3.5: Subespacios de Rp

En este capítulo, hemos estado buscando bases para\(\mathbb R^p\text{,}\) conjuntos de vectores que son linealmente independientes y abarcan\(\mathbb R^p\text{.}\) Vimos que los vectores en una base para\(\mathbb R^p\) formar las columnas de una matriz invertible, que es necesariamente una matriz cuadrada.

Una base para\(\mathbb R^p\) puede ser útil ya que crea un sistema de coordenadas que nos ayuda a navegar de manera efectiva en\(\mathbb R^p\text{.}\) A veces, sin embargo, nos encontramos tratando solo con un subconjunto de\(\mathbb R^p\text{.}\) En particular, si se\(A\text{,}\) nos da una\(m\times n\) matriz nos ha interesado tanto el lapso de las columnas de\(A\) y el espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\) En esta sección, ampliaremos el concepto de base para describir conjuntos como estos.

Vista previa Actividad 3.5.1.

Consideremos la siguiente matriz\(A\) y su forma de escalón de fila reducida.

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 2 & -1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 0 & 2\\ -2 & 2 & -4 & -2\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. ¿Son las columnas de\(A\) linealmente independientes? ¿Abarcan\(\mathbb R^3\text{?}\)
2. Dar una descripción paramétrica del espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)
3. Explicar cómo esta descripción paramétrica produce dos vectores\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\) cuyo lapso es el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)
4. ¿Qué se puede decir sobre la independencia lineal del conjunto de vectores\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{?}\)
5. Denotemos las columnas de\(A\) as\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\)\(\mathbf v_3\text{,}\) y\(\mathbf v_4\text{.}\) Explique por qué\(\mathbf v_3\) y se\(\mathbf v_4\) pueden escribir como combinaciones lineales de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
6. Explicar por qué\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) son linealmente independientes y\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2} = \laspan{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \mathbf v_3, \mathbf v_4}\text{.}\)

Subespacios de\(\mathbb R^p\)

En la actividad de vista previa, se consideró una\(3\times4\) matriz\(A\) y se describieron dos conjuntos familiares de vectores. Primero, describimos el espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{,}\) que es un conjunto de vectores en\(\mathbb R^4\text{.}\) Next, describimos el lapso de las columnas de las\(A\text{,}\) cuales es un conjunto de vectores en\(\mathbb R^3\text{.}\) Como veremos en breve, cada uno de estos conjuntos tiene una característica común que nos gustaría estudiar además: si elegimos algunos vectores en uno de estos conjuntos, cualquier combinación lineal de esos vectores también está en el conjunto. Esta observación motiva la siguiente definición.

Definición 3.5.1

Un subespacio de\(\mathbb R^p\) es un subconjunto no vacío de\(\mathbb R^p\) tal que cualquier combinación lineal de vectores en ese conjunto también está en el conjunto.

Sin mencionarlo explícitamente, frecuentemente hemos encontrado y trabajado con subespacios anteriormente en nuestras investigaciones. Veamos algunos ejemplos para sentirnos cómodos con este concepto.

Ejemplo 3.5.2. Subconjuntos que no son subespacios

Será útil mirar primero algunos ejemplos de subconjuntos de\(\mathbb R^2\) que no son subespacios. Primero, consideremos el conjunto de vectores en el primer cuadrante de es\(\mathbb R^2\text{;}\) decir, vectores de la forma\(\twovec{x}{y}\) donde ambos\(x,y \geq 0\text{.}\) Este subconjunto se ilustra a la izquierda de la Figura 3.5.3.

Figura 3.5.3. El conjunto de vectores en el primer cuadrante no es un subespacio de\(\mathbb R^2\text{.}\)

Si este subconjunto fuera un subespacio de\(\mathbb R^2\text{,}\) cualquier combinación lineal de vectores en el primer cuadrante también debe estar en el primer cuadrante. \(\mathbf v=\twovec{3}{2}\text{,}\)Sin embargo, si consideramos el vector, podemos formar la combinación lineal\(-\mathbf v=\twovec{-3}{-2}\text{,}\) que no está en el primer cuadrante, como se ve a la derecha de la Figura 3.5.3. Por lo tanto, el conjunto de vectores en el primer cuadrante no es un subespacio.

Esto demuestra algo importante, sin embargo. Supongamos que\(S\) es un subespacio y\(\mathbf v\) es un vector en\(S\text{.}\) Cualquier múltiplo escalar de\(\mathbf v\) es una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(S\) así debe estar en también. Esto significa que la línea que contiene\(\mathbf v\) debe estar en\(S\text{.}\)

Con esto en mente, consideremos otro ejemplo donde miramos vectores que se encuentran en el primer o tercer cuadrante; es decir, consideraremos vectores de la forma\(\twovec{x}{y}\) donde cualquiera\(x,y\geq 0\) o\(x,y\leq 0\text{,}\) como se ve a la izquierda de la Figura 3.5.4.

Figura 3.5.4. El conjunto de vectores en el primer y tercer cuadrante no es un subespacio de\(\mathbb R^2\text{.}\)

Si\(\mathbf v\) es un vector en este conjunto, entonces la línea que contiene\(\mathbf v\) está en el conjunto. Sin embargo, si consideramos los vectores\(\mathbf v = \twovec{0}{3}\) y\(\mathbf w=\twovec{-2}{0}\text{,}\) entonces su suma no\(\mathbf v+\mathbf w = \twovec{-2}{3}\) está en el subconjunto, como se ve a la derecha de la Figura 3.5.4. Este subconjunto tampoco es un subespacio.

Ejemplo 3.5.5. Subconjuntos que son subespacios

Veamos\(\mathbb R^2\) y consideremos\(S\text{,}\) el conjunto de vectores que se encuentran en el\(x\) eje; es decir, vectores que tienen la forma\(\twovec{x}{0}\text{,}\) como se muestra a la izquierda de la Figura 3.5.6. Cualquier múltiplo escalar de un vector que se encuentre en el\(x\) eje también se encuentra en el\(x\) eje. Además, cualquier suma de vectores que se encuentran en el\(x\) eje también se encuentra en el\(x\) eje. Por lo tanto,\(S\) es un subespacio de\(\mathbb R^2\text{.}\) Aviso que\(S\) es el lapso del vector\(\twovec{1}{0}\text{.}\)

Figura 3.5.6. Las líneas a través del origen forman subespacios de\(\mathbb R^2\text{.}\)

De hecho, cualquier línea a través del origen forma un subespacio, como se ve a la derecha de la Figura 3.5.6. De hecho, cualquier línea de este tipo es el tramo de un vector distinto de cero en la línea.

Actividad 3.5.2.

Veremos algunos subespacios más de\(\mathbb R^2\text{.}\)

1. Explicar por qué una línea que no pasa por el origen, como se ve a la derecha, no es un subespacio de\(\mathbb R^2\text{.}\)

   
2. Explicar por qué cualquier subespacio de\(\mathbb R^2\) debe contener el vector cero\(\zerovec\text{.}\)
3. Explique por qué el subconjunto\(S\) de\(\mathbb R^2\) que consiste solo en el vector cero\(\zerovec\) es un subespacio de\(\mathbb R^2\text{.}\)
4. Explicar por qué el subespacio\(S=\mathbb R^2\) es en sí mismo un subespacio de\(\mathbb R^2\text{.}\)
5. Si\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) son dos vectores en un subespacio\(S\text{,}\) explican por qué\(\laspan{\mathbf v,\mathbf w}\) está contenido\(S\) también en el subespacio.

6. Supongamos que\(S\) es un subespacio de\(\mathbb R^2\) contener dos vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) que no son múltiplos escalares entre sí. ¿Cuál es el subespacio\(S\) en este caso?

   

Esta actividad introduce una idea importante. Supongamos que tenemos un subespacio\(S\) de\(\mathbb R^p\) y que\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n\) los vectores están en\(S\text{.}\) Sabemos que cualquier combinación lineal de estos vectores también debe estar en el subespacio\(S\text{.}\) Dado que el lapso de estos vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores, debe darse el caso de que \(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\)también está en el subespacio\(S\).

Con esto en mente, podemos enumerar todos los subespacios de\(\mathbb R^2\text{.}\) Si un subespacio\(S\) contiene un vector distinto de cero, entonces debe contener la línea que contiene ese vector. Si\(S\) contiene dos vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) que no son múltiplos escalares el uno del otro,\(\laspan{\mathbf v,\mathbf w} = \mathbb R^2\) entonces entonces el subespacio\(S\) debe ser todo\(\mathbb R^2\text{.}\) Estas son las únicas posibilidades:

• El subespacio\(S=\{\zerovec\}\) que consiste únicamente en el vector cero.
• Una línea a través del origen.
• El subespacio\(S=\mathbb R^2\text{.}\)

Los subespacios son los subconjuntos más simples de\(\mathbb R^p\text{;}\) ellos son subconjuntos en los que podemos realizar las operaciones habituales de multiplicación escalar y suma de vectores sin abandonar el subconjunto. Así como podemos crear bases para\(\mathbb R^p\text{,}\) nosotros también podemos crear bases para subespacios.

Definición 3.5.7

Una base para un subespacio\(S\) de\(\mathbb R^p\) es un conjunto de vectores en\(S\) que son linealmente independientes y abarcan\(S\text{.}\) Se puede ver que dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores. Por lo tanto, decimos que la dimensión del subespacio\(S\text{,}\) denotada\(\dim S\text{,}\) es el número de vectores en cualquier base.

Con esto en mente, podemos describir los posibles espacios de\(\mathbb R^3\text{.}\)

• El subespacio\(S=\{\zerovec\}\) es un subespacio cuya dimensión es 0.

• Una línea que atraviesa el origen es un subespacio cuya dimensión es 1. Cualquier vector distinto de cero en la línea forma una base.

  

• Un plano que atraviesa el origen es un subespacio cuya dimensión es 2. Por ejemplo, los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) forman una base para el subespacio que se muestra aquí.

  
• Por último, el subespacio\(S=\mathbb R^3\) es un subespacio de\(\mathbb R^3\) cuya dimensión es 3.

Por supuesto, no puede haber un subespacio\(\mathbb R^3\) cuya dimensión sea cuatro o superior ya que cualquier conjunto de cuatro vectores en\(\mathbb R^3\) no puede ser linealmente independiente.

Estamos más interesados en dos subespacios que están naturalmente asociados a una matriz. Con estos antecedentes, ya estamos listos para presentarlos.

El espacio nulo de\(A\)

Cuando miramos la independencia lineal de las columnas de una matriz\(A\) en la Sección 2.4, nos llevaron a considerar la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\) Observamos que este espacio de solución forma un subespacio al que llamamos el espacio nulo de\(A\text{.}\)

Definición 3.5.8

Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, llamamos al subconjunto de vectores\(\mathbf x\) en\(\mathbb R^n\) satisfacer\(A\mathbf x = \zerovec\) el espacio nulo de\(A\text{.}\) Lo denotamos como\(\nul(A)\text{.}\)

La linealidad de la multiplicación matricial, expresada en la Proposición 2.2.3, nos dice que\(\nul(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^n\text{.}\) Si\(\mathbf x_1\) y\(\mathbf x_2\) son ambos vectores en lo\(\nul(A)\text{,}\) sabemos\(A\mathbf x_1 = \zerovec\) y\(A\mathbf x_2 = \zerovec\text{.}\) Una combinación lineal de\(\mathbf x_1\) y se\(\mathbf x_2\) puede escribir como\(c_1\mathbf x_1 + c_2\mathbf x_2\text{.}\) Esta combinación lineal está en\(\nul(A)\) porque

\ begin {ecuación*} A (c_1\ mathbf x_1 + c_2\ mathbf x_2) = C_1a\ mathbf x_1 + C_2a\ mathbf x_2 = c_1\ zerovec + c_2\ zerovec =\ zerovec\ text {.} \ end {ecuación*}

Actividad 3.5.3.

Exploraremos algunos espacios nulos en esta actividad.

1. Considerar la matriz
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -1\\ -2 & 0 & -4\\ 1 & 2 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   y dar una descripción paramétrica del espacio nulo\(\nul(A)\text{.}\)

2. Dar una base para y exponer la dimensión de\(\nul(A)\text{.}\)
3. El espacio nulo\(\nul(A)\) es un subespacio\(\mathbb R^p\) para el cual\(p\text{?}\)
4. Ahora considere la matriz\(A\) cuya forma de escalón de fila reducida se da:
   \ begin {ecuación*} A\ sim\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Dar una descripción paramétrica de\(\nul(A)\text{.}\)

5. Observe que la descripción paramétrica da un conjunto de vectores que abarcan\(\nul(A)\text{.}\) Explicar por qué este conjunto de vectores es linealmente independiente y por lo tanto forma una base. ¿Cuál es la dimensión de\(\nul(A)\text{?}\)
6. Para esta matriz,\(\nul(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^p\) para lo que\(p\text{?}\)
7. ¿Cuál es la relación entre las dimensiones de la matriz,\(A\text{,}\) el número de posiciones de pivote\(A\) y la dimensión de\(\nul(A)\text{?}\)
8. Supongamos que las columnas de una matriz\(A\) son linealmente independientes. ¿Qué puedes decir sobre\(\nul(A)\text{?}\)
9. Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible, ¿qué puedes decir sobre\(\nul(A)\text{?}\)
10. Supongamos que\(A\) es una\(5\times 10\) matriz y que\(\nul(A) = \mathbb R^{10}\text{.}\) ¿Qué puedes decir de la matriz?\(A\text{?}\)

Consideremos un ejemplo propio. Supongamos que tenemos una matriz\(A\) y su forma de escalón de fila reducida:

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrrr} 2 & 0 & -4 & -6 & 0\\ -4 & -1 & 7 & 11 & 2\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 2\\ end {array}\ derecha]\ sim\ left [\ begin {array} {rrrrr} 1 & 0 & -2 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Encontrar una descripción paramétrica del espacio de solución para\(A\mathbf x=\zerovec\text{,}\) imaginar que aumentamos tanto como\(A\) su forma de escalón de fila reducida por una columna de ceros, lo que lleva a las ecuaciones

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {6} x_1 & & & {} - {} - {} & 2x_3 & {} - {} & 3x_4 & & & {} = {} & 0\\ & & x_2 & {} + {} & x_3 & {} + {} & x_4 & {} - {} - {} & 2x_5 & {} = {} & 0\\\ final {alineada}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Observe que\(x_3\text{,}\)\(x_4\text{,}\) y\(x_5\) son variables libres así que reescribimos estas ecuaciones como

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} x_1 & {} = {} 2x_3 + 3x_4\\ x_2 & {} = {} -x_3 - x_4 + 2x_5\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Escribiendo esto como vector, tenemos

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x & {} = {}\ fivevec {x_1} {x_2} {x_3} {x_4} {x_5} =\ fivevec {2x_3 + 3x_4} {-x_3-x_4+2x_5} {x_3} {x_4} {x_5}\\\\ & {} = {} x_3\ fivevec {2} {-1} {1} {0} {0} +x_4\ fivevec {3} {-1} {0} {1} {0} +x_5\ fivevec {0} {2} {0} {0} {0} {1}\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Esta expresión dice que cualquier vector que\(\mathbf x\) satisfaga\(A\mathbf x= \zerovec\) es una combinación lineal de los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ fivevec {2} {-1} {1} {0} {0},\ mathbf v_2 =\ fivevec {3} {-1} {0} {0} {1},\ mathbf v_3 =\ fivevec {0} {2} {0} {0} {0} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

Es fácil ver que estos vectores son linealmente independientes. Recuerde que vimos en la Sección 2.4 que este conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguna combinación lineal\(c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 + c_3\mathbf v_3 = \zerovec\) implica que\(c_1=c_2=c_3 = 0\text{.}\) Pero esta combinación lineal sería

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 + c_3\ mathbf v_3 & {} = {} c_1\ fivevec {2} {-1} {1} {0} {0} +c_2\ fivevec {3} {-1} {0} {0} {1} {0} +c_3\ fivevec {0} {2} {0} {0} {1}\\\ & {} = {}\ fivevec {2c_1 + 3c_2} {-c_1-c_2+2c_3} {c_1} {c_2} {c_3} =\ fivevec {0} {0} {0} {0} {0} {0}\ fin alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Esta expresión muestra que\(c_1=c_2=c_3=0\) así los vectores son linealmente independientes.

Por lo tanto, vemos que los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ fivevec {2} {-1} {1} {0} {0},\ mathbf v_2 =\ fivevec {3} {-1} {0} {0} {1} {0},\ mathbf v_3 =\ fivevec {0} {2} {0} {0} {0} {1}\ end {equation* *}

forman una base para\(\nul(A)\) mostrar que\(\nul(A)\) es un subespacio tridimensional de\(\mathbb R^5\text{.}\)

Observe que la dimensión de\(\nul(A)\) es igual al número de variables libres, lo que equivale al número de columnas de\(A\) menos el número de posiciones de pivote. Este ejemplo ilustra un principio general que motiva la siguiente dimensión.

Definición 3.5.9

El\(rank\) de una matriz\(A\text{,}\) denotada\(\rank(A)\text{,}\) es el número de posiciones de pivote de\(A\text{.}\)

Como se ilustra en el ejemplo anterior, si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, entonces\(\nul(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^n\) y

\ comenzar {ecuación*}\ dim~\ nul (A) = n -\ rango (A)\ final {ecuación*}

o

\ comenzar {ecuación*}\ dim~\ nul (A) +\ rango (A) = n\ texto {.} \ end {ecuación*}

Podemos considerar dos casos extremos. Si\(\nul(A)=\{\zerovec\}\text{,}\) entonces es\(\dim~\nul(A) = 0\) así que\(\rank(A) = n\text{.}\) Esto significa que el número de posiciones de pivote es igual al número de columnas. En este caso, no hay variables libres en la descripción de las soluciones a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\) por lo que solo existe la solución trivial. Esto es exactamente lo que estamos diciendo cuando decimos que\(\nul(A) = \{\zerovec\}\text{.}\)

Del mismo modo, si\(\nul(A) = \mathbb R^n\text{,}\) entonces lo\(\dim~\nul(A) = n\text{,}\) que implica que\(\rank(A) = 0\text{.}\) Esto\(A\) significa que no tiene ninguna posición de pivote y así\(A\) debe ser la matriz cero\(0\text{.}\) Esto también es consistente con lo que ya sabemos: si\(\nul(A)=\mathbb R^n\text{,}\) entonces\(A\mathbf x = \zerovec\) para cualquier vector\(\mathbf x\text{.}\) Esto solo puede ser verdad si\(A = 0\text{.}\)

El espacio de columna de\(A\)

Además del espacio nulo, el otro subespacio que está naturalmente asociado a una matriz\(A\) es su espacio de columna.

Definición 3.5.10

Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, llamamos al span de sus columnas el espacio de columna de\(A\) y lo denotamos como\(\col(A)\text{.}\)

Observe que las columnas de\(A\) son vectores en\(\mathbb R^m\text{,}\) lo que significa que cualquier combinación lineal de las columnas también está en\(\mathbb R^m\text{.}\) El espacio de columnas es, por lo tanto, un subconjunto de\(\mathbb R^m\text{.}\)

También podemos ver\(\col(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^m\text{.}\) Primero, notar que un vector está en\(\col(A)\) si es una combinación lineal de las columnas de\(A\text{.}\) Esto quiere decir que\(\mathbf b\) está en\(\col(A)\) si hay un vector\(\mathbf x\) tal que\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) Para ver que\(\col(A)\) es un subespacio de \(\mathbb R^m\text{,}\)necesitamos comprobar que cualquier combinación lineal de vectores en también\(\col(A)\) está en\(\col(A)\text{.}\) Esto sigue, una vez más, de la linealidad de la multiplicación matricial expresada en la Proposición 2.2.3.

Si vectores\(\mathbf b_1\) y\(\mathbf b_2\) están en\(\col(A)\text{,}\) entonces hay vectores\(\mathbf x_1\) y\(\mathbf x_2\) tal que\(A\mathbf x_1 = \mathbf b_1\) y\(A\mathbf x_2 = \mathbf b_2\text{.}\) Por lo tanto, si tenemos una combinación lineal de\(\mathbf b_1\) y\(\mathbf b_2\text{,}\) entonces

\ begin {ecuación*} c_1\ mathbf b_1+c_2\ mathbf b_2 = C_1a\ mathbf x_1 + C_2a\ mathbf x_2 = A (c_1\ mathbf x_1+c_2\ mathbf x_2)\ text {,}\ end {ecuación*}

que muestra que la combinación lineal se encuentra en sí misma en el espacio de columna de\(A\text{.}\) Por lo tanto,\(\col(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^m\text{.}\)

Actividad 3.5.4.

Exploraremos algunos espacios de columna en esta actividad.

1. Considerar la matriz
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf v_3\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -1\ -2 & 0 & -4\\ 1 & 2 & 0\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Ya que\(\col(A)\) es el lapso de las columnas, los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) naturalmente span\(\col(A)\text{.}\) ¿Son estos vectores linealmente independientes?

2. Mostrar que se\(\mathbf v_3\) puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Luego explicar por qué\(\col(A)=\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{.}\)
3. Explicar por qué los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) forman una base para\(\col(A)\text{.}\) Esto demuestra que\(\col(A)\) es un subespacio bidimensional de\(\mathbb R^2\) y por lo tanto es un plano.
4. Ahora considere la matriz\(A\) y su forma de escalón de fila reducida:
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} -2 & -4 & 0 & 6\\ 1 & 2 & 0 & -3\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Vamos a llamar a las columnas\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\)\(\mathbf v_3\text{,}\) y\(\mathbf v_4\text{.}\) explicar por qué\(\mathbf v_2\text{,}\)\(\mathbf v_3\text{,}\) y se\(\mathbf v_4\) puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{.}\)

5. \(\col(A)\)Explique por qué es un subespacio unidimensional de\(\mathbb R^2\) y por lo tanto es una línea.
6. Cuál es la relación entre la dimensión\(\dim~\col(A)\) y el rango\(\rank(A)\text{?}\)
7. Cuál es la relación entre la dimensión del espacio de columna\(\col(A)\) y el espacio nulo\(\nul(A)\text{?}\)
8. Si\(A\) es una\(9\times9\) matriz invertible, qué se puede decir sobre el espacio de columna\(\col(A)\text{?}\)
9. Si\(\col(A)=\{\zerovec\}\text{,}\) qué puedes decir de la matriz\(A\text{?}\)

Una vez más, consideraremos la matriz\(A\) y su forma de escalón de fila reducida:

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrrr} 2 & 0 & -4 & -6 & 0\\ -4 & -1 & 7 & 11 & 2\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 2\\ end {array}\ derecha]\ sim\ left [\ begin {array} {rrrrr} 1 & 0 & -2 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Denotaremos las columnas como\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_5\text{.}\)

Ciertamente es cierto que\(\col(A) = \laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_5}\) por la definición del espacio de columna. Sin embargo, la forma de escalón de fila reducida de la matriz nos muestra que los vectores no son linealmente independientes por lo que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_5\) no forman una base para\(\col(A)\text{.}\)

De la forma de escalón de fila reducida, sin embargo, podemos ver que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf v_3 & {} = {} -2\ mathbf v_1 +\ mathbf v_2\\\ mathbf v_4 & {} = {} -3\ mathbf v_1 +\ mathbf v_2\\ mathbf v_5 & {} = {} = {} -2\ mathbf v_2\\ end {alineado}\ texto.} \ end {ecuación*}

Esto significa que cualquier combinación lineal de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_5\) puede escribirse como una combinación lineal de justo\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Por lo tanto, vemos que\(\col(A) = \laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{.}\) Además, la forma de escalón de fila reducida muestra eso\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) son linealmente independientes, lo que implica que forman una base para \(\col(A)\text{.}\)Por lo tanto,\(\col(A)\) es un subespacio bidimensional del\(\mathbb R^3\text{,}\) cual es un plano en\(\mathbb R^3\text{,}\) tener base

\ begin {ecuación*}\ threevec {2} {-4} {0},\ qquad\ threevec {0} {-1} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

En general, una columna sin una posición de pivote se puede escribir como una combinación lineal de las columnas que tienen posiciones de pivote. Esto significa que una base para siempre\(\col(A)\) estará dada por las columnas de\(A\) tener posiciones de pivote. Por lo tanto, la dimensión del espacio de columna\(\col(A)\) es igual al rango\(\rank(A)\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ dim~\ col (A) =\ rango (A)\ texto {.} \ end {ecuación*}

Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, esto también dice que

\ begin {ecuación*}\ dim~\ nul (A) +\ dim~\ col (A) = n\ texto {.} \ end {ecuación*}

Si\(A\) tiene una posición de pivote en cada fila, entonces\(\dim~\col(A) = \rank(A) = m\text{.}\) Esto implica que\(\col(A)\) es un subespacio\(m\) -dimensional de\(\mathbb R^m\) y por lo tanto,\(\col(A) = \mathbb R^m\text{.}\) Esto concuerda con nuestras exploraciones anteriores en las que encontramos que las columnas de una matriz abarcan\(\mathbb R^m\) si hay un pivote en cada fila.

En el otro extremo, supongamos que\(\dim~\col(A) = 0\text{.}\) La matriz\(A\) entonces no tiene pivotes, lo que quiere decir que\(A\) debe ser la matriz cero\(0\text{.}\)

Resumen

Una vez más, nos encontramos volviendo a examinar nuestras dos cuestiones fundamentales, expresadas en la Pregunta 1.4.2, relativas a la existencia y singularidad de las soluciones a los sistemas lineales. El espacio de columna\(\col(A)\) contiene todos los vectores\(\mathbf b\) para los que la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es consistente. El espacio nulo\(\nul(A)\) describe el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\text{,}\) y su dimensión nos dice si esta ecuación tiene una solución única.

• Un subconjunto\(S\) de\(\mathbb R^p\) es un subespacio de\(\mathbb R^p\) si alguna combinación lineal de vectores en también\(S\) está en\(S\text{.}\) Esto esencialmente significa que podemos realizar las operaciones vectoriales habituales de multiplicación escalar y adición de vectores sin dejar\(S\text{.}\) una base de un subespacio \(S\)es un conjunto linealmente indepedent de vectores en\(S\) cuyo span es\(S\text{.}\)
• Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, entonces su espacio nulo\(\nul(A)\) es el espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\) Es un subespacio de\(\mathbb R^n\text{.}\)
• Una base para\(\nul(A)\) se encuentra a través de una descripción paramétrica del espacio de solución de\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\) Vemos que\(\dim~\nul(A) = n - \rank(A)\text{.}\)
• El espacio de columna\(\col(A)\) es el tramo de las columnas de\(A\) y forma un subespacio de\(\mathbb R^m\text{.}\)
• Una base para\(\col(A)\) se encuentra a partir de las columnas de\(A\) que tienen posiciones de pivote. Por lo tanto, la dimensión es\(\dim~\col(A) = \rank(A)\text{.}\)

Ejercicios

1

Supongamos que\(A\) y su forma de escalón de fila reducida son

\ begin {ecuation*} A =\ left [\ begin {array} {rrrrrr} 0 & 2 & 0 & -4 & 0 & 6\\ 0 & -4 & -1 & 7 & 0 & -16\\ 0 & 6 & 0 & -12 & 3 & 15\ 0 & 4 & -1 & -9 & 0 & 8\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrrrrr} 0 & 1 y 0 & ; -2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. El espacio nulo\(\nul(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^p\) para lo que\(p\text{?}\) El espacio de columna\(\col(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^p\) para lo que\(p\text{?}\)
2. ¿Cuáles son las dimensiones\(\dim~\nul(A)\) y\(\dim~\col(A)\text{?}\)
3. Encontrar una base para el espacio de columna\(\col(A)\text{.}\)
4. Encontrar una base para el espacio nulo\(\nul(A)\text{.}\)

2

Supongamos que

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 2 & 0 & -2 & -4\\ -2 & -1 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -1 & -2\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Es el vector\(\threevec{0}{-1}{-1}\) en\(\col(A)\text{?}\)
2. Es el vector\(\fourvec{2}{1}{0}{2}\) en\(\col(A)\text{?}\)
3. Es el vector\(\threevec{2}{-2}{0}\) en\(\nul(A)\text{?}\)
4. Es el vector\(\fourvec{1}{-1}{3}{-1}\) en\(\nul(A)\text{?}\)
5. Es el vector\(\fourvec{1}{0}{1}{-1}\) en\(\nul(A)\text{?}\)

3

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta. A menos que se indique lo contrario, supongamos que\(A\) es una\(m\times n\) matriz.

1. Si\(A\) es una\(127\times 341\) matriz, entonces\(\nul(A)\) es un subespacio de\(\mathbb R^{127}\text{.}\)
2. Si\(\dim~\nul(A) = 0\text{,}\) entonces las columnas de\(A\) son linealmente independientes.
3. Si\(\col(A) = \mathbb R^m\text{,}\) entonces\(A\) es invertible.
4. Si\(A\) tiene una posición de pivote en cada columna, entonces\(\nul(A) = \mathbb R^m\text{.}\)
5. Si\(\col(A) = \mathbb R^m\) y\(\nul(A) = \{\zerovec\}\text{,}\) entonces\(A\) es invertible.

4

Explique por qué son ciertas las siguientes afirmaciones.

1. Si\(B\) es invertible, entonces\(\nul(BA) = \nul(A)\text{.}\)
2. Si\(B\) es invertible, entonces\(\col(AB) = \col(A)\text{.}\)
3. Si\(A\sim A'\text{,}\) entonces\(\nul(A) = \nul(A')\text{.}\)

5

Para cada una de las siguientes condiciones, construya una\(3\times 3\) matriz que tenga las propiedades dadas.

1. \(\dim~\nul(A) = 0\text{.}\)
2. \(\dim~\nul(A) = 1\text{.}\)
3. \(\dim~\nul(A) = 2\text{.}\)
4. \(\dim~\nul(A) = 3\text{.}\)

6

Supongamos que\(A\) es una\(3\times 4\) matriz.

1. ¿Es posible que\(\dim~\nul(A) = 0\text{?}\)
2. Si\(\dim~\nul(A) = 1\text{,}\) qué puedes decir sobre\(\col(A)\text{?}\)
3. Si\(\dim~\nul(A) = 2\text{,}\) qué puedes decir sobre\(\col(A)\text{?}\)
4. Si\(\dim~\nul(A) = 3\text{,}\) qué puedes decir sobre\(\col(A)\text{?}\)
5. Si\(\dim~\nul(A) = 4\text{,}\) qué puedes decir sobre\(\col(A)\text{?}\)

7

Considerar los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {2} {3} {-1},\ mathbf v_2 =\ threevec {-1} {2} {4},\ mathbf w_1 =\ fourvec {3} {-1} {1} {0},\ mathbf w_2 =\ fourvec {-2} {4} {0} {1}\ end {ecuación*}

y supongamos que\(A\) es una matriz tal que\(\col(A)=\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\) y\(\nul(A) = \laspan{\mathbf w_1,\mathbf w_2}\text{.}\)

1. ¿Cuáles son las dimensiones de\(A\text{?}\)
2. Encuentra una matriz de este tipo\(A\text{.}\)

8

Supongamos que\(A\) es una\(8\times 8\) matriz y que\(\det A = 14\text{.}\)

1. ¿Qué puedes concluir sobre\(\nul(A)\text{?}\)
2. ¿Qué puedes concluir sobre\(\col(A)\text{?}\)

9

Supongamos que\(A\) es una matriz y hay una matriz invertible\(P\) tal que

\ begin {ecuación*} A = P~\ left [\ begin {array} {rrr} 2 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha] ~P^ {-1}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. ¿Qué puedes concluir sobre\(\nul(A)\text{?}\)
2. ¿Qué puedes concluir sobre\(\col(A)\text{?}\)

10

En esta sección, vimos que el espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\) es un subespacio de\(\mathbb R^p\) para algunos\(p\text{.}\) En este ejercicio, investigaremos si el espacio de solución a otra ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) puede formar un subespacio.

Consideremos la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & -4\\ -1 & 2\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Encontrar una descripción paramétrica del espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)

2. Grafique el espacio de solución a la ecuación homogénea a la derecha.

   
3. Encuentre una descripción paramétrica del espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \twovec{4}{-2}\) y gráfiquelo arriba.
4. ¿Es el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \twovec{4}{-2}\) un subespacio de\(\mathbb R^2\text{?}\)
5. Encuentre una descripción paramétrica del espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x=\twovec{-8}{4}\) y gráfiquelo arriba.
6. ¿Qué se puede decir de todos los espacios de solución a ecuaciones de la forma\(A\mathbf x = \mathbf b\) cuando\(\mathbf b\) es un vector en\(\col(A)\text{?}\)
7. Supongamos que el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) forma un subespacio. Explique por qué debe ser cierto que\(\mathbf b = \zerovec\text{.}\)