3.1: El teorema fundamental del álgebra

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El objetivo de esta sección es proporcionar una prueba del Teorema Fundamental del Álgebra utilizando conceptos que deberían resultarle familiares a partir de su estudio del Cálculo, y así comenzamos por proporcionar una formulación explícita.

Teorema 3.1.1. Dado cualquier entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) y cualquier elección de números complejos\(a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{C}\) con\(a_n\neq 0\), la ecuación polinómica

\[ a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0 = 0 \tag{3.1.1} \]

tiene al menos una solución\(z\in\mathbb{C}\).

Esta es una declaración notable. Ningún resultado análogo se mantiene para garantizar que existe una solución real a la Ecuación (3.1) si restringimos los coeficientes\(a_0, a_1, \ldots, a_n\) a ser números reales. Por ejemplo, no existe un número real que\(x\) satisfaga una ecuación tan simple como\(\pi x^2 + e = 0\). Del mismo modo, la consideración de ecuaciones polinómicas que tienen coeficientes enteros (resp. racionales) rápidamente nos obliga a considerar soluciones que no pueden ser números enteros (resp. números racionales). Así, los números complejos son especiales en este sentido.

El enunciado del Teorema Fundamental del Álgebra también se puede leer de la siguiente manera: Cualquier función polinómica compleja no constante definida en el plano complejo\(\mathbb{C}\) (cuando se piensa en como\(\mathbb{R}^{2}\)) tiene al menos una raíz, es decir, desaparece en al menos un lugar. Es en esta forma que proporcionaremos una prueba para el Teorema 3.1.1.

Dado el tiempo que ha existido el Teorema Fundamental del Álgebra, no debe sorprenderse de que haya muchas pruebas del mismo. Incluso ha habido libros enteros dedicados únicamente a explorar las matemáticas detrás de varias pruebas distintas. Diferentes pruebas surgen de intentar comprender la afirmación del teorema desde el punto de vista de diferentes ramas de la matemática. Esto conduce rápidamente a muchas interacciones no triviales con campos de las matemáticas como Análisis Real y Complejo, Topología y Álgebra Abstracta (Moderna). La diversidad de técnicas de prueba disponibles es otro indicio más de cuán fundamental y profundo es realmente el Teorema Fundamental del Álgebra.

Para probar el Teorema Fundamental del Álgebra usando Cálculo Diferencial, necesitaremos el Teorema de Valor Extremo para funciones de valor real de dos variables reales, que declaramos sin pruebas. En particular, formulamos este teorema en el caso restringido de funciones definidas en el disco cerrado\(D\) de radio\(R>0\) y centradas en el origen, es decir,

\[ D=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 \leq R^2\}. \]

Teorema 3.1.2. Dejar\(f: D\to \mathbb{R}\) ser una función continua en el disco cerrado\(D\subset \mathbb{R}^2\). Después\(f\) se acota y alcanza sus valores mínimos y máximos en\(D\). En otras palabras, existen puntos\(x_m, x_M \in D\) tales que

\[ f(x_m) \leq f(x) \leq f(x_M) \]

para cada elección de punto posible\(x\in D\).

Si definimos una función polinómica\(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) estableciendo\(f(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0\) como en la Ecuación (3.1.1), entonces note que podemos considerar\((x,y)\mapsto \vert f(x+i y)\vert\) como una función\(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\). Por un leve abuso de notación, denotamos esta función por\(\vert f(\,\cdot\,)\vert\) o\(|f|\). Al tratarse de una composición de funciones continuas (polinomios y la raíz cuadrada), vemos que también\(\vert f\vert\) es continua.

Lema 3.1.3. Dejar\(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) ser cualquier función polinómica. Entonces existe un punto\(z_0\in \mathbb{C}\) donde la función\(\vert f\vert\) alcanza su valor mínimo en\(\mathbb{R}\).

Prueba.

Si\(f\) es una función polinómica constante, entonces la declaración del Lema es trivialmente cierta ya que\(|f|\) alcanza su valor mínimo en cada punto de\(\mathbb{C}\). Así que elige, por ejemplo,\(z_{0} = 0\).

Si no\(f\) es constante, entonces el grado de definición polinómica\(f\) es al menos uno. En este caso, podemos denotar\(f\) explícitamente como en la Ecuación (3.1.1). Es decir, nos fijamos

\[ f(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0 \]

con\(a_n\neq 0\). Ahora, asuma\(z\neq 0\), y establece\(A=\max\{\vert a_0 \vert, \ldots,\vert a_{n-1}\vert\}\). Podemos obtener un límite inferior para\(\vert f(z)\vert\) lo siguiente:

\ begin {eqnarray*}
\ vert f (z)\ vert
&=&\ vert a_n\ vert\ vert\,\ vert z\ vert^n
\,\ bigl\ vert 1 +\ frac {a_ {n-1}} {a_n}\ frac {1} {z} +\ cdots+
\ frac {a_ {0}} {a_n}\ frac {1} {z^n}\ bigr\ vert\\
&\ geq&\ vert a_n\ vert\,\ vert z\ vert^n\,
\ bigl (1-\ frac {A} { \ vert a_n\ vert}\ sum_ {k=1} ^\ infty\ frac {1} {\ vert z\ vert^k}\ bigr)
=\ vert a_n\ vert\ vert\,\ vert z\ vert^n
\ bigl (1-\ frac {A} {\ vert a_n\ vert}\ frac {1} {\ z vert\ vert -1}\ bigr).
\ end {eqnarray*}

Por todo\(z\in \mathbb{C}\) lo que\(\vert z\vert \geq 2\), podemos simplificar aún más esta expresión y obtener

\ begin {eqnarray*}
\ vert f (z)\ vert
&\ geq&\ vert a_n\ vert\ vert\,\ vert z\ vert^n
\ bigl (1-\ frac {2A} {\ vert a_n\ vert\ vert\ vert z\ vert}\ bigr).
\ end {eqnarray*}

De esta desigualdad se deduce que existe\(R>0\) tal que\(\vert f(z) \vert > \vert f(0)\vert\), para todos\(z \in \mathbb{C}\) satisfactorios\(\vert z\vert > R\). Dejar\(D\subset \mathbb{R}^2\) ser el disco de radio\(R\) centrado en\(0\), y definir una función\(g:D\to\mathbb{R}\), por

\[ g(x,y)=\vert f(x+i y)\vert. \]

Ya que\(g\) es continuo, podemos aplicar el Teorema 3.1.2 con el fin de obtener un punto\((x_0,y_0)\in D\) tal\(g\) que alcance su mínimo en\((x_{0}, y_{0})\). Por la elección de\(R\) tenemos eso para\(z\in\mathbb{C}\setminus D\),\(\vert f(z)\vert > \vert g(0,0)\vert\geq \vert g(x_0,y_0)\vert\). Por lo tanto,\(\vert f\vert\) alcanza su mínimo en\(z=x_0+i y_0\).

Ahora probamos el Teorema Fundamental del Álgebra.

Prueba de Teorema 3.1.1.

Para nuestro argumento, nos basamos en el hecho de que la función\(\vert f\vert\) alcanza su valor mínimo por Lemma 3.1.3. \(z_0\in \mathbb{C}\)Sea un punto donde se logre el mínimo. Vamos a demostrar que si\(f(z_0)\neq 0\), entonces no\(z_0\) es un mínimo, demostrando así por contraposición que el valor mínimo de\(\vert f(z)\vert\) es cero. Por lo tanto,\(f(z_0)=0\).

Si\(f(z_0)\neq 0\), entonces podemos definir una nueva función\(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) configurando

\[ g(z)=\frac{f(z+z_0)}{f(z_0)}, \mbox{ for all } z\in \mathbb{C}. \]

Tenga en cuenta que\(g\) es un polinomio de grado\(n\), y que el mínimo de\(\vert f\vert\) se alcanza en\(z_0\) si y sólo si el mínimo de\(\vert g\vert\) se alcanza en\(z=0\). Además, es claro que\(g(0)=1\).

Más explícitamente,\(g\) viene dado por un polinomio de la forma

\[ g(z) = b_n z^n + \cdots + b_k z^k +1, \]

con\(n\geq 1\) y\(b_k\neq 0\), para algunos\(1\leq k\leq n\). Dejar\(b_k=\vert b_k\vert e^{i\theta}\), y considerar\(z\) de la forma

\ begin {ecuación}
z=r\ vert b_k\ vert^ {-1/k} e^ {i (\ pi -\ theta) /k},
\ label {eqn:z r}\ tag {3.1.2}
\ end {ecuación}

con\(r>0\).

Para\(z\) de esta forma tenemos

\[ g(z) = 1-r^k + r^{k+1} h(r), \]

donde\(h\) es un polinomio. Entonces, para\(r<1\), tenemos por el triángulo la desigualdad que

\[ \vert g(z)\vert \leq 1-r^k + r^{k+1}\vert h(r)\vert. \]

Por\(r > 0\) suficientemente pequeños tenemos\(r\vert h(r)\vert <1\), por la continuidad de la función\(r h(r)\) y el hecho de que se desvanece en\(r=0\). De ahí

\[ \vert g(z)\vert \leq 1-r^k(1- r\vert h(r)\vert)<1, \]

para algunos\(z\) que tengan la forma en la Ecuación (3.1.2) con\(r\in(0,r_0)\) y\(r_0>0\) suficientemente pequeña. Pero entonces el mínimo de la función\(\vert g\vert:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\) no puede ser igual a\(1\).

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