2.5: Acciones de Grupo

Definición 2.5.1. Acción de grupo, órbita, estabilizador.

Seamos\(G\) un grupo y dejemos\(X\) ser un conjunto. Una acción del grupo\(G\) en el set\(X\) es un homomorfismo grupal

\ [
\ phi\ colon G\ a Perm (X).
\ nonumber\]

Decimos que el grupo\(G\) actúa en el set\(X\text{,}\) y llamamos\(X\) un\(G\) -espacio. Para\(g\in G\) y\(x\in X\text{,}\) escribimos\(gx\) para denotar\((\phi(g))(x)\text{.}\) ¹ Escribimos\(Orb(x)\) para denotar el conjunto

\ [
Orbe (x) =\ {gx\ colon g\ en G\},
\ nonúmero\]

llamado la órbita de\(x\text{,}\) y escribimos\(Stab(x)\) para denotar el conjunto

\ [
Puñalada (x) =\ {g\ en G\ colon gx=x\},
\ nonúmero\]

llamado el estabilizador o isotropía subgrupo ² de\(x\text{.}\) Un grupo de acción es transitiva si sólo hay una órbita. Una acción grupal es fiel si el mapa\(G\to Perm(X)\) tiene un núcleo trivial.

Punto de control 2.5.2.

Encuentra las órbitas y estabilizadores indicados para cada una de las siguientes acciones grupales.

1. \(D_4\)actúa sobre el cuadrado\(X=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon -1\leq x,y\leq 1\}\) por rotaciones y reflexiones. Cuál es la órbita de\((1,1)\text{?}\) Cuál es la órbita de\((1,0)\text{?}\) Cuál es el estabilizador de\((1,1)\text{?}\) Cuál es el estabilizador de\((1,0)\text{?}\)

2. El grupo circular\(S^1\) (ver Subsección 2.1.3) actúa sobre las dos esferas\(S^2\) por rotación alrededor del\(z\) eje. Dado un elemento\(e^{i\alpha}\) en\(S^1\) un punto\((\theta,\phi)\) en\(S^2\) (en coordenadas esféricas), la acción viene dada por

\ [
e^ {i\ alfa}\ cdot (\ theta,\ phi) =(\ theta,\ phi+\ alpha).
\ nonumber\]

¿Cuál es la órbita de\((\pi/4,\pi/6)\text{?}\) Cuál es la órbita del polo norte\((0,0)\text{?}\) Cuál es el estabilizador de\((\pi/4,\pi/6)\text{?}\) ¿Cuál es el estabilizador del polo norte?

3. Cualquier grupo\(G\) actúa sobre sí mismo por conjugación, es decir, por\((\phi(g))(x)=gxg^{-1}=C_g(x)\) (ver Ejercicio 2.4.2.9). Describir la órbita y el estabilizador de un elemento de grupo\(x\text{.}\)

Contestar

1. \(Orb((1,1))=\{(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)\}\text{,}\)\(Orb((1,0))=\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}\text{,}\)\(Stab((1,1))= \{R_0,F_{D'}\}\text{,}\)\(Stab((1,0))=\{R_0,F_H\}\)

2. \(Orb(\pi/4,\pi/6)\)es el círculo horizontal encendido\(S^2\) con “latitud”\(\pi/4\text{,}\)\(Orb(0,0)=\{(0,0)\}\text{,}\)\(Stab(\pi/4,\pi/6)=\{1\}\text{,}\)\(Stab{(0,0)}=S^1\)

3. \(Orb(x)=\{gxg^{-1}\colon g\in G\}\text{,}\)\(Stab(x)=C(x)\)(el centralizador de\(x\))

Punto de control 2.5.3.

Mostrar que el estabilizador de un elemento\(x\) en un\(G\) -espacio\(X\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)

Proposición 2.5.4: Las órbitas de una acción de grupo forman una partición

Let group\(G\) act on set\(X\text{.}\) La colección de órbitas es una partición de\(X\text{.}\) La relación de equivalencia correspondiente\(\sim_G\) on\(X\) viene dada por\(x\sim_G y\) si y solo si\(y=gx\) para algunos\(g\in G\text{.}\) Escribimos\(X/G\) para denotar el conjunto de órbitas, que es lo mismo que el conjunto\(X/\!\!\sim_G\) de clases de equivalencia.

\ [
X/G=\ {Orbe (x)\ dos puntos x\ en X\}
\ nonúmero\]

Punto de control 2.5.5.

Describa\(X/G\) para cada una de las tres acciones grupales en Checkpoint 2.5.2.

Teorema 2.5.6: El Teorema del Estabilizador de Órbita

\(G\)Sea un grupo que actúe en un set\(X\text{,}\) y deje que x sea un elemento de\(X\text{.}\) Hay una correspondencia uno a uno

\ [
G/puñalada (x)\ orbe de la fila izquierda (x)
\ nonumber\]

dado por

\ [
GsTab (x)\ izquierdaTrightarrow gx.
\ nonumber\]

Prueba.

Ver Ejercicio 2.5.3.5.

Ejercicios

Ejercicio 1: Acciones de un grupo sobre sí mismo

Seamos\(G\) un grupo. Aquí hay dos acciones\(G\to Perm(G)\) de G sobre sí mismo. La multiplicación izquierda viene dada por

\ [
g\ a L_g
\ nonumber\]

donde\(L_g\) está dado por\(L_g(h)=gh\text{.}\) la multiplicación inversa derecha viene dada por

\ [
g\ a R_g
\ nonumber\]

donde\(R_g\) se da por La\(R_g(h)=hg^{-1}\text{.}\) conjugación viene dada por

\ [
g\ a C_g
\ nonumber\]

donde\(C_g\) es dado por\(C_g(h)=ghg^{-1}\text{.}\)

1. Mostrar que, para\(g\in G\text{,}\) los mapas\(L_g,R_g,C_g\) son elementos de\(Perm(G)\text{.}\)
2. Demuestre que cada uno de estos mapas\(L,R,C\) es efectivamente una acción grupal.
3. Demostrar que el mapa\(L\) es inyectivo, de manera que\(G\approx L(G)\text{.}\)

Consecuencia de este ejercicio: Cada grupo es isomórfico a un subgrupo de un grupo de permutación.

Ejercicio 2: Cosets, revisitados

Dejar\(H\) ser un subgrupo de un grupo\(G\text{,}\) y considerar el mapa

\ [
R\ colon H\ a Perm (G)
\ nonumber\]

dado por\(h\to R_h\text{,}\) donde\(R_h(g)=gh^{-1}\) (esta es la restricción de la acción de multiplicación inversa derecha en el Ejercicio 2.5.3.1 a\(H\)). Mostrar que las órbitas de esta acción de\(H\) on\(G\) son las mismas que las cosets de\(H\text{.}\) Esto demuestra que los dos significados potencialmente diferentes de\(G/H\) (uno es el conjunto de cosets, el otro es el conjunto de órbitas de la acción de\(H\) on\(G\) via\(R\)), están de hecho en acuerdo.

Ejercicio 3: La acción natural de un grupo de matrices sobre un espacio vectorial

Dejar\(G\) ser un grupo cuyos elementos son\(n\times n\) matrices con entradas en un campo\(\mathbb{F}\) y con la operación grupal de multiplicación matricial. La acción natural\(G\to Perm(X)\) de\(G\) G en el espacio vectorial\(X=\mathbb{F}^n\) viene dada por

\ [
g\ a [v\ a g\ cdot v],
\ nonumber\]

donde el “punto” en la expresión\(g\cdot v\) es la multiplicación ordinaria de una matriz por un vector de columna. Demostrar que ésta es efectivamente una acción de grupo.

Ejercicio 4

Demostrar Proposición 2.5.4.

Ejercicio 5

Demostrar Teorema 2.5.6.

Ejercicio 6: La acción de grupo lineal proyectivo sobre el espacio proyectivo

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre un campo\(\mathbb{F}\) (en este curso, el campo base\(\mathbb{F}\) es o bien los números reales\(\mathbb{R}\) o los números complejos\(\mathbb{C}\)). El grupo\(\mathbb{F}^\ast\) de elementos distintos de cero en\(\mathbb{F}\) actúa sobre el conjunto\(V\setminus \!\{0\}\) de elementos distintos de cero en\(V\) por multiplicación escalar, es decir, por el mapa\(\alpha \to [v\to \alpha v]\text{.}\) El conjunto de órbitas\((V\setminus\!\{0\})/\mathbb{F}^\ast\) se llama la proyectivización de\(V\text{,}\) o simplemente espacio proyectivo, y se denota\(\mathbb{P}(V).\)

1. Dejar\(\sim_{\text{proj}}\) denotar la relación de equivalencia que define las órbitas\((V\setminus \!\{0\})/\mathbb{F}^\ast\text{.}\) Verificar que\(\sim_{\text{proj}}\) se da por\(x\sim_{\text{proj}} y\) si y solo si\(x=\alpha y\) para algunos\(\alpha\in\mathbb{F}^\ast\text{.}\)
2. Verificar que el grupo\(GL(V)\) (el grupo de transformaciones lineales invertibles de\(V\))\(\mathbb{P}(V)\) actúa sobre

   \ [
   g\ cdot [{v}] = [g ({v})]\ label {glnprojaction}\ tag {2.5.1}
   \]

   para\(g\in GL(V)\) y\({v}\in V\setminus\!\{0\}\text{.}\)
3. Mostrar que el núcleo del mapa\(GL(V)\to Perm(\mathbb{P}(V))\) dado por (2.5.1) es el subgrupo\(K=\{\alpha Id\colon \alpha\in \mathbb{F}^\ast\}\text{.}\)
4. Concluir que el grupo lineal proyectivo\(PGL(V):=GL(V)/K\) actúa sobre\(\mathbb{P}(V).\)
5. Demostrar que\(\mathbb{F}^\ast\) actúa\(GL(V)\) por\(\alpha\cdot T=\alpha T\text{,}\) y que\(PGL(V)\approx GL(V)/\mathbb{F}^\ast\text{.}\)
6. Mostrar que el mapa\(\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)\to S^2\) dado por\([(\alpha,\beta)]\to s^{-1}(\alpha/\beta)\) if\(\beta\neq 0\) y dado por\([(\alpha,\beta)]\to (0,0,1)\) if\(\beta=0\) está bien definido y es una biyección.