}_0\).