4.E: Ejercicios para el Capítulo 4

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Ejercicios de cálculo

1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, ya sea mostrar que el conjunto es un espacio vectorial o explicar por qué no es un espacio vectorial.

a) El conjunto\(\mathbb{R}\) de números reales bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación.

b) El conjunto\(\{(x, 0)~ |~ x \in \mathbb{R}\}\) bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}^2.\)

c) El conjunto\(\{(x, 1) ~|~ x \in \mathbb{R}\}\) bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}^2.\)

d) El conjunto\(\{(x, 0) ~| ~x \in \mathbb{R}, x \geq 0\}\) bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}^2.\)

e) El conjunto\(\{(x, 1)~ |~ x \in \mathbb{R}, x \geq 0\}\) bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}^2.\)

f) El conjunto\(\left\{ \left[ \begin{array}{cc} a & a+b \\ a+b & a \end{array} \right] ~|~ a, b \in \mathbb{R} \right\} \) bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación en\(\mathbb{R}^{2 \times 2}.\)

g) El conjunto\(\left\{ \left[ \begin{array}{cc} a & a+b+1 \\ a+b & a \end{array} \right] ~|~ a, b \in \mathbb{R} \right\} \) bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación\(\mathbb{R}^{2 \times 2}.\)
bajo las operaciones habituales de adición

2. Mostrar que el espacio\(V = \{(x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{F}^3 ~|~ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0\}\) forma un espacio vectorial.

3. Para cada uno de los siguientes conjuntos, ya sea mostrar que el conjunto es un subespacio de\(\cal{C}(\mathbb{R})\) o explicar por qué no es un subespacio.

a) El conjunto\(\{f \in \cal{C}(\mathbb{R}) ~|~ f (x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}\}.\)

b) El conjunto\(\{f \in \cal{C}(\mathbb{R}) ~|~ f(0) = 0\}. \)

c) El conjunto\(\{f \in \cal{C}(\mathbb{R}) ~|~ f (0) = 2\}.\)

d) El conjunto de todas las funciones constantes.

e) El conjunto\(\{\alpha + \beta sin(x) ~|~ \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}.\)

4. Dé un ejemplo de un subconjunto no vacío\(U \subset \mathbb{R}^2\) tal que\(U\) se cierra bajo multiplicación escalar pero no es un subespacio de\(\mathbb{R}^2.\)

5. Dejar\(\mathbb{F}[z]\) denotar el espacio vectorial de todos los polinomios que tienen coecient sobre\(\mathbb{F}\), y deﬁne\(U\) para ser el subespacio de\(\mathbb{F}[z]\) dado por

\[U = \{az^2 + bz^5 ~|~ a, b \in \mathbb{F}\}.\]

Encuentra un subespacio\(W\) de\(\mathbb{F}[z]\) tal manera que\(\mathbb{F}[z] = U \oplus W .\)

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\). Entonces, dado\(a \in \mathbb{F}\) y\(v \in V\) tal que\(av = 0\), probar que\(a = 0\) o bien\(v = 0.\)

2. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial encima\(\mathbb{F},\) y supongamos que\(W_1\) y\(W_2\) son subespacios de\(V.\)
Probar que su intersección\(W_1 \cap W_2\) es también un subespacio de\(V.\)

3. Probar o dar un contraejemplo a la siguiente
reclamación: Reclamación. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial encima\(\mathbb{F},\) y supongamos que\(W_1, W_2,\) y\(W_3\) son subespacios de\(V\) tal manera que\(W_1 + W_3 = W_2 + W_3.\) Entonces\(W_1 = W_2.\)

4. Probar o dar un contraejemplo a la siguiente
reclamación: Reclamación. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial encima\(\mathbb{F},\) y supongamos que\(W_1 , W_2,\) y\(W_3\) son subespacios de\(V\) tal manera que\(W_1 \oplus W_3 = W_2 \oplus W_3.\) Entonces\(W_1 = W_2.\)

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