23.1: Revisar las propiedades de las matrices invertibles

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)
urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

\(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Las siguientes declaraciones son equivalentes.

• Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)
• \(|A| \neq 0\)
• \(A\)es invertible.
• \(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))
• El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.
• \(rank(A) = n\)

Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base para\(R^3\):

\[B = \{(2,1, 3), (-1,6, 0), (3, 4, -10) \} \nonumber \]

Recuerde que para que estos dos vectores sean una base necesitan obtener las siguientes dos propiedades:

1. Deben abarcarse\(R^3\).
2. Deben ser linealmente independientes.

Usando las declaraciones anteriores podemos demostrar que esto es cierto de múltiples maneras.

Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)

Hacer esto

Defina una matriz numpy A que consiste en los vectores\(B\) como columnas:

#Put your answer to the above question here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'94827a40ec59c7d767afe6841e1723ce');

\(|A| \neq 0\)

Hacer esto

Las primeras en las propiedades anteriores nos dicen que si los vectores en\(B\) son verdaderamente una base de\(R^3\) entonces\(|A|=0\). Calcular el determinante de\(A\) y almacenar el valor en det.

#Put your answer to the above question here

#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(det,0):
    print("Since the Determinate is zero the column vectors do NOT form a Basis")
else:
    print("Since the Determinate is non-zero then the column vectors form a Basis.")

\(A\)es invertible.

Hacer esto

Dado que el determinante es distinto de cero sabemos que hay una inversa a A. Usa python para calcular esa inversa y almacenarla en una matriz llamada a_inv

#put your answer to the above question here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A_inv,'001aaddd4824f42ad9d2ccde21cf9d24');

\(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))

Hacer esto

De acuerdo con la propiedad por encima de la forma escalón de fila reducida de una matriz invertible es la matriz Identiy. Verifique usando la biblioteca python sympy y almacene la matriz de escalones de filas reducidas en una variable llamada rref si realmente necesita verificarla.

#put your answer to the above question here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(rref,'cde432847c1c4b6d17cd7bfacc457ed1');

El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.

Supongamos algún vector arbitrario\(b \in R^n\). De acuerdo con las propiedades anteriores solo debe tener una solución.

Hacer esto

Encuentra la solución para\(Ax=b\) para el vector\(b=(−10,200,3)\). Almacenar la solución en una variable llamada x

from answercheck import checkanswer

checkanswer.vector(x,'161cfd16545b1b5fb13e35d2800f13df');

\(rank(A) = n\)

La propiedad final dice que el rango debe ser igual a la dimensión de\(R^n\). En nuestro ejemplo\(n=3\). Encuentra una función python para calcular el rango de\(A\). Almacene el valor en una variable llamada rank para verificar su respuesta.

#Put your answer to the above quesion here

#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(rank,3):
    print("Rank is 3")
else:
    print("Rank is not 3. Did we do something wrong?")

Pregunta (específica de la asignación)

Sin hacer ningún cálculo (es decir, solo usando las propiedades anteriores), ¿cuántas soluciones hay para\(Ax=0\)? ¿Cuál es (son) la (s) solución (es)?