23.1: Revisar las propiedades de las matrices invertibles
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
ADéjese ser unan×n matriz. Las siguientes declaraciones son equivalentes.
- Los vectores de columnaA forman una base paraRn
- |A|≠0
- Aes invertible.
- Aes fila equivalente aIn (es decir, su forma de escalón de fila reducida esIn)
- El sistema de ecuacionesAx=b tiene una solución única.
- rank(A)=n
Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base paraR3:
B={(2,1,3),(−1,6,0),(3,4,−10)}
Recuerde que para que estos dos vectores sean una base necesitan obtener las siguientes dos propiedades:
- Deben abarcarseR3.
- Deben ser linealmente independientes.
Usando las declaraciones anteriores podemos demostrar que esto es cierto de múltiples maneras.
Los vectores de columnaA forman una base paraRn
Defina una matriz numpy A
que consiste en los vectoresB como columnas:
|A|≠0
Las primeras en las propiedades anteriores nos dicen que si los vectores enB son verdaderamente una base deR3 entonces|A|=0. Calcular el determinante deA y almacenar el valor en det
.
Aes invertible.
Dado que el determinante es distinto de cero sabemos que hay una inversa a A. Usa python para calcular esa inversa y almacenarla en una matriz llamada a_inv
Aes fila equivalente aIn (es decir, su forma de escalón de fila reducida esIn)
De acuerdo con la propiedad por encima de la forma escalón de fila reducida de una matriz invertible es la matriz Identiy. Verifique usando la biblioteca python sympy
y almacene la matriz de escalones de filas reducidas en una variable llamada rref
si realmente necesita verificarla.
El sistema de ecuacionesAx=b tiene una solución única.
Supongamos algún vector arbitrariob∈Rn. De acuerdo con las propiedades anteriores solo debe tener una solución.
Encuentra la solución paraAx=b para el vectorb=(−10,200,3). Almacenar la solución en una variable llamada x
rank(A)=n
La propiedad final dice que el rango debe ser igual a la dimensión deRn. En nuestro ejemplon=3. Encuentra una función python
para calcular el rango deA. Almacene el valor en una variable llamada rank
para verificar su respuesta.
Sin hacer ningún cálculo (es decir, solo usando las propiedades anteriores), ¿cuántas soluciones hay paraAx=0? ¿Cuál es (son) la (s) solución (es)?