5.3: Subgrupos normales
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Hemos visto un ejemplo donde los coconjuntos izquierdo y derecho de un subgrupo eran diferentes y algunos ejemplos donde coincidieron. En este último caso, el subgrupo tiene un nombre especial.
Seamos\(G\) un grupo y vamos\(H\leq G\). Si\(aH=Ha\) para todos\(a\in G\), entonces decimos que\(H\) es un subgrupo normal. Si\(H\) es un subgrupo normal de\(G\), entonces escribimos\(H\trianglelefteq G\).
Proporcionar un ejemplo de grupo que tiene un subgrupo que no es normal.
Hay algunos casos en los que podemos garantizar que un subgrupo será normal.
Supongamos que\(G\) es un grupo. Entonces\(\{e\}\trianglelefteq G\) y\(G\trianglelefteq G\).
Si\(G\) es un grupo abeliano, entonces todos los subgrupos de\(G\) son normales.
Un grupo no tiene que ser abeliano para que todos los subgrupos adecuados sean normales.
Argumentan que todos los subgrupos propios de\(Q_8\) son normales en\(Q_8\).
Supongamos que\(G\) es un grupo y dejar que\(H\leq G\) tal eso\([G:H]=2\). Entonces\(H\trianglelefteq G\).
Resulta que la normalidad no es transitiva.
Considerar\(\langle s\rangle=\{e,s\}\) y\(\langle r^2,sr^2\rangle =\{e,r^2,sr^2,s\}\). Es claro que\[\langle s\rangle\leq \langle r^2,sr^2\rangle\leq D_4.\] Mostrar eso\(\langle s\rangle\trianglelefteq \langle r^2,sr^2\rangle\) y\(\langle r^2,sr^2\rangle\trianglelefteq D_4\), pero\(\langle s\rangle\not\trianglelefteq D_4\).
El problema anterior ilustra que eso\(H\trianglelefteq K \trianglelefteq G\) no implica\(H\trianglelefteq G\).
Supongamos que\(G\) es un grupo y vamos\(H\leq G\). Para\(g\in G\), definimos el conjugado de\(H\) by\(g\) para ser el conjunto\[gHg^{-1}:=\{ghg^{-1}\mid h\in H\}.\]
Supongamos que\(G\) es un grupo y vamos\(H\leq G\). Entonces\(H\trianglelefteq G\) si y sólo si\(gHg^{-1}\subseteq H\) por todos\(g\in G\).
Otra forma de pensar sobre los subgrupos normales es que están “cerrados bajo conjugación”. No es demasiado difícil demostrar que si\(gHg^{-1}\subseteq H\) por todos\(g\in G\), entonces en realidad tenemos\(gHg^{-1}=H\) para todos\(g\in G\). Esto implica que\(H\trianglelefteq G\) si y sólo si\(gHg^{-1}=H\) por todos\(g\in G\). Esta versión aparentemente más fuerte del Teorema\(\PageIndex{4}\) se utiliza a veces como la definición de subgrupo normal. Esta discusión motiva la siguiente definición.
Seamos\(G\) un grupo y vamos\(H\leq G\). El normalizador de\(H\) in\(G\) se define a través de\[N_G(H):=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}.\]
Si\(G\) es un grupo y\(H\leq G\), entonces\(N_G(H)\) es un subgrupo de\(G\).
Si\(G\) es un grupo y\(H\leq G\), entonces\(H\trianglelefteq N_G(H)\). Además,\(N_G(H)\) es el subgrupo más grande\(G\) del que\(H\) es normal.
Vale la pena señalar que el “más pequeño”\(N_G(H)\) puede ser es en\(H\) sí mismo, sin duda un subgrupo es un subgrupo normal de sí mismo. También, el “más grande” que\(N_G(H)\) puede ser es\(G\), lo que sucede precisamente cuando\(H\) es normal en\(G\).
Encontrar\(N_{D_4}(V_4)\).
Encontrar\(N_{D_3}(\langle s\rangle)\).
Concluimos este capítulo con algunas observaciones. Hemos visto ejemplos de grupos que tienen subgrupos que son normales y subgrupos que no son normales. En un grupo abeliano, todos los subgrupos son normales. Resulta que hay ejemplos de grupos que no tienen subgrupos normales. A estos grupos se les llama grupos simples. El grupo simple más pequeño es\(A_5\), que tiene 60 elementos y muchos subgrupos no triviales propios, ninguno de los cuales es normal.
La clasificación de los grupos simples finitos es un teorema que establece que cada grupo simple finito pertenece a una de cuatro categorías:
- Un grupo cíclico con orden primario;
- Un grupo alterno de grado al menos 5;
- Un grupo simple de tipo Lie, incluyendo ambos
- los grupos clásicos de Lie, es decir, los grupos simples relacionados con las transformaciones proyectivas especiales lineales, unitarias, simplécticas u ortogonales sobre un campo finito;
- los grupos excepcionales y retorcidos del tipo Lie (incluido el grupo Tits);
- Los 26 grupos simples esporádicos.
Estos grupos pueden verse como los bloques básicos de construcción de todos los grupos finitos, de una manera que recuerda a la forma en que los números primos son los bloques básicos de construcción de los números naturales.
El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos simples finitos. Gracias al teorema de clasificación, tales preguntas a veces pueden ser respondidas comprobando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico. La prueba del teorema consiste en decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por alrededor de 100 autores, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004.
La clasificación de los grupos finitos simples es un logro moderno en álgebra abstracta y te animo mucho a que vayas a conocer más al respecto. Quizás te interese especialmente conocer uno de los grupos esporádicos llamados el Grupo Monstruo.