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# 23.1: Revisar las propiedades de las matrices invertibles

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)
'answercheck.py');

$$A$$Déjese ser una$$n \times n$$ matriz. Las siguientes declaraciones son equivalentes.

• Los vectores de columna$$A$$ forman una base para$$R^n$$
• $$|A| \neq 0$$
• $$A$$es invertible.
• $$A$$es fila equivalente a$$I_n$$ (es decir, su forma de escalón de fila reducida es$$I_n$$)
• El sistema de ecuaciones$$Ax=b$$ tiene una solución única.
• $$rank(A) = n$$

Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base para$$R^3$$:

$B = \{(2,1, 3), (-1,6, 0), (3, 4, -10) \} \nonumber$

Recuerde que para que estos dos vectores sean una base necesitan obtener las siguientes dos propiedades:

1. Deben abarcarse$$R^3$$.
2. Deben ser linealmente independientes.

Usando las declaraciones anteriores podemos demostrar que esto es cierto de múltiples maneras.

## Los vectores de columna$$A$$ forman una base para$$R^n$$

##### Hacer esto

Defina una matriz numpy A que consiste en los vectores$$B$$ como columnas:

#Put your answer to the above question here
from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'94827a40ec59c7d767afe6841e1723ce');

### $$|A| \neq 0$$

##### Hacer esto

Las primeras en las propiedades anteriores nos dicen que si los vectores en$$B$$ son verdaderamente una base de$$R^3$$ entonces$$|A|=0$$. Calcular el determinante de$$A$$ y almacenar el valor en det.

#Put your answer to the above question here
#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(det,0):
print("Since the Determinate is zero the column vectors do NOT form a Basis")
else:
print("Since the Determinate is non-zero then the column vectors form a Basis.")

### $$A$$es invertible.

##### Hacer esto

Dado que el determinante es distinto de cero sabemos que hay una inversa a A. Usa python para calcular esa inversa y almacenarla en una matriz llamada a_inv

#put your answer to the above question here
from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A_inv,'001aaddd4824f42ad9d2ccde21cf9d24');

### $$A$$es fila equivalente a$$I_n$$ (es decir, su forma de escalón de fila reducida es$$I_n$$)

##### Hacer esto

De acuerdo con la propiedad por encima de la forma escalón de fila reducida de una matriz invertible es la matriz Identiy. Verifique usando la biblioteca python sympy y almacene la matriz de escalones de filas reducidas en una variable llamada rref si realmente necesita verificarla.

#put your answer to the above question here
from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(rref,'cde432847c1c4b6d17cd7bfacc457ed1');

### El sistema de ecuaciones$$Ax=b$$ tiene una solución única.

Supongamos algún vector arbitrario$$b \in R^n$$. De acuerdo con las propiedades anteriores solo debe tener una solución.

##### Hacer esto

Encuentra la solución para$$Ax=b$$ para el vector$$b=(−10,200,3)$$. Almacenar la solución en una variable llamada x

from answercheck import checkanswer

checkanswer.vector(x,'161cfd16545b1b5fb13e35d2800f13df');

### $$rank(A) = n$$

La propiedad final dice que el rango debe ser igual a la dimensión de$$R^n$$. En nuestro ejemplo$$n=3$$. Encuentra una función python para calcular el rango de$$A$$. Almacene el valor en una variable llamada rank para verificar su respuesta.

#Put your answer to the above quesion here
#Verify that the determinate is in fact zero
if np.isclose(rank,3):
print("Rank is 3")
else:
print("Rank is not 3. Did we do something wrong?")
##### Pregunta (específica de la asignación)

Sin hacer ningún cálculo (es decir, solo usando las propiedades anteriores), ¿cuántas soluciones hay para$$Ax=0$$? ¿Cuál es (son) la (s) solución (es)?

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