4.4: Sumas y suma directa

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A lo largo de esta sección,\(V\) hay un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\), y\(U_1 , U_2 \subset V\) denota subespacios.

Definición 4.4.1: suma (subespacial)

\(U_1 , U_2 \subset V\)Dejen ser subespacios de\(V\). Deﬁne la suma (subespacial) de\(U_1\)

Figura 4.4.1: La unión\(U \cup U^\prime\) de dos subespacios no es necesariamente un subespacio.

y\(U_2\) para ser el conjunto

\[ U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 | u_1 \in U_1 , u_2 \in U_2 \}. \tag{4.4.1}\]

Verificar como ejercicio que\(U_1 + U_2\) es un subespacio de\(V\). De hecho,\(U_1 + U_2\) es el subespacio más pequeño del\(V\) que contiene tanto\(U_1\) y\(U_2\).

Ejemplo 4.4.2. Let

\[ U_1 = \{(x, 0, 0) \in \mathbb{F}^3 | x \in \mathbb{F}\}, \\ U_2 = \{(0, y, 0) \in \mathbb{F}^3 | y \in \mathbb{F}\}.\]

Entonces

\[U_1 + U_2 = \{(x, y, 0) \in \mathbb{F}^3 | x, y \in \mathbb{F}\}. \tag{4.4.2}\]

Si, alternativamente\(U_2 = \{(y, y, 0) \in \mathbb{F}^3 | y \in \mathbb{F}\}\), entonces la Ecuación (4.4.2) aún se mantiene.

Si\(U = U_1 +U_2\), entonces, para alguno\(u \in U\), existen\(u_1 \in U_1\) y\(u_2 \in U_2\) tal que\(u = u_1 +u_2.\)

Si sucede que se\(u\) puede escribir de manera única como\(u_1 + u_2\), entonces\(U\) se llama la suma directa de\(U_1\) y\(U_2.\)

Definición 4.4.3: Suma Directa

Supongamos que cada\(u \in U\) puede escribirse de manera única\(u = u_1 + u_2\) en cuanto a\( u_1 \in U_1\) y\(u_2 \in U_2\) Luego usamos

\[U = U_1 \oplus U_2\]

para denotar la suma directa de\(U_1\) y\(U_2.\)

Ejemplo 4.4.4. Vamos
\ [U_1 =\ {(x, y, 0)\ in\ mathbb {R} ^3 | x, y\ in\ mathbb {R}\},\\
U_2 =\ {(0, 0, z)\ in\ mathbb {R} ^3 | z\ in\ mathbb {R}\}.\]
Entonces\(\mathbb{R}^3 = U_1 \oplus U_2\). Sin embargo, si en cambio
\[U_2 = \{(0, w, z) | w, z \in \mathbb{R}\},\]
entonces\(\mathbb{R}^3 = U_1 + U_2\) pero no es la suma directa de\(U_1\) y\(U_2\).
Ejemplo 4.4.5. Vamos
\ [U_1 =\ {p\ in\ mathbb {F} [z] | p (z) = a_0 + a_2 z^2 +\ cdots + a_ {2m} z^ {2m}\},\\
U_2 =\ {p\ in\ mathbb {F} [z] | p (z) = a_1z + a_3z^3 +\ cdots + a_ {2m+1} z^ {2m+1}\}.\]
Luego\(\mathbb{F}[z] = U_1 \oplus U_2.\)

Proposición 4.4.6. \(U_1 , U_2 \subset V\)Dejen ser subespacios. Entonces\(V = U_1 \oplus U_2\) si y solo si se mantienen las siguientes dos condiciones:

\(V = U_1 + U_2;\)
Si\(0 = u_1 + u_2\) con\(u_1 \in U_1\) y\(u_2 \in U_2\), entonces\(u_1 = u_2 = 0.\)

Comprobante.
\((“\Rightarrow”)\)Supongamos\(V = U_1 \oplus U_2\). Entonces la Condición 1 se sostiene por definición. Ciertamente\(0 = 0 + 0\), y, ya que por singularidad esta es la única forma de escribir\(0 \in V\), tenemos\(u_1 = u_2 = 0\).

\((“\Leftarrow”)\)Supongamos que las Condiciones 1 y 2 mantienen. Por Condición 1, tenemos que, para todos\(v \in V\), existe\(u_1 \in U_1\) y\(u_2 \in U_2\) tal que\(v = u_1 + u_2\). Supongamos\(v = w_1 + w_2\) con\(w_1 \in U_1\) y\(w_2 \in U_2\). Restando las dos ecuaciones, obtenemos

\[0 = (u_1 − w_1 ) + (u_2 − w_2 ),\]

dónde\(u_1 − w_1 \in U_1\) y\(u_2 − w_2 \in U_2\). Por Condición 2, esto implica\(u_1 − w_1 = 0\) y\(u_2 − w_2 = 0\), o equivalentemente\(u_1 = w_1\) y\(u_2 = w_2\), según se desee.

Proposición 4.4.7. \(U_1 , U_2 \subset V\)Dejen ser subespacios. Entonces\(V = U_1 \oplus U_2\) si y solo si se mantienen las siguientes dos condiciones:

\(V = U_1 + U_2;\)
\(U_1 \cap U_2 = \{0\}.\)

Comprobante.
\((“\Rightarrow”)\)Supongamos\(V = U_1 \oplus U_2\). Entonces la Condición 1 se sostiene por definición. Si\(u \in U_1 \cap U_2\), entonces\(0 = u + (−u)\) con\(u \in U_1\) y\(−u \in U_2\) (¿por qué?). Por la Proposición 4.4.6, tenemos\(u = 0\) y\(−u = 0\) para que\(U_1 \cap U_2 = \{0\}.\)

\((“\Leftarrow”)\)Supongamos que las Condiciones 1 y 2 mantienen. Para probar que se\(V = U_1 \oplus U_2\) sostiene, supongamos que

\[0 = u_1 + u_2, \rm{~where~} u_1 \in U_1 \rm{~and~} u_2 \in U_2. \tag{4.3}\]

Por la Proposición 4.4.6, se pretende demostrar eso\(u_1 = u_2 = 0\). La ecuación (4.3) implica eso\(u_1 = −u_2 \in U_2\). De ahí\(u_1 \in U_1 \cap U_2\), lo que a su vez implica eso\(u_1 = 0\). A continuación se deduce eso\(u_2 = 0\) también.

Todo en esta sección puede generalizarse a m subespacios\(U_1 , U_2 , \ldots U_m,\) con la notable excepción de la Proposición 4.4.7. Para ver, esto considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.4.8. Let

\ [U_1 =\ {(x, y, 0)\ in\ mathbb {F} ^3 | x, y\ in\ mathbb {F}\},\\
U_2 =\ {(0, 0, z)\ in\ mathbb {F} ^3 | z\ in\ mathbb {F}\},\\
U_3 =\ {(0, y, y)\ en\ mathbb {F} ^3 | y\ in\ mathbb {F}\}.\]

Entonces ciertamente\(\mathbb{F}^3 = U_1 + U_2 + U_3\), pero\(\mathbb{F}^3 \neq U_1 \oplus U_2 \oplus U_3\) como, por ejemplo,

\[(0, 0, 0) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) + (0, −1, −1).\]

Pero\(U_1 \cap U_2 = U_1 \cap U_3 = U_2 \cap U_3 = \{0\}\) para que el análogo de la Proposición 4.4.7 no se mantenga.

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