3.E: Ejercicios para el Capítulo 3

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Ejercicios de cálculo

1. Dejar\(n \in \mathbb{Z}_+\) ser un entero positivo, dejar\(w_0 , w_1 ,\ldots, w_n \in \mathbb{C}\) ser números complejos distintos, y dejar\(z_0 , z_1 ,\ldots, z_n \in \mathbb{C}\) ser cualquier número complejo. Entonces se puede probar que existe un polinomio único\(p(z)\) de grado\(n\) como mucho tal que, para cada\(k \in \{0, 1, . . . , n\}, p(w_k ) = z_k.\)

(a) Encontrar el polinomio único de grado a lo sumo\(2\) que satisfaga\(p(0) = 0, p(1) = 1,\) y\(p(2) = 2.\)

(b) ¿Puede generalizarse fácilmente su resultado en la Parte (a) para encontrar el polinomio único de grado como máximo\(n\) satisfactorio\(p(0) = 0, p(1) = 1, \ldots , p(n) = n\)?

2. Dado cualquier número complejo\(\alpha \in \mathbb{C},\) muestran que los coeficientes del polinomio

\[(z − \alpha)(z − \bar{\alpha})\]

son números reales.

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(m, n \in \mathbb{Z}_+\) ser enteros positivos con\(m \leq n\). Demostrar que existe un polinomio grado n\(p(z)\) con complejos coecients tal que\(p(z)\) tiene exactamente m raíces distintas.

2. Dado un polinomio\(p(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0\) con factores complejos, deﬁne el conjugado de\(p(z)\) ser el nuevo polinomio

\[ \bar{p}(z) = \bar{a_n} z^n + \cdots + \bar{a_1}z + a_0. \]

a) Demostrar que\(\bar{p(z)} = \bar{p}(\bar{z}).\)
b) Probar que\(p(z)\) tiene coecients reales si y sólo si\(\bar{p}(z) = p(z).\)
c) Dado polinomios\(p(z), q(z),\) y\(r(z)\) tal que\(p(z) = q(z)r(z),\) prueben que\(\bar{p}(z) = \bar{q}(z)\bar{r}(z).\)

3. \(p(z)\)Sea un polinomio con coecients reales, y déjese\( \alpha \in \mathbb{C}\) ser un número complejo.
Demostrar que\(p(\alpha) = 0\) si y solo\(p(\bar{\alpha}) = 0.\)

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