3.2: Factorización de polinomios
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En esta sección, presentamos varios hechos fundamentales sobre polinomios, incluyendo una forma equivalente del Teorema Fundamental del Álgebra. Si bien estos hechos deben ser familiares para usted, no obstante requieren una cuidadosa formulación y pruebas. Sin embargo, antes de exponer estos resultados, primero presentamos una revisión de los principales conceptos necesarios para trabajar más cuidadosamente con polinomios.
Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\cup\{0\}\) ser un entero no negativo, y dejar\(a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{C}\) ser números complejos. Entonces llamamos a la expresión
\[ p(z) = a_{n}z^{n} + \cdots + a_{1}z + a_{0} \]
un polinomio en la variable\(z\) con coeficientes\(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\). Si\(a_{n} \neq 0\), entonces decimos que\(p(z)\) tiene grado\(n\) (denotado\(\deg(p(z)) = n\)), y llamamos\(a_{n}\) al término principal de\(p(z)\). Además, si\(a_{n} = 1\), entonces llamamos\(p(z)\) un polinomio monico. Si, sin embargo\(n = a_{0} = 0\),, entonces llamamos\(p(z) = 0\) al polinomio cero y establecemos\(\deg(0) = -\infty\).
Finalmente, por una raíz (a.k.a. cero) de un polinomio\(p(z)\), nos referimos a un número complejo\(z_{0}\) tal que\(z = z_{0}\), al establecer, obtenemos el polinomio cero\(p(z_{0}) = 0\). Obsérvese, en particular, que cada número complejo es una raíz del polinomio cero.
Convención dicta que
- un polinomio de grado cero se llamará polinomio constante,
- un polinomio de grado uno se llamará polinomio lineal,
- un polinomio de grado dos se llamará polinomio cuadrático,
- un polinomio de grado tres se llamará polinomio cúbico,
- un polinomio grado cuatro llamarse polinomio cuadrico,
- un polinomio grado cinco llamarse polinomio quintico,
y así sucesivamente.
La suma y multiplicación de polinomios es una generalización directa de la suma y multiplicación de números reales, y grado interactúa con estas operaciones de la siguiente manera:
Lema 3.2.1. Dejar\(p(z)\) y\(q(z)\) ser polinomios distintos de cero. Entonces
- \(\deg\left(p(z) \pm q(z)\right) \leq \max\{\deg(p(z)), \deg(q(z))\}\)
- \(\deg\left(p(z)q(z)\right) = \deg(p(z)) + \deg(q(z))\).
Teorema 3.2.2.
Dado un entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) y cualquier opción de\(a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{C}\) con\(a_n\neq 0\), defina la función\(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) configurando
\[ f(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, \forall \, z \in \mathbb{C}. \]
En otras palabras,\(f\) es una función polinómica de grado\(n\). Entonces
- dado cualquier número complejo\(w \in \mathbb{C}\), tenemos que\(f(w) = 0\) si y sólo si existe una función polinómica\(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) de grado\(n-1\) tal que\[ f(z) = (z - w) g(z), \forall \, z \in \mathbb{C}. \]
- hay a lo sumo\(n\) distintos números complejos\(w\) para los cuales\(f(w) = 0\). En otras palabras,\(f\) tiene a lo sumo raíces\(n\) distintas.
- (Teorema Fundamental del Álgebra, reexpresado) existen exactamente números\(n + 1\) complejos\(w_{0}, w_{1}, \ldots, w_{n} \in \mathbb{C}\) (no necesariamente distintos) tal que\[ f(z) = w_{0}(z - w_{1})(z - w_{2}) \cdots (z - w_{n}), \, \forall \, z \in \mathbb{C}. \] En otras palabras, cada función polinómica con coeficientes superiores a\(\mathbb{C}\) se puede factorizar en factores lineales sobre\(\mathbb{C}\).
Prueba.
- Dejar\(w \in \mathbb{C}\) ser un número complejo.
\(( "\Longrightarrow" )\)Supongamos que\(f(w) = 0\). Entonces, en particular, tenemos que
\[ a_n w^n + \cdots + a_1 w + a_0 = 0. \]
Como esta ecuación es igual a cero, se deduce que, dado cualquiera\(z \in \mathbb{C}\),
\ begin {align*}
f (z) & = a_n z^n +\ cdots + a_1 z + a_0
- (a_n w^n +\ cdots + a_1 w + a_0)
\\
& = a_ {n} (z^ {n} - w^ {n})
+ a_ {n - 1} (^ {n - 1 } - w^ {n - 1})
+\ cdots
+ a_ {1} (z - w)
\\
& = a_ {n} (z - w)\ sum_ {k = 0} ^ {n - 1} z^ {k} w^ {n - 1 - k}
+ a_ {n - 1} (z - w)\ sum_ {k = 0} ^ {n - 2} z^ {k} w^ {n - 2 - k}
+\ cdots
+ a_ {1} (z - w)
\\
& = (z - w)\ suma_ {m = 1} ^ {n}
\ izquierda (
a_ {m}\ suma_ {k = 0} ^ {m - 1} z^ {k} w^ {m -1 - k}
\ derecha).
\ end {align*}
Así, al establecer
\ [
g (z) =\ sum_ {m = 1} ^ {n}
\ left (
a_ {m}\ sum_ {k = 0} ^ {m - 1} z^ {k} w^ {m - 1 - k}
\ derecha),
\,\ forall\, z\ in\ mathbb {C},
\]
hemos construido una función\(n - 1\) polinómica de grado\(g\) tal que\[ f(z) = (z - w) g(z), \forall \, z \in \mathbb{C}. \]
\(( "\Longleftarrow" )\)Supongamos que existe una función polinómica\(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) de grado\(n-1\) tal que
\[ f(z) = (z - w) g(z), \, \forall \, z \in \mathbb{C}. \] Entonces se deduce que\(f(w) = (w - w)g(w) = 0\), según se desee.
2. Utilizamos inducción en el grado\(n\) de\(f\).
Si\(n = 1\), entonces\(f(z) = a_{1}z + a_{0}\) es una función lineal, y la ecuación\(a_{1}z + a_{0} = 0\) tiene la solución única\(z = -a_{0}/a_{1}\). Así, el resultado se mantiene para\(n = 1\).
Ahora, supongamos que el resultado se mantiene para\(n - 1\). En otras palabras, supongamos que toda función polinómica de grado\(n - 1\) tiene como máximo\(n - 1\) raíces. Utilizando el Teorema Fundamental del Álgebra (Teorema (3.1.1)), sabemos que existe un número complejo\(w \in \mathbb{C}\) tal que\(f(w) = 0\). Además, a partir de la Parte ~1 anterior, sabemos que existe una función polinómica\(g\) de grado\(n – 1\) tal que
\[ f(z) = (z - w) g(z), \, \forall \, z \in \mathbb{C}. \]
A continuación, sigue la hipótesis de inducción que\(g\) tiene como máximo raíces\(n - 1\) distintas, y por lo tanto\(f\) debe tener como máximo raíces\(n\) distintas.
3. Esta parte se desprende de un argumento de inducción sobre\(n\) eso es prácticamente idéntico al de la Parte~2, por lo que la prueba se deja como un ejercicio al lector.