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5: Palmo y Bases

Última actualización

30 oct 2022
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- 4.E: Ejercicios para el Capítulo 4
- 5.1: Alcance lineal

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$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

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$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

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$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

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$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

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$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

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$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

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$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

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$\newcommand{\gt}{>}$

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$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

La intuición probablemente te dice que el plano $\mathbb{R}^2$ es de dimensión dos y que el espacio en el que vivimos $\mathbb{R}^3$ es de dimensión tres. Probablemente también hayas aprendido en física que el espacio-tiempo tiene la dimensión cuatro y que las teorías de cuerdas son modelos que pueden vivir en diez dimensiones. En este capítulo daremos una definición matemática de la dimensión de un espacio vectorial. Para ello primero necesitaremos las nociones de lapso lineal, independencia lineal y la base de un espacio vectorial.

5.1: Alcance lineal
El span lineal (o simplemente span) de un conjunto de vectores en un espacio vectorial es la intersección de todos los subespacios que contienen ese conjunto. El lapso lineal de un conjunto de vectores es, por lo tanto, un espacio vectorial.
5.2: Independencia lineal
Ahora vamos a definir la noción de independencia lineal de una lista de vectores. Este concepto será sumamente importante en las secciones que siguen, y sobre todo cuando introduzcamos bases y la dimensión de un espacio vectorial.
5.3: Bases
Una base de un espacio vectorial finito-dimensional es una lista de expansión que también es linealmente independiente. Veremos que todas las bases para espacios vectoriales finito-dimensionales tienen la misma longitud. Esta longitud se llamará entonces la dimensión de nuestro espacio vectorial.
5.4: Dimensión
Llegamos ahora a la importante definición de la dimensión de un espacio vectorial finito-dimensional.
5.E: Ejercicios para el Capítulo 5

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