1.2: Usando Matrices para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

Objetivos de aprendizaje

• ¿Qué tiene de destacarse la definición de una matriz?
• Las líneas verticales de números en una matriz se llaman ¿qué?
• En una matriz\(A\), la entrada\(a_{53}\) se refiere a qué entrada?
• ¿Qué es una matriz aumentada?

En la Sección 1.1 resolvimos un sistema lineal utilizando técnicas familiares. Posteriormente, comentamos que en las ecuaciones lineales que formamos, la información más importante fueron los coeficientes y las constantes; los nombres de las variables realmente no importaban. En el Ejemplo 1.1.1 tuvimos las siguientes tres ecuaciones:\[\begin{align}\begin{aligned} r+b+g&=30\\ r&=2g\\ b&=r+g\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Vamos a reescribir estas ecuaciones para que todas las variables estén a la izquierda del signo igual y todas las constantes estén a la derecha. Además, para un poco más de consistencia, enumeremos las variables en orden alfabético en cada ecuación. Por lo tanto podemos escribir las ecuaciones como\[\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ &-&2g&+&r&=&0\\ -b&+&g&+&r&=&0 \end{array}.\label{eq:before_matrix} \]

Como mencionamos antes, no hay una sola forma “correcta” de encontrar la solución a este sistema de ecuaciones. Aquí hay otra forma de hacerlo, una manera que es un poco diferente a nuestro método en la Sección 1.1.

Primero, sumemos la primera y la última ecuaciones juntas, y escribamos el resultado como una nueva tercera ecuación. Esto nos da:\[\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ &-&2g&+&r&=&0\\ & &2g&+&2r&=&30 \end{array}. \nonumber \] Una buena característica de esto es que la única ecuación con un\(b\) en ella es la primera ecuación.

Ahora multipliquemos la segunda ecuación por\(-\frac12\). Esto da\[\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ & & g&-&1/2r&=&0\\ & &2g&+&2r&=&30 \end{array}. \nonumber \]

Ahora hagamos dos pasos seguidos; nuestro objetivo es deshacernos de los\(g\)'s en la primera y tercera ecuaciones. Para eliminar el\(g\) en la primera ecuación, multipliquemos por la segunda ecuación\(-1\) y agreguemos eso a la primera ecuación, reemplazando la primera ecuación con esa suma. Para eliminar el\(g\) en la tercera ecuación, multipliquemos la segunda ecuación por\(-2\) y agreguemos eso a la tercera ecuación, reemplazando la tercera ecuación. Nuestro nuevo sistema de ecuaciones se convierte ahora\[\begin{array}{ccccccc} b&+& & &3/2r&=&30\\ & &g&-&1/2r&=&0\\ & & & &3r&=&30 \end{array}. \nonumber \]

Claramente podemos multiplicar la tercera ecuación por\(\frac13\) y\(r=10\) encontrarla; hagamos de esta nuestra nueva tercera ecuación, dando\[\begin{array}{ccccccc} b&+& & &3/2r&=&30\\ & &g&-&1/2r&=&0\\ & & & &r&=&10 \end{array}. \nonumber \]

Ahora vamos a deshacernos de los\(r\)'s en la primera y segunda ecuación. Para eliminar el\(r\) en la primera ecuación, multipliquemos la tercera ecuación por\(-\frac32\) y agreguemos el resultado a la primera ecuación, reemplazando la primera ecuación con esa suma. Para eliminar el\(r\) en la segunda ecuación, podemos multiplicar la tercera ecuación por\(\frac12\) y agregarlo a la segunda ecuación, reemplazando la segunda ecuación con esa suma. Esto nos da:\[\begin{array}{ccccccc} b& & & & &=&15\\ & &g& & &=&5\\ & & & &r&=&10 \end{array}. \nonumber \] Claramente hemos descubierto el mismo resultado que cuando resolvimos este problema en la Sección 1.1.

Ahora vuelve a revisar la idea de que lo único que realmente importa son los coeficientes y las constantes. No hay nada especial en las letras\(b\),\(g\) y\(r\); podríamos haber usado\(x\),\(y\) y\(z\) o\(x_1\),\(x_2\) y\(x_3\). E incluso entonces, ya que escribimos nuestras ecuaciones con tanto cuidado, realmente no necesitábamos escribir los nombres de las variables en absoluto siempre y cuando pusiéramos las cosas “en el lugar correcto”.

Veamos de nuevo nuestro sistema de ecuaciones en\(\eqref{eq:before_matrix}\) y escribamos los coeficientes y las constantes en una matriz rectangular. Esta vez no vamos a ignorar los ceros, sino que los escribiremos. \[\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ &-&2g&+&r&=&0\\ -b&+&g&+&r&=&0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{cccc} 1&1&1&30\\ 0&-2&1&0\\ -1&1&1&0\end{array}\right] \nonumber \]Observe cómo incluso se han ido los signos iguales; no los necesitamos, pues sabemos que la última columna contiene los coeficientes.

Acabamos de crear una matriz. La definición de matriz es notable sólo por lo poco notable que parece.

Definición: Matrix

Una matriz es una matriz rectangular de números.
Las líneas horizontales de números forman filas y las líneas verticales de números forman columnas. Una matriz con\(m\) filas y\(n\) columnas se dice que es una\(m\times n\) matriz (“una\(m\) por\(n\) matriz”).
Las entradas de una\(m\times n\) matriz se indexan de la siguiente manera:\[\left[\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right]. \nonumber \]

Es decir,\(a_{32}\) significa “el número en la tercera fila y segunda columna”.

En el futuro, vamos a querer crear matrices con solo los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y dejar fuera las constantes. Por lo tanto, cuando incluimos las constantes, a menudo nos referimos a la matriz resultante como una matriz aumentada.

Podemos usar matrices aumentadas para encontrar soluciones a ecuaciones lineales usando esencialmente los mismos pasos que usamos anteriormente. Cada vez que usamos la palabra “ecuación” arriba, sustituya la palabra “fila”, como mostramos a continuación. Los comentarios explican cómo pasamos del conjunto actual de ecuaciones (o matriz) a la de la siguiente línea.

Podemos usar una taquigrafía para describir operaciones matriciales; let\(R_1\),\(R_2\) representar “fila 1” y “fila 2”, respectivamente. Podemos escribir “agregar fila 1 a fila 3, y reemplazar la fila 3 con esa suma” como “”\(R_1+R_3\rightarrow R_3\). La expresión “\(R_1 \leftrightarrow R_2\)” significa “fila de intercambio 1 y fila 2”.

\(\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ &-&2g&+&r&=&0\\ -b&+&g&+&r&=&0 \end{array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{30} \\ {0}&{-2}&{1}&{0} \\ {-1}&{1}&{1}&{0}\end{array}\right]\)
Reemplazar la ecuación 3 con la suma de las ecuaciones 1 y 3	Reemplace la fila 3 por la suma de las filas 1 y 3. \((R_{1}+R_{3}\to R_{3})\)
\(\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ &-&2g&+&r&=&0\\ & &2g&+&2r&=&30 \end{array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{30} \\ {0}&{-2}&{1}&{0} \\ {0}&{2}&{2}&{30}\end{array}\right]\)
Multiplicar la ecuación 2 por\(-\frac{1}{2}\)	Multiplicar fila 2 por\(-\frac{1}{2}\) \(\left(-\frac{1}{2}R_{2}\to R_{2}\right)\)
\(\begin{array}{ccccccc} b&+&g&+&r&=&30\\ &&g&+&-1/2r&=&0\\ & &2g&+&2r&=&30 \end{array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{0}&{1}&{1}&{30}\\{0}&{1}&{-\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{2}&{2}&{30}\end{array}\right]\)
Reemplazar la ecuación 1 con la suma de\((-1)\) veces la ecuación 2 más la ecuación 1; Reemplazar la ecuación 3 con la suma de\((-2)\) veces la ecuación 2 más la ecuación 3	Reemplazar la fila 1 con la suma de\((-1)\) veces la fila 2 más la fila 1 \((-R_{2}+R_{1}\to R_{1})\); Reemplazar la fila 3 con la suma de\((-2)\) veces la fila 2 más la fila 3 \((-2R_{2}+R_{3}\to R_{3})\)
\(\begin{array}{ccccccc} b&+& & &3/2r&=&30\\ & &g&-&1/2r&=&0\\ & & & &3r&=&30 \end{array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{\frac{3}{2}}&{30}\\{0}&{1}&{-\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{0}&{3}&{30}\end{array}\right]\)
Multiplicar la ecuación 3 por\(\frac{1}{3}\)	Multiplicar fila 3 por\(\frac{1}{3}\) \(\left(\frac{1}{3}R_{3}\to R_{3}\right)\)
\(\begin{array}{ccccccc} b&+& & &3/2r&=&30\\ & &g&-&1/2r&=&0\\ & & & &r&=&10 \end{array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{\frac{3}{2}}&{30}\\{0}&{1}&{-\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{10}\end{array}\right]\)
Reemplazar la ecuación 2 con la suma de\(\frac{1}{2}\) veces la ecuación 3 más la ecuación 2; Reemplazar la ecuación 1 con la suma de\(-\frac{3}{2}\) veces la ecuación 3 más la ecuación 1	Reemplazar la fila 2 con la suma de\(\frac{1}{2}\) veces la fila 3 más la fila 2 \(\left(\frac{1}{2}R_{3}+R_{2}\to R_{2}\right)\); Reemplazar la fila 1 con la suma de\(-\frac{3}{2}\) veces la fila 3 más la fila 1 \(\left(-\frac{3}{2}R_{3}+R_{1}\to R_{1}\right)\)
\(\begin{array}{ccccccc} b& & & & &=&15\\ & &g& & &=&5\\ & & & &r&=&10 \end{array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{15}\\{0}&{1}&{0}&{5}\\{0}&{0}&{1}&{10}\end{array}\right]\)

La matriz final contiene la misma información de solución que tenemos a la izquierda en forma de ecuaciones. Recordemos que la primera columna de nuestras matrices contenía los coeficientes de la\(b\) variable; la segunda y tercera columnas tenían los coeficientes de las\(r\) variables\(g\) y, respectivamente. Por lo tanto, la primera fila de la matriz puede interpretarse como “\(b+0g+0r=15\),” o de manera más concisa, “”\(b=15\).

Practicemos de nuevo esta manipulación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentre una solución al siguiente sistema de ecuaciones lineales manipulando simultáneamente las ecuaciones y las matrices aumentadas correspondientes. \[\begin{array}{ccccccc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\ 2x_1&+&2x_2&+&x_3&=&0\\ -1x_1&+&x_2&-&2x_3&=&2 \end{array} \nonumber \]

Solución

Primero convertiremos este sistema de ecuaciones en una matriz, luego procederemos manipulando el sistema de ecuaciones (y de ahí la matriz) para encontrar una solución. Nuevamente, no hay una sola forma “correcta” de proceder; elegiremos un método que sea bastante eficiente, pero ciertamente existen otros métodos (¡y pueden ser “mejores”!). El método que se usa aquí, sin embargo, es bueno, y es el método que vamos a estar aprendiendo en el futuro.

El sistema dado y su correspondiente matriz aumentada se ven a continuación.

Sistema original de ecuaciones	Matriz correspondiente
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\ 2x_1&+&2x_2&+&x_3&=&0\ -1x_1&+&x_2&-&2x_3&=&2\ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{0}\\{2}&{2}&{1}&{0}\\{-1}&{1}&{-2}&{2}\end{array}\right]\)

Procederemos tratando de\(x_1\) sacar la salida de la segunda y tercera ecuación.

Reemplazar la ecuación 2 con la suma de\((-2)\) veces la ecuación 1 más la ecuación 2; Reemplazar la ecuación 3 con la suma de la ecuación 1 y la ecuación 3	Reemplazar la fila 2 con la suma de\((-2)\) veces la fila 1 más la fila 2 \((-2R_{1}+R_{2}\to R_{2})\); Reemplazar la fila 3 con la suma de la fila 1 y la fila 3 \((R_{1}+R_{3}\to R_{3})\)
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\ & & & &-x_3&=&0\\ & &2x_2&-&x_3&=&2 \ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}&{0}\\{0}&{2}&{-1}&{2}\end{array}\right]\)

Observe que la segunda ecuación ya no contiene\(x_2\). Intercambiaremos el orden de las ecuaciones para que podamos seguir la convención de resolver para la segunda variable en la segunda ecuación.

Ecuaciones de intercambio 2 y 3	Intercambiar filas 2 y 3 \(R_{2}\leftrightarrow R_{3}\)
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\ & &2x_2&-&x_3&=&2\\ & & & &-x_3&=&0 \ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{-1}&{2}\\{0}&{0}&{-1}&{0}\end{array}\right]\)
Multiplicar la ecuación 2 por\(\frac{1}{2}\)	Multiplicar fila 2 por\(\frac{1}{2}\) \(\left(\frac{1}{2}R_{2}\to R_{2}\right)\)
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\ & &x_2&-&\ frac12x_3&=&1\ & & & -x_3&=&0 \ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{-\frac{1}{2}}&{1}\\{0}&{0}&{-1}&{0}\end{array}\right]\)
Multiplicar la ecuación 3 por\(-1\)	Multiplicar fila 3 por\(-1\) \((-1R_{3}\to R_{3})\)
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\ & &x_2&-&\ frac12x_3&=&1\ & & & & x_3&=&0 \ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{-\frac{1}{2}}&{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}\end{array}\right]\)

Observe que la última ecuación (y también la última fila de la matriz) muestran eso\(x_3=0\). Saber esto nos permitiría simplemente eliminar la\(x_3\) de las dos primeras ecuaciones. Sin embargo, haremos esto formalmente manipulando las ecuaciones (y filas) como lo hemos hecho anteriormente.

Reemplazar la ecuación 1 con la suma de\((-1)\) veces la ecuación 3 más la ecuación 1; Reemplazar la ecuación 2 con la suma de\(\frac{1}{2}\) veces la ecuación 3 más la ecuación 2	Reemplazar la fila 1 con la suma de\((-1)\) veces la fila 3 más la fila 1 \((-R_{3}+R_{1}\to R_{1})\); Reemplazar la fila 2 con la suma de\(\frac{1}{2}\) veces que la fila 3 más la fila 2 \(\left(\frac{1}{2}R_{3}+R_{2}\to R_{2}\right)\)
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1&+&x_2&&&&=&0\\ & &x_2&&&&=&1\\ & & & &x_3&=&0 \ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}\end{array}\right]\)

Observe cómo la segunda ecuación lo demuestra\(x_2 = 1\). Todo lo que queda por hacer es resolver por\(x_1\).

Reemplazar la ecuación 1 con la suma de\((-1)\) veces la ecuación 2 más la ecuación 1	Reemplazar la fila 1 con la suma de\((-1)\) veces la fila 2 más la fila 1 \((-R_{2}+R_{1}\to R_{1})\)
\ (\ begin {array} {ccccccc} x_1& & &&&&=&-1\\ & &x_2&&&&=&1\ & & & & &x_3&=&0 \ end {array}\)	\(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}\end{array}\right]\)

Obviamente las ecuaciones de la izquierda nos dicen eso\(x_1 = -1\),\(x_2 = 1\) y\(x_3=0\), y fíjense cómo la matriz de la derecha nos dice la misma información.