3.4: Determinantes

En este capítulo, nos hemos preocupado por las bases y preguntas relacionadas sobre la invertibilidad de las matrices cuadradas. Vimos que una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es fila equivalente a la matriz de identidad. En esta sección, desarrollaremos un criterio numérico que nos indique si una matriz cuadrada es invertible. Este criterio resultará útil en el próximo capítulo.

Para comenzar, consideremos una\(2\times2\) matriz\(A\) cuyas columnas son vectores\(\mathbf v_1\) y frecuentemente\(\mathbf v_2\text{.}\) hemos dibujado los vectores y considerado las combinaciones lineales que forman a través de una figura como la Figura 3.4.1.

Figura 3.4.1. Las combinaciones lineales de dos vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) forman una colección de paralelogramos congruentes.

Observe cómo las combinaciones lineales forman un conjunto de paralelogramos congruentes en el plano. En esta sección, mediremos el área de los paralelogramos, lo que conducirá naturalmente a una cantidad numérica llamada el determinante, que nos indica si la matriz\(A\) es invertible.

Para recordar, si se nos da el paralelogramo en la figura, encontramos su área multiplicando la longitud de un lado por la distancia perpendicular a su lado paralelo. Usando la notación en la figura, el área del paralelogramo es\(bh\text{.}\)

Vista previa Actividad 3.4.1.

Exploraremos la fórmula del área en esta actividad previa.

1. Encuentra el área de los siguientes paralelogramos.

   i.

   

   ii.

   

   iii.

   

   iv.

   

   v.

   

2. Explique por qué el área del paralelogramo formado por los vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w_1\) es la misma que la formada por\(\mathbf v\) y\(\mathbf w_2\text{.}\)

   

Determinantes de\(2\times2\) matrices

Ahora usaremos nuestra familiaridad con los paralelogramos para definir el determinante de una\(2\times2\) matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 \end{array}\right]\text{.}\) Primero, sin embargo, necesitamos definir la orientación de un par de vectores. Como se muestra en la Figura 3.4.2, un par de vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) se llama orientado positivamente si el ángulo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj, de\(\mathbf v_1\) a\(\mathbf v_2\) es menor de lo que\(180^\circ\text{;}\) decimos el par está\(negatively\) orientado si es mayor que\(180^\circ\text{.}\)

Figura 3.4.2. Los vectores de la izquierda están orientados positivamente mientras que los de la derecha están orientados negativamente.

Ahora podemos definir el determinante de una\(2\times2\) matriz\(A\text{.}\)

Definición 3.4.3

Supongamos que una\(2\times2\) matriz\(A\) tiene columnas\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) si el par de vectores está orientado positivamente, entonces el determinante de\(A\text{,}\) denotado\(\det A\text{,}\) es el área del paralelogramo formado por\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Si el par está orientado negativamente, entonces \(\det A\)es menos el área del paralelogramo.

Ejemplo 3.4.4

Considerar el determinante de la matriz de identidad

\ begin {ecuación*} I =\ left [\ begin {array} {rr} 1& 0\\\ 0 & 1\\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf e_1 &\ mathbf e_2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Como se ve a la izquierda de la Figura 3.4.5, los vectores\(\mathbf v_1 = \mathbf e_1\) y\(\mathbf v_2=\mathbf e_2\) forman un par orientado positivamente. Como el paralelogramo que forman es un\(1\times1\) cuadrado, tenemos\(\det I = 1.\)

Figura 3.4.5. El determinante\(\det I = 1\) como se ve a la izquierda. De lo contrario, el determinante\(\det A = -2\) donde\(A\) está la matriz cuyas columnas se muestran a la derecha.

Ahora consideraremos la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} -2& 0\\ 0 & 1\\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Como se ve a la derecha de la Figura 3.4.5, los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) forman un par orientado negativamente. El paralelogramo que definen es un\(2\times1\) rectángulo así que tenemos\(\det A = -2\text{.}\)

El siguiente conjunto de ejemplos ayudará a ilustrar algunas propiedades del determinante.

Actividad 3.4.2.

Usaremos el diagrama para encontrar el determinante de algunas\(2\times2\) matrices simples.

Los deslizadores en el diagrama a continuación le permiten elegir una matriz\(A\). A continuación se muestran los dos vectores que representan las columnas de la matriz, junto con el paralelogramo que definen.

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1. Usa el diagrama para encontrar el determinante de la matriz\(\left[\begin{array}{rr} -\frac12 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right]\text{.}\) Cuál es el efecto geométrico de la transformación matricial definida por esta matriz. ¿Qué te lleva esto a creer que es generalmente cierto sobre el determinante de una matriz diagonal?
2. Usa el diagrama para encontrar el determinante de la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right]\text{.}\) ¿Cuál es el efecto geométrico de la transformación matricial definida por esta matriz?
3. Usa el diagrama para encontrar el determinante de la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.}\) ¿Cuál es el efecto geométrico de la transformación matricial definida por esta matriz?
4. ¿Qué nota sobre el determinante de cualquier matriz de la forma\(\left[\begin{array}{rr} 2 & k \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\text{?}\) ¿Qué dice esto sobre el determinante de una matriz triangular superior?
5. Usa el diagrama para encontrar el determinante de la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.}\) Cuando cambiamos la entrada en la esquina inferior izquierda, ¿cuál es el efecto sobre el determinante? ¿Qué dice esto sobre el determinante de una matriz triangular inferior?
6. Usa el diagrama para encontrar el determinante de la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \\ \end{array}\right]\text{.}\) ¿Cuál es el efecto geométrico de la transformación matricial definida por esta matriz? En general, ¿cuál es el determinante de una matriz cuyas columnas son linealmente dependientes?
7. Considerar las matrices
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 2 & -1\\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 0 & 2\\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Utilice el diagrama para encontrar los determinantes de\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(AB\text{.}\) Lo que esto sugiere es generalmente cierto sobre la relación de\(\det(AB)\) con\(\det A\) y\(\det B\text{?}\)

Aunque esta actividad se refería a determinantes de\(2\times2\) matrices, las propiedades que vimos son más generalmente ciertas para determinantes de\(n\times n\) matrices. Revisemos estas propiedades ahora.

• \(\det I = 1\)como vimos en el Ejemplo 3.4.4.

• Si\(A\) es una matriz diagonal, entonces\(\det A\) es igual al producto de sus entradas diagonales. Por ejemplo,\(\det\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right] = 2\cdot 3 = 6\) ya que cada entrada diagonal representa un estiramiento a lo largo de uno de los ejes, como se ve en la figura.

  
• Si\(A\) es una matriz triangular, entonces también\(\det A\) es el producto de las entradas en la diagonal. Por ejemplo,
  \ begin {ecuación*}\ det\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 2\\ 0 & 3\\\ end {array}\ right] = 2\ cdot 3 = 6\ text {,}\ end {ecuación*}

  ya que los dos paralelogramos de la Figura 3.4.6 tienen igual área.

  

  

  Figura 3.4.6. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus entradas diagonales.

• También vimos que
  \ begin {ecuación*}\ det\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 1\\ 1 & 0\\ end {array}\ right] = -1\ end {ecuación*}

  porque los vectores son un par orientado negativamente. La transformación matricial definida por esta matriz es una reflexión en la línea de manera\(y=x\text{;}\) más general, el determinante de cualquier matriz que defina una reflexión es\(-1\text{.}\)

• Vimos que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes; es decir\(\det AB = \det A \det B\text{.}\), hasta el momento, hemos estado pensando en el determinante como el área de un paralelogramo. También podemos pensarlo como un factor por el cual las áreas se escalan bajo la transformación matricial definida por la matriz. Como se ve en la Figura 3.4.7, aplicando la transformada\(B\) escala el área por un factor de\(\det B\text{.}\) Siguiente aplicando la transformada\(A\) escala el área por un factor de\(\det A\text{.}\) La escala total es entonces\(\det A\det B\text{.}\)

  

  

  

  Figura 3.4.7. La primera transformación\(B\) escala el área del cuadrado unitario por un factor de\(\det B\) y la segunda transformación\(A\) escala el área por un factor de\(\det A\text{.}\)

• Si dos vectores son linealmente dependientes, entonces\(\det A = 0\text{.}\) En este caso, el paralelogramo se aplasta sobre una línea para que su área se convierta en cero. Esta propiedad es quizás la más importante de las que aquí hemos declarado, y es lo que nos motiva a explorar determinantes.

  

Hacia el final de esta sección, aprenderemos una técnica algebraica para determinantes computacionales. Mientras tanto, simplemente notaremos que podemos definir determinantes para\(n\times n\) matrices midiendo el volumen de una caja definida por las columnas de la matriz, incluso si esta caja reside en\(\mathbb R^n\) para algunos muy grandes\(n\text{.}\)

Por ejemplo, las columnas de una\(3\times3\) matriz\(A\) formarán un paralelepípedo, como el que se muestra aquí. Existe un medio por el cual podemos clasificar conjuntos de tales vectores como orientados positiva o negativamente. Por lo tanto, podemos definir el determinante\(\det A = \pm V\) dónde\(V\) está el volumen de la caja, pero aquí no nos preocuparemos por los detalles.

Determinantes e invertibilidad

En la actividad anterior, vimos que, cuando las columnas de una\(2\times2\) matriz\(A\) son linealmente dependientes, entonces\(\det A = 0\) porque el paralelogramo formado por las columnas de\(A\) yace sobre una línea y así tiene área cero. Por supuesto, cuando las columnas son linealmente dependientes, la matriz no es invertible. Esto apunta a una propuesta importante que exploraremos más.

Proposición 3.4.8.

La matriz\(A\) es invertible si y solo si\(\det A \neq 0\text{.}\)

Para entender más a fondo esta proposición, recordemos que la matriz\(A\) es invertible si y solo si es fila equivalente a la matriz de identidad. Por lo tanto,\(I\text{.}\) consideraremos cómo cambia el determinante cuando realizamos operaciones de fila en una matriz. En el camino, descubriremos un medio efectivo para computar el determinante.

En la Subsección 3.1.3, vimos cómo describir las operaciones de tres filas, escalado, intercambio y reemplazo de filas, usando multiplicación matricial. Recuerda que

• Los escalados se realizan multiplicando por una matriz diagonal, como
  \ begin {ecuación*} S =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

  que tiene el efecto de multiplicar la segunda fila por\(3\text{.}\) Desde que\(S\) es diagonal, sabemos que su determinante es el producto de sus entradas diagonales para que\(\det S = 3\text{.}\) si escalamos una fila en\(A\) por\(3\) para obtener la matriz\(A'\text{,}\) entonces tenemos\(SA=A'\text{,}\) lo que significa que \(\det S\det A = \det A'\text{.}\)Por lo tanto,\(3\det A = \det A'\text{.}\) en general, si escalamos una fila de\(A\) by\(s\) para obtener\(A'\text{,}\) tenemos\(s\det A=\det A'\text{.}\)

• Los intercambios son realizados por matrices tales como
  \ begin {ecuación*} P =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

  que tiene el efecto de intercambiar la primera y la segunda fila. Observe que el determinante de esta matriz es\(\det P = -1\) ya que define una reflexión. Por lo tanto, si realizamos una operación de intercambio sobre\(A\) obtener\(A'\text{,}\) tenemos\(PA=A'\text{,}\) lo que significa que\(\det P \det A = \det A'\text{.}\) en otras palabras, tenemos\(-\det A = \det A'\) para que el determinante antes y después de un intercambio tenga signos opuestos.

• Las operaciones de reemplazo de filas son realizadas por matrices como
  \ begin {ecuación*} R =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

  que multiplica la primera fila por\(-2\) y agrega el resultado a la tercera fila. Dado que se trata de una matriz triangular inferior, sabemos que el determinante es el producto de entradas diagonales, lo que dice que\(\det R = 1\text{.}\) si realizamos una sustitución de fila en\(A\) para obtener\(A'\text{,}\) entonces\(RA = A'\) y por lo tanto lo\(\det R \det A = \det A'\text{,}\) que significa que\(\det A = \det A'\text{.}\) En otras palabras, los determinantes antes y después de una operación de reemplazo de fila son iguales.

Actividad 3.4.3.

Investigaremos la conexión entre el determinante de una matriz y su invertibilidad mediante la eliminación gaussiana.

1. Considere las dos matrices triangulares superiores
   \ begin {ecuación*} U_1 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & -2\\ end {array}\ right], U_2 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ 0 & 2\ 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuáles de las matrices\(U_1\) y\(U_2\) son invertibles? Utilice nuestra observación anterior de que el determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus entradas diagonales para encontrar\(\det U_1\) y\(\det U_2\text{.}\)

2. Explique por qué una matriz triangular superior es invertible si y solo si su determinante no es cero.
3. Consideremos ahora la matriz
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ -2 & 2 & -6\\ 3 & -1 & 10\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   e iniciar el proceso de eliminación gaussiana. Comenzamos con una operación de reemplazo de filas

   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ -2 & 2 & -6\\ 3 & -1 & 10\\ end {array}\\ end {array}\\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 10\\ end {array}\ derecha] = A_1\ texto {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuál es la relación entre\(\det A\) y\(\det A_1\text{?}\)

4. A continuación realizamos otra operación de reemplazo de fila:
   \ begin {ecuation*} A_1=\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 10\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\ 0 & 2\ 0 & -2\ 0 & 2 & 4\\ end {array}\ derecha] = A_2\ texto {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuál es la relación entre\(\det A\) y\(\det A_2\text{?}\)

5. Finalmente, realizamos un intercambio:
   \ begin {ecuation*} A_2 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 2 & 4\\ end {array}\\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & -2\\ end {array}\ derecha] = U\ end {ecuación*}

   para llegar a una matriz triangular superior\(U\text{.}\) ¿Cuál es la relación entre\(\det A\) y\(\det U\text{?}\)

6. Ya que\(U\) es triangular superior, podemos calcular su determinante, lo que nos permite encontrar\(\det A\text{.}\) ¿Qué\(\det A\text{?}\) es Es\(A\) invertible?
7. Ahora considere la matriz
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 3\\ 0 & 2 & -2\\ 2 & 1 & 3\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Realizar una secuencia de operaciones de fila para encontrar una matriz triangular superior\(U\) que sea fila equivalente a\(A\text{.}\) Utilícelo para determinar ¿La matriz\(\det A\text{.}\) es\(A\) invertible?

8. Supongamos que aplicamos una secuencia de operaciones de fila en una matriz\(A\) para obtener\(A'\text{.}\) Explique por qué\(\det A \neq 0\) si y solo si\(\det A' \neq 0\text{.}\)
9. Explicar por qué una\(n\times n\) matriz\(A\) es invertible si y solo si\(\det A \neq 0\text{.}\)
10. Si\(A\) es una matriz invertible con\(\det A = -3\text{,}\) lo que es\(\det A^{-1}\text{?}\)

Como se ve en esta actividad, las operaciones de fila proporcionan un medio para calcular el determinante de una matriz. Por ejemplo, la matriz

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ -2 & 2 & -6\\ 3 & -1 & 10\\ end {array}\\ end {array}\\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\ 0 & 4\\ 0 & 0 & -2\\ end {array}\ derecha] = U\ end {ecuación*}

es fila equivalente a una matriz triangular superior\(U\) a través de una secuencia de operaciones de fila: primero aplicamos dos operaciones de reemplazo de filas y luego un intercambio. Podemos representar las operaciones de reemplazo de fila por las matrices\(R_1\)\(R_2\) y y el intercambio por la matriz Entonces\(P\text{.}\) tenemos

\ begin {equation*}\ begin {aligned} PR_2R_1 A & {} = {} U\\ det P\ det R_1\ det R_2\ det A & {} = {}\ det U\\ -1\ cdot 1\ cdot 1\ det A & {} = {} 1\ cdot 2\ cdot (-2)\\ -\ det A {} = {} -4\ texto {,}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

lo que nos muestra que\(\det A = 4\text{.}\)

Observe que las operaciones de tres filas están representadas por matrices cuyos determinantes no son cero. Esto quiere decir que si\(A\) es fila equivalente a\(A'\text{,}\) entonces hay matrices tales que\(E_p\ldots E_2E_1A = A'\) y así\(\det E_p\ldots \det E_2\det E_1 \det A = \det A'\text{.}\) ya que\(\det E_j\neq 0\text{,}\) esto nos dice que\(\det A \neq 0\) si y solo si\(\det A'\neq 0\text{.}\)

El determinante de una matriz triangular superior\(U\) es igual al producto de sus entradas diagonales. Por supuesto, la matriz\(U\) es invertible si y solo si hay una posición de pivote en cada fila, lo que significa que cada una de las entradas diagonales debe ser distinta de cero. Por lo tanto, una matriz triangular superior\(U\) es invertible si y solo\(\det U \neq 0\text{.}\)

Ahora podemos juntar todo esto. Al realizar la eliminación gaussiana en la matriz\(A\text{,}\) aplicamos una secuencia de operaciones de fila hasta obtener una matriz triangular superior\(U\) que es fila equivalente a\(A\text{.}\) Se deduce que\(\det A \neq 0\) si y solo si También\(\det U \neq 0\text{.}\) sabemos que\(\det U\neq 0\) si y solo si\(U\) es invertible y eso\(U\) es invertible si y sólo si\(A\) es invertible. Esto demuestra que eso\(A\) es invertible si y solo si\(\det A \neq 0\text{,}\) lo cual completa nuestra explicación de la Proposición 3.4.8.

Por último, recuerda que\(A A^{-1} = I\) si\(A\) es invertible. Esto quiere decir que\(\det A \det A^{-1} = \det I = 1\text{;}\) en otras palabras,\(\det A\) y\(\det A^{-1}\) son inversos multiplicativos para que\(\det A^{-1} = 1/\det A\text{.}\)

Expansiones de cofactores

Ahora contamos con una técnica para calcular el determinante de una matriz mediante operaciones de fila. Hay otra manera de calcular determinantes, utilizando lo que se llaman expansiones de cofactores, que será importante para nosotros en el próximo capítulo. Describiremos este método aquí.

Para comenzar, el determinante de una\(2\times2\) matriz es

\ begin {ecuación*}\ det\ left [\ begin {array} {rr} a & b\\ c & d\\ end {array}\ right] = ad-bc\ text {.} \ end {ecuación*}

Con un poco de trabajo, se puede demostrar que este número es el mismo que el área firmada del paralelogramo que presentamos anteriormente.

Usar una expansión de cofactores para encontrar el determinante de una\(n\times n\) matriz más general es un poco más de trabajo por lo que lo demostraremos con un ejemplo.

Ejemplo 3.4.9

Ilustramos cómo utilizar una expansión de cofactores para encontrar el determinante de\(A\) dónde

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2\\ -2 & 2 & -6\\ 3 & -1 & 10\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Esta es la misma matriz que apareció en la última actividad donde encontramos que\(\det A = 4\text{.}\)

Para comenzar, elegimos una fila o columna. No importa cuál escojamos porque el resultado será el mismo en cualquier caso. Aquí, elegiremos la segunda fila.

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ lgray {1} &\ lgray {-1} &\ lgray {2}\\ -2 & 2 & -6\\\ lgray {3} &\ lgray {-1} &\ lgray {10}\\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

El determinante se encontrará creando una suma de términos, uno por cada entrada en la fila que hayamos elegido. Para cada entrada en la fila, formaremos su término en la expansión del cofactor multiplicando

• \((-1)^{i+j}\)donde\(i\) y\(j\) son los números de fila y columna, respectivamente, de la entrada,
• la entrada en sí, y
• el determinante de las entradas sobrantes cuando hayamos tachado la fila y columna que contiene la entrada.

Ya que estamos calculando el determinante de esta matriz

\ begin {ecuation*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ gris {1} &\ gris {-1} &\ gris {2}\\ -2 & 2 & -6\\ gris {3} &\ gris {-1} &\ gris {10}\\ final {array}\\ derecha]\ final {ecuación*}

usando la segunda fila, la entrada en la primera columna de esta fila es\(-2\text{.}\) Veamos cómo formar el término a partir de esta entrada.

El término en sí es\(-2\text{,}\) y la matriz que queda cuando tachamos la segunda fila y la primera columna es

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ gris {1} & {-1} & {2}\\\ gris {-2} &\ gris {2} &\ gris {-6}\\\ gris {3} & {-1} & {10}\\ end {array}\\ derecha]\ final {ecuación*}

cuyo determinante es

\ begin {ecuación*}\ det\ left [\ begin {array} {rr} -1 & 2\\ -1 & 10\\\ end {array}\ right] = -1 (10) - 2 (-1) = -8\ text {.} \ end {ecuación*}

Como esta entrada está en la segunda fila y en la primera columna, el término que construimos es\((-1)^{2+1}(-2)(-8) = -16 \text{.}\)

Armando esto, encontramos el determinante para ser

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ left [\ begin {array} {rrr} {1} & {-1} & {2}\\ -2 & {2} & {-6}\\ {3} & {-1} & {10}\\ end {array}\\ right] {} = {} & (-1) ^ {2+1} (-2)\ det\ left [\ begin {array} {rr} -1 & 2\\ -1 & 10\\\ end {array}\ derecha]\\ & {} + {} (-1) ^ {2+2} (2)\ det\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ 3 & 10\\\ end {array}\ derecha]\\ & {} + {} (-1) ^ {2+3} (-6)\ det\ left [\ begin {array} {rr} -1 & -1\\ 3 & -1\\ end {array}\\ derecha]\\\ {} = {} & (-1) (-1) (-1) (-1 (10) -2 (-1))\\ & + (1) (2) (1 (10) -2 (3))\\ & + (-1) (-6) ((-1) (-1) - (-1) 3)\\\ {} = {} & -16 + 8 + 12 \\ {} = {} & 4\\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Observe que esto concuerda con el determinante que encontramos para esta matriz usando operaciones de fila en la última actividad.

Actividad 3.4.4.

Exploraremos las expansiones de cofactores a través de algunos ejemplos.

1. Usando una expansión de cofactor, mostrar que el determinante de la siguiente matriz
   \ begin {ecuación*}\ det\ left [\ begin {array} {rrr} 2 & 0 & -1\\ 3 & 1 & 2\\ -2 & 4 & -3\\ end {array}\ right] = -36\ text {.} \ end {ecuación*}

   Recuerda que puedes elegir cualquier fila o columna para crear la expansión, pero la elección de una fila o columna en particular puede simplificar el cálculo.

2. Utilice una expansión de cofactores para encontrar el determinante de
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr} -3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -4 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 3\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Explicar cómo la técnica de expansión del cofactor muestra que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus entradas diagonales.

3. Utilice una expansión de cofactor para determinar si los siguientes vectores forman una base de\(\mathbb R^3\text{:}\)
   \ begin {ecuación*}\ threevec {2} {-1} {-2},\ threevec {1} {-1} {2},\ threevec {1} {0} {-4}\ text {.} \ end {ecuación*}
4. Sage calculará el determinante de una matriz A con el comando a.det (). Usa Sage para encontrar el determinante de la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr} 2 & 1 & -2 & -3\\ 3 & 0 & -1 & -2\\ -3 & 4 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 3 & -1\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

En esta sección, hemos visto tres formas de calcular el determinante: interpretando el determinante como un área o volumen firmado; aplicando operaciones de fila apropiadas; y usando una expansión de cofactor. Vale la pena dedicar un momento a pensar en los méritos relativos de estos enfoques.

La definición geométrica del determinante nos dice que el determinante es medir una cantidad geométrica natural, una perspicacia que no llega fácilmente a través de los otros dos enfoques. La intuición que obtenemos al pensar en el determinante geométricamente hace que parezca razonable que el determinante sea cero para matrices que no son invertibles: si las columnas son linealmente dependientes, los vectores no pueden crear un volumen positivo.

Acercarse al determinante a través de operaciones de fila proporciona un medio efectivo para calcular el determinante. De hecho, esto es lo que la mayoría de los programas informáticos están haciendo detrás de escena cuando computan un determinante. Este enfoque es también una herramienta teórica útil para explicar por qué el determinante nos dice si una matriz es invertible.

El método de expansión de cofactores nos será útil en el siguiente capítulo cuando veamos los valores propios y los vectores propios. No es, sin embargo, una forma práctica de calcular un determinante. Para ver por qué, consideremos el hecho de que el determinante de una\(2\times2\) matriz, escrito como nos\(ad-bc\text{,}\) obliga a computar dos términos,\(ad\) y\(bc\text{.}\) Para calcular el determinante de una\(3\times3\) matriz, necesitamos computar tres\(2\times2\) determinantes, lo que implica\(3\cdot 2 = 6\) términos. Para una\(4\times4\) matriz, necesitamos computar cuatro\(3\times3\) determinantes, lo que produce\(4\cdot3\cdot2 = 24\) términos. Continuando de esta manera, vemos que la expansión del cofactor de una\(10\times10\) matriz implicaría\(10\cdot9\cdot8\ldots3\cdot2 = 10! = 3628800\) términos. Por coincidencia, este es exactamente el número de segundos en seis semanas.

Por el contrario, hemos visto que el número de pasos requeridos para realizar la eliminación gaussiana en una\(n\times n\) matriz es proporcional a\(n^3\text{.}\) Cuando\(n=10\text{,}\) tenemos\(n^3 = 1000\text{,}\) lo que apunta a que encontrar el determinante usando la eliminación gaussiana es considerablemente menor trabajo.

Resumen

En esta sección, asociamos una cantidad numérica, el determinante, a una matriz cuadrada y demostramos que nos indica si la matriz es invertible.

• Se puede pensar que el determinante de una\(n\times n\) matriz mide el tamaño de la caja formada por los vectores de columna junto con un signo que mide su orientación. Cuando\(n=2\text{,}\) por ejemplo, el determinante es el área firmada del paralelogramo formado por las dos columnas de la matriz.
• Vimos que el determinante satisfizo muchas propiedades. Lo más importante, lo vimos\(\det AB = \det A \det B\) y que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus entradas diagonales.
• Estas propiedades nos ayudaron a calcular el determinante de una matriz usando operaciones de fila. Esto también llevó a la importante observación de que el determinante de una matriz es distinto de cero si y solo si la matriz es invertible.
• Finalmente, aprendimos a calcular el determinante de una matriz usando expansiones de cofactores. Aunque este es un método ineficiente para calcular determinantes, será una herramienta valiosa para nosotros en el próximo capítulo.

Ejercicios 3.4.5Ejercicios

1

Considerar las matrices

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 2 & 1 & 0\\ -4 & 3\\ 2 & 1 & -3\\ end {array}\ derecha],\ qquad B =\ left [\ begin {array} {rrrr} -2 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 2 & 0\\ 4 & 6 & -1 & 2\\ 0 & 4 & 2 & -3\\\ fin { array}\ derecho]\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra los determinantes de\(A\) y\(B\) usando operaciones de fila.
2. Encontrar los determinantes de\(A\) y\(B\) usando expansiones de cofactores.

2

Este ejercicio se refiere a las rotaciones y reflexiones en\(\mathbb R^2\text{.}\)

1. Supongamos que\(A\) es la matriz que realiza una rotación en sentido antihorario en\(\mathbb R^2\text{.}\) Dibuja una imagen típica de los vectores que forman las columnas de\(A\) y usa la definición geométrica del determinante para determinar\(\det A\text{.}\)
2. Supongamos que\(B\) es la matriz que realiza una reflexión en una línea que pasa por el origen. Dibuja una imagen típica de las columnas de\(B\) y usa la definición geométrica del determinante para determinar\(\det B\text{.}\)
3. Como vimos en la Sección 2.6, las matrices tienen la forma
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ end {array}\ derecha],\ qquad B =\ left [\ begin {array} {rr}\ cos (2\ theta) &\ sin (2\ theta)\\ sin (2\ theta) & -\ cos (2\ theta)\\ final {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Calcular los determinantes\(A\)\(B\) y verificar que están de acuerdo con lo que encontraste en las partes anteriores de este ejercicio.

3

En el siguiente capítulo, diremos que las matrices\(A\) y\(B\) son similares si hay una matriz\(P\) tal que\(A= PBP^{-1}\text{.}\)

1. Supongamos que\(A\) es una\(3\times3\) matriz y que hay una matriz\(P\) tal que
   \ begin {ecuación*} A = P\ left [\ begin {array} {rrr} 2 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 & -3\\\ end {array}\ derecha] P^ {-1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Encuentra\(\det A\text{.}\)

2. Supongamos que\(A\) y\(B\) son matrices y que hay una matriz\(P\) tal que\(A=PBP^{-1}\text{.}\) explique por qué\(\det A = \det B\text{.}\)

4

Considerar la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} -2 & 1 & k\\ 2 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 2 & 2\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

donde\(k\) es un parámetro.

1. Buscar una expresión para\(\det A\) en términos del parámetro\(k\text{.}\)
2. Utilice su expresión para\(\det A\) para determinar los valores de\(k\) para los cuales los vectores
   \ begin {ecuación*}\ tresevec {-2} {2} {1},\ threevec {1} {3} {2},\ threevec {k} {0} {2}\ end {ecuación*}

   son linealmente independientes?

5

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica tu respuesta.

1. Si tenemos una matriz cuadrada\(A\) y multiplicamos la primera fila por\(5\) y la agregamos a la tercera fila para obtener\(A'\text{,}\) entonces\(\det A' = 5\det A\text{.}\)
2. Si cambiamos dos filas de una matriz, entonces el determinante no cambia.
3. Si escalamos una fila de la matriz\(A\) por\(17\) para obtener\(A'\text{,}\) entonces\(\det A' = 17\det A\text{.}\)
4. Si\(A\) y\(A'\) son fila equivalente y\(\det A' = 0\text{,}\) luego\(\det A = 0\) también.
5. Si\(A\) es fila equivalente a la matriz de identidad, entonces\(\det A = \det I = 1\text{.}\)

6

Supongamos que\(A\) y\(B\) son\(5\times5\) matrices tales que\(\det A = -2\) y\(\det B = 5\text{.}\) Encuentra los siguientes determinantes:

1. \(\det(2A)\text{.}\)
2. \(\det(A^3)\text{.}\)
3. \(\det(AB)\text{.}\)
4. \(\det(-A)\text{.}\)
5. \(\det(AB^{-1})\text{.}\)

7

Supongamos que\(A\) y\(B\) son\(n\times n\) matrices.

1. Si\(A\) y ambos\(B\) son invertibles, use determinantes para explicar por qué\(AB\) es invertible.
2. Si\(AB\) es invertible, use determinantes para explicar por qué ambos\(A\) y\(B\) es invertible.

8

Proporcione una justificación para sus respuestas a las siguientes preguntas.

1. Si cada entrada en una fila de una matriz es cero, ¿qué se puede decir del determinante?
2. Si dos filas de una matriz cuadrada son idénticas, ¿qué se puede decir del determinante?
3. Si dos columnas de una matriz cuadrada son idénticas, ¿qué se puede decir del determinante?
4. Si una columna de una matriz es una combinación lineal de las otras, ¿qué se puede decir del determinante?

9

Considerar la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 1 & x\\ 2 & 2 & y\\ -1 & 0 & z\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Escribe la ecuación\(\det A = 0\) en términos de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\text{.}\)
2. Explica por qué\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{,}\) las dos primeras columnas de\(A\text{,}\) satisfacer la ecuación que encontraste en la parte anterior.

10

En esta sección, estudiamos el efecto de las operaciones de fila en la matriz\(A\text{.}\) En este ejercicio, estudiaremos el efecto de operaciones de columna análogas.

Supongamos que\(A\) es la\(3\times3\) matriz\(A= \left[\begin{array}{rrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \mathbf v_3 \end{array}\right]\text{.}\) También considera matrices elementales

\ begin {ecuación*} R =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -3 & 0 & 1\\\ end {array}\\ end {array}\ right], S =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ derecha], P =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Explique por qué\(AR\) se obtiene la matriz\(A\) reemplazando la primera columna\(\mathbf v_1\) por\(\mathbf v_1 - 3\mathbf v_3\text{.}\) Llamamos a esto una operación de reemplazo de columna. Explique por qué las operaciones de reemplazo de columna no cambian el determinante.
2. Explique\(A\) por qué\(AS\) se obtiene la matriz multiplicando la segunda columna por\(3\text{.}\) Explicar el efecto que tiene el escalado de una columna sobre el determinante de una matriz.
3. Explique por qué\(AP\) se obtiene la matriz\(A\) intercambiando la primera y la tercera columna. ¿Cuál es el efecto de esta operación en el determinante?
4. Utilice operaciones de columna para calcular el determinante de
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & -3 & 1\\ 1 & 4\\ 1 & 4\\ 1 & 1 & 0\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

11

Considerar las matrices

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha], B =\ left [\ begin {array} {rrrr} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & ; 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\ end {array}\ derecha], C =\ izquierda [\ begin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & a\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & c & 0 & 0\\ d & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Utilice operaciones de fila para encontrar los determinantes de estas matrices.

12

Considerar las matrices

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned} A =\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 1\\ 1 & 0\\\ end {array}\ right],\ qquad & B =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\ end {array}\ right],\\\ C =\ left [\ begin {array} {rrrr} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & amp; 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ end {array}\ derecha],\ qquad & D =\ left [\ begin {array} {rrrrr} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ; 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ end {array}\ derecha]\ end {alineada}\ end {equation*}

1. Utilice operaciones de fila (y/o columna) para encontrar los determinantes de estas matrices.
2. Escribe las\(7\times7\) matrices\(6\times6\) y que siguen en este patrón y establece sus determinantes en base a lo que has visto.

13

La siguiente matriz se llama matriz de Vandermond:

\ begin {ecuación*} V =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Utilice operaciones de fila para explicar por qué\(\det V = (b-a)(c-a)(c-b)\text{.}\)
2. \(V\)Explique por qué es invertible si\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son todos números reales distintos.
3. Existe una manera natural de generalizar esto a una\(4\times4\) matriz con parámetros\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(d\text{.}\) Escribir esta matriz y exponer su determinante en base a su trabajo anterior.

Esta matriz apareció en el Ejercicio 1.4.4.7 cuando estábamos encontrando un polinomio que pasaba por un conjunto dado de puntos.