23.1: Revisar las propiedades de las matrices invertibles
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\(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Las siguientes declaraciones son equivalentes.
- Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)
- \(|A| \neq 0\)
- \(A\)es invertible.
- \(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))
- El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.
- \(rank(A) = n\)
Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base para\(R^3\):
\[B = \{(2,1, 3), (-1,6, 0), (3, 4, -10) \} \nonumber \]
Recuerde que para que estos dos vectores sean una base necesitan obtener las siguientes dos propiedades:
- Deben abarcarse\(R^3\).
- Deben ser linealmente independientes.
Usando las declaraciones anteriores podemos demostrar que esto es cierto de múltiples maneras.
Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)
Defina una matriz numpy A
que consiste en los vectores\(B\) como columnas:
\(|A| \neq 0\)
Las primeras en las propiedades anteriores nos dicen que si los vectores en\(B\) son verdaderamente una base de\(R^3\) entonces\(|A|=0\). Calcular el determinante de\(A\) y almacenar el valor en det
.
\(A\)es invertible.
Dado que el determinante es distinto de cero sabemos que hay una inversa a A. Usa python para calcular esa inversa y almacenarla en una matriz llamada a_inv
\(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))
De acuerdo con la propiedad por encima de la forma escalón de fila reducida de una matriz invertible es la matriz Identiy. Verifique usando la biblioteca python sympy
y almacene la matriz de escalones de filas reducidas en una variable llamada rref
si realmente necesita verificarla.
El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.
Supongamos algún vector arbitrario\(b \in R^n\). De acuerdo con las propiedades anteriores solo debe tener una solución.
Encuentra la solución para\(Ax=b\) para el vector\(b=(−10,200,3)\). Almacenar la solución en una variable llamada x
\(rank(A) = n\)
La propiedad final dice que el rango debe ser igual a la dimensión de\(R^n\). En nuestro ejemplo\(n=3\). Encuentra una función python
para calcular el rango de\(A\). Almacene el valor en una variable llamada rank
para verificar su respuesta.
Sin hacer ningún cálculo (es decir, solo usando las propiedades anteriores), ¿cuántas soluciones hay para\(Ax=0\)? ¿Cuál es (son) la (s) solución (es)?