1.1: Simetría
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Los grupos surgen en la naturaleza siempre que podemos encontrar simetría. Por ejemplo, el cuerpo humano tiene una simetría lateral: si imaginas invertir la izquierda y la derecha, la mayoría de la gente se vería más o menos igual. (De hecho, vemos un ejemplo de esto cada vez que nos miramos en un espejo).
Figura 1: El famoso boceto de Da Vinci demuestra la simetría lateral en el cuerpo humano. (Fuente)
Otro ejemplo está en la formación de cristales. En un cristal, la estructura atómica se arregla en un patrón muy simétrico, que se puede ver incluso a simple vista. La simetría de la estructura atómica significa que los átomos se empaquetan con mucha regularidad, lo que lleva a las bonitas formas que vemos. A finales de 1800, los matemáticos utilizaron la teoría de grupos para clasificar todas las formas de cristales que alguna vez podrían existir en el mundo.
Figura 2: Cristal de pirita hermanada. (Fuente)
Los patrones de embaldosado —imágenes bidimensionales que se repiten de manera regular— también son un ejemplo de simetría. Muchas culturas han explorado la simetría a través de patrones de embaldosado, aunque el estudio del alicatado fue especialmente refinado en las culturas islámicas durante la Edad Media. Las prohibiciones en la representación de formas humanas llevaron a los artistas islámicos a exploraciones muy profundas de diseños abstractos, con un fuerte énfasis en el alicatado. La teoría de grupos también puede clasificar todos los posibles patrones regulares de alicatado, también conocidos como teselaciones, lo que nos permite verificar que todos los posibles patrones de alicatado fueron realmente descubiertos por artistas islámicos! Hay muchos, muchos patrones de embaldosado interesantes por ahí: aquí hay un lugar para comenzar a leer sobre ellos si te interesa.
Figura 3: ¡Los patrones de embaldosado exhiben simetrías interesantes! (Fuente)
Un ejemplo muy profundo de simetría se da en nuestros supuestos más fundamentales en la física. Un principio básico establece que lo que importa en un sistema físico es la relación entre todos los objetos, no su posición absoluta. Este principio nos permite decir que la física que descubrimos en la Tierra debería funcionar igual en Marte. (En lo que va de la historia del mundo, ha sido una suposición muy útil.) Entonces, si mueve todo el sistema en cualquier dirección (o lo gira o lo refleja), el sistema no se 'notará'. Esta invarianza es también una especie de simetría. Ya que puedes mover un sistema físico por cualquier cantidad sin cambiarlo, ¡el sistema físico tiene un número infinito de simetrías!
Entonces, ¿qué es un grupo? ¿Cómo podemos crear matemáticas para abarcar el estudio de la simetría? Esto es lo que vamos a explorar en este capítulo.