2.2: Definición de grupo

Considera un objeto\(X\) con algunas simetrías\(S\). Hemos visto que podemos componer cualquiera de las simetrías en\(S\) y obtener otra simetría de\(X\). También hemos visto que estas simetrías obedecen ciertas reglas. Ahora podemos, por fin, definir un grupo.

Definición 2.1.0: Grupo

Un grupo es un conjunto\(S\) con una operación\(\circ: S\times S\rightarrow S\) que satisface las siguientes propiedades:

1. Identidad: Existe un elemento\(e\in S\) tal que para cualquiera que\(f\in S\) tengamos\(e\circ f = f\circ e = f\).
2. Inversa: Para cualquier elemento\(f\in S\) existe\(g\in S\) tal que\(f\circ =e\).
3. Asociatividad: Para cualquiera\(f,g,h \in S\), tenemos\((f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)\).

Una noción esencial en las matemáticas es la abstracción. Tenga en cuenta que nuestra definición ciertamente se aplica a cualquier colección\(S\) de simetrías de un objeto, pero de hecho hay otros contextos donde las definiciones también se aplican! La operación puede ser cualquier forma de combinar dos cosas\(S\) y recuperar otra;\(S\) no necesita ser una colección de funciones, y la operación no necesita ser composición. ¡Un grupo se define puramente por las reglas que sigue! Este es nuestro primer ejemplo de una estructura algebraica; todos los demás que nos encontremos seguirán una plantilla similar: Un conjunto con algunas operaciones que siguen algunas reglas particulares.

Por ejemplo, considere los enteros\(\mathbb{Z}\) con la operación de suma. Para verificar que los enteros forman un grupo, necesitamos verificar cuatro cosas:

1. La suma toma dos enteros y devuelve otro entero. (Aquí estamos comprobando el requisito de que la operación sea una de\(S\times S\rightarrow S\). ¡Observe que la salida de la operación siempre está adentro\(S\)! Esto se llama cierre de la operación.)
2. Hay un elemento de identidad\(0\), donde para cualquier entero\(n\), tenemos\(n+0=0+n=n\).
3. Cada entero\(n\) tiene una inversa,\(-n\), con\(n+(-n)=(-n)+n=0\).
4. La suma de enteros es asociativa.

Así, los enteros -con la operación de suma- forman un grupo.

Por otro lado, el conjunto de enteros con la operación de multiplicación no forman un grupo. De hecho, la multiplicación toma dos enteros y devuelve otro entero, y hay una identidad\(1\), y la multiplicación es asociativa. Pero no todos los elementos tienen una inversa que también es un entero. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de\(2\) es\(\frac{1}{2}\), ¡pero esto no es un entero! Así, los enteros con multiplicación no forman un grupo.

Una nota importante sobre las inversas: Una inversa significa, aproximadamente, que podemos volver a donde empezamos después de aplicar una operación. Álgebraicamente, esto significa que podemos cancelar elementos. Cuando tenemos algo como\(gh=gk\), we can multiply both sides on the left by \(g^{-1}\) to get \(h=k\). We have to be careful to multiply on the same side on both sides, since groups aren't always commutative! If \(gh=kg\), it doesn't necessarily tell us that \(h=k\)!

de\(X\).)

Mostrar que las simetrías de un triángulo equilátero no son conmutativas. En otras palabras, encontrar dos simetrías\(f, g\) of the equilateral triangle such that \(fg\neq gf\).

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