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23.1: Revisar las propiedades de las matrices invertibles

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    115256
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    %matplotlib inline
    import matplotlib.pylab as plt
    import numpy as np
    import sympy as sym
    from urllib.request import urlretrieve
    sym.init_printing(use_unicode=True)
    urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
                'answercheck.py');

    \(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Las siguientes declaraciones son equivalentes.

    • Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)
    • \(|A| \neq 0\)
    • \(A\)es invertible.
    • \(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))
    • El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.
    • \(rank(A) = n\)

    Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base para\(R^3\):

    \[B = \{(2,1, 3), (-1,6, 0), (3, 4, -10) \} \nonumber \]

    Recuerde que para que estos dos vectores sean una base necesitan obtener las siguientes dos propiedades:

    1. Deben abarcarse\(R^3\).
    2. Deben ser linealmente independientes.

    Usando las declaraciones anteriores podemos demostrar que esto es cierto de múltiples maneras.

    Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)

    Hacer esto

    Defina una matriz numpy A que consiste en los vectores\(B\) como columnas:

    #Put your answer to the above question here
    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.matrix(A,'94827a40ec59c7d767afe6841e1723ce');

    \(|A| \neq 0\)

    Hacer esto

    Las primeras en las propiedades anteriores nos dicen que si los vectores en\(B\) son verdaderamente una base de\(R^3\) entonces\(|A|=0\). Calcular el determinante de\(A\) y almacenar el valor en det.

    #Put your answer to the above question here
    #Verify that the determinate is in fact zero
    if np.isclose(det,0):
        print("Since the Determinate is zero the column vectors do NOT form a Basis")
    else:
        print("Since the Determinate is non-zero then the column vectors form a Basis.")

    \(A\)es invertible.

    Hacer esto

    Dado que el determinante es distinto de cero sabemos que hay una inversa a A. Usa python para calcular esa inversa y almacenarla en una matriz llamada a_inv

    #put your answer to the above question here
    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.matrix(A_inv,'001aaddd4824f42ad9d2ccde21cf9d24');

    \(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))

    Hacer esto

    De acuerdo con la propiedad por encima de la forma escalón de fila reducida de una matriz invertible es la matriz Identiy. Verifique usando la biblioteca python sympy y almacene la matriz de escalones de filas reducidas en una variable llamada rref si realmente necesita verificarla.

    #put your answer to the above question here
    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.matrix(rref,'cde432847c1c4b6d17cd7bfacc457ed1');

    El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.

    Supongamos algún vector arbitrario\(b \in R^n\). De acuerdo con las propiedades anteriores solo debe tener una solución.

    Hacer esto

    Encuentra la solución para\(Ax=b\) para el vector\(b=(−10,200,3)\). Almacenar la solución en una variable llamada x

    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.vector(x,'161cfd16545b1b5fb13e35d2800f13df');

    \(rank(A) = n\)

    La propiedad final dice que el rango debe ser igual a la dimensión de\(R^n\). En nuestro ejemplo\(n=3\). Encuentra una función python para calcular el rango de\(A\). Almacene el valor en una variable llamada rank para verificar su respuesta.

    #Put your answer to the above quesion here
    #Verify that the determinate is in fact zero
    if np.isclose(rank,3):
        print("Rank is 3")
    else:
        print("Rank is not 3. Did we do something wrong?")
    Pregunta (específica de la asignación)

    Sin hacer ningún cálculo (es decir, solo usando las propiedades anteriores), ¿cuántas soluciones hay para\(Ax=0\)? ¿Cuál es (son) la (s) solución (es)?


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