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LibreTexts Español

23.1: Revisar las propiedades de las matrices invertibles

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

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%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)
urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');
%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)
urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

ADéjese ser unan×n matriz. Las siguientes declaraciones son equivalentes.

  • Los vectores de columnaA forman una base paraRn
  • |A|0
  • Aes invertible.
  • Aes fila equivalente aIn (es decir, su forma de escalón de fila reducida esIn)
  • El sistema de ecuacionesAx=b tiene una solución única.
  • rank(A)=n

Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base paraR3:

B={(2,1,3),(1,6,0),(3,4,10)}

Recuerde que para que estos dos vectores sean una base necesitan obtener las siguientes dos propiedades:

  1. Deben abarcarseR3.
  2. Deben ser linealmente independientes.

Usando las declaraciones anteriores podemos demostrar que esto es cierto de múltiples maneras.

Los vectores de columnaA forman una base paraRn

Hacer esto

Defina una matriz numpy A que consiste en los vectoresB como columnas:

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#Put your answer to the above question here
#Put your answer to the above question here

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from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'94827a40ec59c7d767afe6841e1723ce');
from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'94827a40ec59c7d767afe6841e1723ce');

|A|0

Hacer esto

Las primeras en las propiedades anteriores nos dicen que si los vectores enB son verdaderamente una base deR3 entonces|A|=0. Calcular el determinante deA y almacenar el valor en det.

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#Put your answer to the above question here
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#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(det,0):
    print("Since the Determinate is zero the column vectors do NOT form a Basis")
else:
    print("Since the Determinate is non-zero then the column vectors form a Basis.")
#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(det,0):
    print("Since the Determinate is zero the column vectors do NOT form a Basis")
else:
    print("Since the Determinate is non-zero then the column vectors form a Basis.")

Aes invertible.

Hacer esto

Dado que el determinante es distinto de cero sabemos que hay una inversa a A. Usa python para calcular esa inversa y almacenarla en una matriz llamada a_inv

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#put your answer to the above question here
#put your answer to the above question here

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from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A_inv,'001aaddd4824f42ad9d2ccde21cf9d24');
from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A_inv,'001aaddd4824f42ad9d2ccde21cf9d24');

Aes fila equivalente aIn (es decir, su forma de escalón de fila reducida esIn)

Hacer esto

De acuerdo con la propiedad por encima de la forma escalón de fila reducida de una matriz invertible es la matriz Identiy. Verifique usando la biblioteca python sympy y almacene la matriz de escalones de filas reducidas en una variable llamada rref si realmente necesita verificarla.

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#put your answer to the above question here
#put your answer to the above question here

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from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(rref,'cde432847c1c4b6d17cd7bfacc457ed1');
from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(rref,'cde432847c1c4b6d17cd7bfacc457ed1');

El sistema de ecuacionesAx=b tiene una solución única.

Supongamos algún vector arbitrariobRn. De acuerdo con las propiedades anteriores solo debe tener una solución.

Hacer esto

Encuentra la solución paraAx=b para el vectorb=(10,200,3). Almacenar la solución en una variable llamada x

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from answercheck import checkanswer

checkanswer.vector(x,'161cfd16545b1b5fb13e35d2800f13df');
from answercheck import checkanswer

checkanswer.vector(x,'161cfd16545b1b5fb13e35d2800f13df');

rank(A)=n

La propiedad final dice que el rango debe ser igual a la dimensión deRn. En nuestro ejemplon=3. Encuentra una función python para calcular el rango deA. Almacene el valor en una variable llamada rank para verificar su respuesta.

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#Put your answer to the above quesion here
#Put your answer to the above quesion here

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#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(rank,3):
    print("Rank is 3")
else:
    print("Rank is not 3. Did we do something wrong?")
#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(rank,3):
    print("Rank is 3")
else:
    print("Rank is not 3. Did we do something wrong?")
Pregunta (específica de la asignación)

Sin hacer ningún cálculo (es decir, solo usando las propiedades anteriores), ¿cuántas soluciones hay paraAx=0? ¿Cuál es (son) la (s) solución (es)?


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